<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{4 - 9 - TRANSPORT}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Det er en vanlig misforstÃ¥else at hyperventilering
Ã¸ker konsentrasjonen av oksygen i blodet ditt
slik at du kan holde pusten lenger. 
Dette er feil. 
Sentralnervesystemet ditt monitorerer karbondioksidnivÃ¥et i blodstrÃ¸mmen din,
ikke oksygennivÃ¥et,
og nÃ¥r du hyperventilerer
tapper du blodstrÃ¸mmen for karbondioksid 
slik at du komfortabelt kan holde pusten lenge pÃ¥ blodstrÃ¸mmens normale oksygeninnhold.
Det er derfor livsfarlig Ã¥ hyperventilere i vann - 
hvis du gÃ¥r tom for oksygen med altfor lite karbondioksid i blodet, 
kan du besvime uten Ã¥ ha kjent behovet for Ã¥ trekke pusten. 
\footnote{Med fridykkere skjer dette gjerne rett fÃ¸r de nÃ¥r overflaten:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Freediving_blackout}
}
La oss derfor regne litt pÃ¥ transport - 
det stÃ¥r om liv og dÃ¸d. 
Kontinuitetslikningen er
\begin{align*}
    \dot \rho + \nabla \cdot (\rho v) = 0.
\end{align*}
Hvis vi gjÃ¸r den forenklende antagelse at $v$ er konstant, 
fÃ¥r vi \textbf{transportlikningen}
\begin{align*}
    \dot \rho + v\cdot \nabla \rho = 0.
\end{align*}
Det er vanlig Ã¥ starte med observasjonen at 
$\rho$ mÃ¥ vÃ¦re konstant pÃ¥ et sett med rette linjer. 
Disse kalles likningens \textbf{karakteristiske kurver}.

\begin{oppgave}{1}
    Finn dem. 
\end{oppgave}

Det er vanlig Ã¥ slenge pÃ¥ et initialkrav: 
\begin{align*}
    \rho(x,0) = g(x).
\end{align*}
I lys av forrige oppgave, 
vil differensiallikningen ikke gjÃ¸re noe annet enn Ã¥ 
transportere $g$ bortetter, 
det er derfor den heter \say{transportlikningen}. 

\begin{oppgave}{2}
    LÃ¸s transportlikningen med initialkrav. 
    Det er overraskende enkelt om du bruker de karakteristiske kurvene. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1013763}\end{center}

\clearpage

Fra nÃ¥ av skal vi holde oss til Ã©n romlig dimensjon, 
og sÃ¥ skal vi tenke at vi har en blodÃ¥re som 
gÃ¥r parallelt med $e_1$. 
Dersom $\rho$ for eksempel er oksygentettheten og denne 
blir transportert ut gjennom blodÃ¥reveggene, 
er  
\begin{align*}
    \dot \rho + v\cdot \nabla \rho + \gamma \rho = 0.
\end{align*}
en enkel modell. 
Modellen antar transporten ut gjennom veggene er proporsjonal med konsentrasjonen dersom $\gamma &gt; 0$.  

\begin{oppgave}{3}
    LÃ¸s. Bruk de karakteristiske kurvene fra forrige side. 
\end{oppgave}

La oss nÃ¥ tenke 
at det kommer en blodÃ¥re inn pÃ¥ hovedblodÃ¥ren og sprÃ¸yter blod med en annen oksygenkonsentrasjon inn i Ã¥ren. 
Dette kan vi modellere ved Ã¥ slenge pÃ¥ en innsprÃ¸ytning $f$ pÃ¥ hÃ¸yreseiden slik:
\begin{align*}
    \dot \rho + v\cdot \nabla \rho = f
\end{align*}

\begin{oppgave}{4}
    Denne kan du ogsÃ¥ lÃ¸se ved Ã¥ se pÃ¥ hvordan $\rho$ oppfÃ¸rer seg pÃ¥ de karakteristiske kurvene fra forrige oppgave.
\end{oppgave}

Dersom blodÃ¥ren har varierende tverrsnittsareal, 
vil hastigheten Ã¸ke der blodÃ¥ren blir trangere. 
Tillater vi at hastigheten varierer med rom, 
fÃ¥r vi modellen
\begin{align*}
    \dot \rho(x,t) + v(x)\cdot \nabla \rho(x,t) = 0.
\end{align*}

\begin{oppgave}{5}
    Finn karakteristiske kurver for dette problemet.
\end{oppgave}

Det er vanlig Ã¥ lÃ¦re seg Ã¥ hÃ¥ndtere $v(x) = ax+b$, 
for da kan man hÃ¥ndtere alle mulige enkle modeller der 
blodÃ¥reveggen ser ut som en rett linje sett fra siden. 

\begin{oppgave}{6}
    LÃ¸s 
    \begin{align*}
        \dot \rho(x,t) + (ax+b)\cdot \nabla \rho(x,t) = 0.
    \end{align*}
    (Begynn med $v(x)=x$ om du synes det er litt hÃ¥rete.)
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/M1009546}\end{center}

\clearpage

Hvis vi gÃ¥r helt tilbake til kontinuitetslikningen 
\begin{align*}
    \dot \rho + \nabla \cdot (\rho v) = 0
\end{align*}
og tolker $\rho$ som tettheten av biler pÃ¥ en motorvei og $v$ som farten til trafikken i punktet $(x,t)$,
sier den at ingen biler kan forsvinne eller oppstÃ¥ midt pÃ¥ veien. 
Det er ogsÃ¥ naturlig Ã¥ modellere det slik at $v$ er en funksjon av $\rho(x,t)$ istedet for $(x,t)$,
siden hÃ¸yere biltetthet som regel medfÃ¸rer lavere fart. 
Det enkleste valget er \textbf{greenshieldsmodellen}, 
som antar at 
\begin{align*}
    v(\rho) = v_{m}\left( 1-\frac{\rho}{\rho_m} \right)
\end{align*}
der $v_m$ er fartsgrensen og $\rho_m$ er maksimal biltetthet pÃ¥ veien. 
Vi setter begge disse til Ã©n for enkelhets skyld. 
og da fÃ¥r vi \textbf{traffiklikningen}
\begin{align*}
    \dot \rho + (1-2\rho)\nabla \rho = 0.
\end{align*}

\begin{oppgave}{7}
    Vis dette.
\end{oppgave}

Dersom vi lar $v$ avhenge av $\rho$, 
fÃ¥r modeller som er litt i morsomste laget for oss, 
men vi kan komme oss litt pÃ¥ vei fÃ¸r det blir for vanskelig. 
La oss varme opp med \textbf{Burgers likning}:\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Burgers'_equation}
}
\begin{align*}
    \dot \rho + \rho\nabla \rho = 0
\end{align*}


\begin{oppgave}{8}
    Finn kurvene der $\rho$ er konstant. 
    FÃ¥r du det til kan du prÃ¸ve trafikklikningen ogsÃ¥. 
\end{oppgave}

Det finnes de som mener at man kan slenge pÃ¥ et diffusjonsledd for Ã¥ ta hÃ¸yde for at 
trafikanter senker farten nÃ¥r de ser at det er hÃ¸yere biltetthet lenger frem:
\begin{align*}
    \dot \rho + \rho\nabla \rho = \alpha \Delta \rho
\end{align*}
Dersom vi nÃ¥ skriver 
\begin{align*}
    \dot \rho = - v\nabla \rho + \alpha \Delta \rho + f
\end{align*}
har vi det som vanligvis kalles en \textbf{konveksjonsdiffusjonslikning}.\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Convection-diffusion_equation}
}
Leddet $- \rho\nabla \rho$ gir konveksjonens bidrag til endring i konsentrasjon,
mens $\alpha \Delta \rho$ gir diffusjonen og $f$ er innsprÃ¸ytning.
Hvis du husker tilbake til hvordan vi utledet varmelikningen i forrige uke, 
vil du kanskje se at denne og kontinuitetslikningen 
utledes temmelig likt - forskjellen er at man i det ene tilfellet antar at $v$ stÃ¥r for transport av masse, 
mens idet andre antar at det er Ficks diffusjonslov som gjÃ¸r det. 
Likningen over er en grov modell for det som skjer nÃ¥r du tÃ¸mmer blodet ditt for karbondioksid. 
Karbondioksid produseres i mitokondriene og i cytoplasma, 
og mekanismen for Ã¥ fÃ¥ det gjennom interstisiet og ut i blodstrÃ¸mmen er faktisk diffusjon. 
SÃ¥ transporteres det med blodstrÃ¸mmen til lungene der diffusjon nok en gang sÃ¸rger for Ã¥ fÃ¥ det ut i luften som skal pustes ut.
Hvis du fyller lungene med luft oftere enn nÃ¸dvendig, 
sÃ¸rger du for Ã¥ ha hÃ¸y konsentrasjonsgradient over cellemembranen i lungene, 
og da er det mulig Ã¥ tappe ut karbondioksid fortere enn resten av kroppen din produserer det. 

Egentlig skulle vi nÃ¥ fortsatt med sÃ¥kalt \textbf{koblet transport} - 
det er nemlig slik at Ohms lov, Ficks lov for diffusjon, 
Fouriers lov for varmetransport og Hookes fjÃ¦rlov bare er 
diagonalelementene i en stÃ¸rre tabell av empiriske lover.\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Onsager_reciprocal_relations}
} 
En spenningsgradient kan indusere varmeflyt (peltiereffekten),
og temperaturgradient kan indusere elektrisk strÃ¸m (seebeckeffekten). 
Mekanisk stress kan gi diffusjon og dette kalles osmose. 
Og sÃ¥ videre og sÃ¥ videre. 
Jeg har ikke funnet noen lavthengende matematiske frukter vi kan herje med 
innen dette, sÃ¥ vi fÃ¥r la det ligge inntil videre. 


\begin{comment}
\clearpage

koblet transport og onsagerkoeffisientene

\begin{itemize}
    \item Fouriers varmelov 
    \[
        \V q = -k \nabla T
    \]
    der $\V q$ er varmefluks, $k$ termisk konduktivitet og $T$ temperatur.
    \item Ohms lov 
    \[
        \V j = -\sigma \nabla \phi
    \]
    der $\V j$ er strÃ¸mtetthet, $\sigma$ konduktivitet og $\phi$ spenning.
    \item Darcys lov 
    \[
        \V q = -\frac{k}{\mu} \nabla p
    \]
    der $\V q$ er vÃ¦skefluks, $k$ permeabiliteten til bergarten, 
    $\mu$ vÃ¦skens viskositet, 
    og $p$ trykk.
    \item Ficks lov
    \[
        \V J = -D \nabla \phi
    \]
    der $\V J$ er massefluks, $D$ er diffusivitet og $\phi$ er konsentrasjon.
\end{itemize}
\end{comment}

\end{document}
</pre></body></html>