\input{preamble}

\title{4 - 8 - VARME}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%ficks diffusjonslov

I fluiduken utledet vi kontinuitetslikningen 
\begin{align*}
    \dot \rho + \nabla \cdot (\rho v) =0
\end{align*}
der tettheten $\rho$ er gitt i kilo per kubikkmeter og farten $v$ er gitt i meter per sekund. 
Men vi kunne like gjerne tenkt at $\rho$ var konsentrasjon, 
altså mol per liter, 
og gjort det samme regnskapet. 
\textbf{Ficks diffusjonslov} sier at ved diffusjon er partikkelflukstettheten 
(altså integranden i fluksintegralet som måler hvor mye som går ut av $\Omega$) 
er proporsjonal med konsentrasjonsgradienten - 
masse strømmer spontant fra områder med høy konsentrasjon til områder med lav konsentrasjon. 

\begin{oppgave}{1}
    Bruk denne snasne empiriske regelen til å utlede diffusjonslikningen
    \[
        \dot \rho=D \Delta \rho
    \] 
    der $D$ er Ficks diffusjonskonstonstant.\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Mass_diffusivity}
    }
%\begin{align*}
%    \rho v = -D \nabla \rho
%\end{align*}
\end{oppgave}

Vi kunne også uledet denne likningen ved å se på varmeenergi. 
Da måtte vi tatt utgangspunkt i kontinuitetslikningen for varmeenergi 
\begin{align*}
    \rho c \dot T + \nabla \cdot q =0
\end{align*}
der $c$ er den spesifikke varmekapasiteten, 
målt i joule per kelvin per kilo,
$T$ er temperaturen og $q$ er varmeflukstettheten, 
målt i watt per kvadratmeter per sekund. 
Endringen i varmeenergi i $\Omega$ skyldes enten varme som produseres inne i $\Omega$ 
(tenk at det står et stearinlys og brenner inne i $\Omega$),  
eller varme som slipper inn og ut gjennom randen $\partial \Omega$.
I likningen over er sistnevnte utelatt av hensyn til din kognitive last. 

\begin{oppgave}{2}
    Utled kontinuitetslikningen for varmeenergi.
\end{oppgave}

Transport av varmeenergi er for mange materialer proporsjonal med temperaturgradienten.
Dette kalles \textbf{Fouriers lov},\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conduction}
} 
og skrives
\[
q=-\kappa \nabla T
\]
der $\kappa$ er den termiske konduktiviteten.


\begin{oppgave}{3}
    Bruk denne snasne empiriske regelen til å utlede \textbf{varmelikningen}\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation}
    }
    \[
        \rho c \dot T=\kappa \Delta T.
    \] 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1021151}\end{center}

\clearpage

\begin{comment}
La oss tenke at temperaturen er gitt ved funksjonen $T(x,t)$,  
der $x$ er de romlige koordinatene og $t$ er tidspunktet.
La $\Omega$ være et område i $\mathbb R^3$.
Tidsendringen i varmeenergien i $\Omega$ er 
\[
    \frac{\partial }{\partial t}
    \left(     
    \rho c 
    \iiint_{\Omega} T(x,t)\; dx 
     \right)
     =
    \rho c 
    \iiint_{\Omega} T_t(x,t)\; dx 
\]
der massetettheten $\rho$  og den spesifikke varmekapasiteten $c$ er antatt konstante. 
Det er også antatt at $T$ er glatt nok til at vi bare kan slenge tidsderivasjonen inn under integraltegnet.
Dersom vi antar at $\kappa$ er konstant og at det ikke produseres varme i $\Omega$, må 
\begin{align*}
-\rho c \iiint_{\Omega} T_t\; dx&=\iint_{\partial \Omega} \V q \cdot dS \\ 
&=\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \V q \; dx\\
&=-\kappa \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \nabla T \; dx=-\kappa \iiint_{\Omega} \Delta T \; dx
\end{align*}
eller 
\[
\rho c \iiint_{\Omega} T_t\; dx=
\kappa \iiint_{\Omega} \Delta T \; dx.
\]
Dersom  dette  gjelder for et tilfeldig valgt område $\Omega$, 
bør integrandene være like:
og det er vanlig å samle den spesifikke varmekapasiteten, 
massetettheten og den termiske konduktiviteten i en konstant
\[
\alpha= \frac{\kappa}{\rho c}
\]
som kalles den termiske diffusiviteten. 
Likningen 
\[
T_t=\alpha \Delta T 
\]
kalles 
{varmelikningen}
eller {diffusjonslikningen}.

\end{comment}

I studiet av differensiallikninger pleier man å starte med å sette opp et problem man kan vise har entydig løsning, 
for eksempel dirichletproblemet\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_problem}
}
\begin{align*}
    \dot u = \Delta u \hspace{2mm} \text{på } \Omega \times [0,\infty) \hspace*{10mm}
    u = f \hspace{2mm} \text{på }  \partial \Omega \times \{t=0\} \hspace*{10mm}
    u = g \hspace{2mm} \text{på } \partial \Omega \times [0,\infty) 
\end{align*}
Her har vi dirichletrandkrav og et initialkrav - 
$f$ er varme- eller konsentrasjonsfordelingen ved $t=0$ 
og $g$ er temperaturen som holdes fast på $\partial \Omega$. 
Det vises maksminprinsipper og entydighet og så videre,
men det er for grisete for oss. 
Dersom vi setter $f=0$ får vi det homogene dirichletproblemet
\begin{align*}
    \dot u = \Delta u \hspace{2mm} \text{på } \Omega \times [0,\infty) \hspace*{10mm}
    u = 0 \hspace{2mm} \text{på }  \partial \Omega \times \{t=0\} \hspace*{10mm}
    u = g \hspace{2mm} \text{på } \partial \Omega \times [0,\infty) 
\end{align*}
Vi kan også kreve at $\partial \Omega$ er isolert, 
altså at $\Omega$ er pakket inn i Glava (ved varmetransport)
eller diffusjonssperre (ved diffusjon), 
og da får vi \textbf{det homogene neumannproblemet}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Neumann_boundary_condition}
}
\begin{align*}
    \dot u = \Delta u \hspace{2mm} \text{på } \Omega \times [0,\infty) \hspace*{10mm}
    \frac{\partial u}{\partial e_n} = 0 \hspace{2mm} \text{på }  \partial \Omega \times \{t=0\} \hspace*{10mm}
    u = g \hspace{2mm} \text{på } \partial \Omega \times [0,\infty) 
\end{align*}
Begge de homogene problemene har vi løst i Ã©n romlig dimensjon i TMA4106. 
Dirichletproblemet
\[
    \dot u(x,t) =  \alpha u''(x,t)
    \hspace{15mm} u(0,t)=u(\pi,t)=0
    \hspace{15mm}
    u(x,0)=f(x)
\]
har løsning
\[
    u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n e^{-\alpha n^2 t}\cos (nx)
    \hspace{15mm}
    b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \sin (nx) \; dx
\]
mens neumannproblemet
\[
    \dot u(x,t) =  \alpha u''(x,t)
    \hspace{15mm} u'(0,t)=u'(\pi,t)=0
    \hspace{15mm}
    u(x,0)=f(x)
\]
har løsning
\[
    u(x,t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-\alpha n^2 t}\cos (nx)
    \hspace{15mm}
    a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^\pi f(x) \cos (nx) \; dx. 
\]
La oss begynne med å studere disse litt mer. 
    Som du ser er løsningene satt sammen av massevis av basisfunksjoner 
    som er ortogonale på $(0,\pi)$. 
    I TMA4106 viste vi dette ved å bruke egenskapene ved sinus- og cosinusfunksjonene. 

\begin{oppgave}{4}
    Men ortogonaliteten følger faktisk direkte av randkravene og egenvektorlikningen 
    \begin{align*}
        -y''(x)=\lambda y(x)
    \end{align*}
    for både dirichlet- og neumannproblemet.
    Vis dette. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1020214}\end{center}

\clearpage

Denne ideen kan vi spinne videre på i $\mathbb{R}^3$. 
Det er kun mulig å sette opp eksplisitte løsninger for noen få pene geometrier kombinert med gunstige randkrav.
Skal vi komme igang, 
må vi først separere variable. 
La oss heretter slå sammen de fysiske konstantene i 
\[
\alpha= \frac{\kappa}{\rho c}
\]
slik at varmelikningen blir 
\begin{align*}
    \dot u = \alpha \Delta u.
\end{align*}

\begin{oppgave}{5}
    Vis at dersom du antar $u(x,t) = z(t)y(x)$, 
    må vi ha 
    \begin{align*}
        \dot z + \alpha \lambda z = 0
        \hspace*{10mm} 
        \text{og}
        \hspace*{10mm} 
        y + \lambda \Delta y =0. 
    \end{align*}
\end{oppgave}

Nå skjer det samme som i TMA4106, 
løsningen til den første er bare å skrive opp: 
\begin{align}
    z(t) = e^{-\alpha \lambda t}
\end{align}
Integrasjonskonstanten trengs ikke, 
av samme grunn som i 4106.
For å komme videre nå, 
trenger vi enda en versjon av divergensteoremet: 
\begin{align*}
    \int_\Omega u\Delta v - v\Delta u\; dx= 
    \int_{\partial \Omega} \left( u \nabla v - v\nabla u  \right) \cdot dS
\end{align*}

\begin{oppgave}{6}
    Utled. 
\end{oppgave}

Løsninger av $y = \lambda \Delta y$ og dirichletrandkrav kalles \textbf{egenfunksjonene} til dirichletproblemet, 
og tilsvarende for neumannproblemet. 
Egenfunksjoner som korresponderer til forskjellige egenverdier er ortogonale med hensyn på indreproduktet
\begin{align*}
   (f,g) = \int_\Omega fg\; dx
\end{align*}
dersom randkravene er homogene. 

\begin{oppgave}{7}
    Vis. 
\end{oppgave}

Det kan også vises at egenverdiene er reelle og positive. 
Det er litt teknisk og vi dropper det. 

\begin{oppgave}{8}
    Men nå foreslår jeg at du skriver opp et forslag til løsning på 
    \begin{align*}
        \dot u = \Delta u \hspace{2mm} \text{på } \Omega \times [0,\infty) \hspace*{10mm}
        u = f \hspace{2mm} \text{på }  \partial \Omega \times \{t=0\} \hspace*{10mm}
        u = g \hspace{2mm} \text{på } \partial \Omega \times [0,\infty) 
    \end{align*}
    Dette er en grei test på om du skjønte de sentrale poengene i 4106, 
    og ikke bare pugget til eksamen. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.17]{../figurer/M-4}\end{center}

\begin{comment}
\clearpage



Nå er du sikkert litt skuffet over at vi ikke klarte å løse noen mer kompliserte varmeproblemer, 
men slik er livet med penn og papir. 
I industrien er det selvfølgelig numeriske metoder som gjelder. 
Men ett morsomt og praktisk problem kan vi faktisk løse med penn og papir. 
La oss først ta unna et standardproblem.

\begin{oppgave}{9}
	Fourieromvend varmelikningen med hensyn på $x$ og bruk 
	$
	u(x,0)=f(x) 
	$   
	til å forklare at (jeg har satt $\alpha = 1$ for å være grei)
	\[
	u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)e^{\frac{-(x-v)^2}{4t}}\;dv.
	\]
\end{oppgave}
    
Fourieromvending er et viktig verktøy for å analysere frekvensinnholdet i signaler. 
Men de fleste gamle NTH-ere husker det fra studietiden som en unødvendig
knotete og vanskelig teknikk for å løse noen typer differensiallikninger, 
og oppgaven over illustrerer dette. 
Funksjonen 
\begin{align*}
    \frac{1}{2\sqrt{\pi t}}e^{\frac{-(x-v)^2}{4t}}
\end{align*}
kalles varmelikningens \textbf{fundamentalløsning}.
Motivasjonen for dette er det praktiske problemet å beregne ønsket dybde på potetkjeller.  
La oss anta at du ønsker å løse varmelikningen på den positive $x$-aksen med randkrav 
\begin{align*}
    u(0,t) = \cos t 
    \hspace*{10mm}
    \textbf{og}
    \hspace*{10mm}
    \lim_{x \to \infty } u(x,t) = 0.
\end{align*}

\begin{oppgave}{10}
\end{oppgave}



\end{comment}



\end{document}