\input{preamble}

\title{4 - 6 - HARMONISKE FUNKSJONER II}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle

Coloumb oppdaget at det elektriske
feltet fra en statisk punktladning $q$ plassert i origo er
\[
 E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{ x}{| x|^3}=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
mens Maxwells lover for elektrostatikk sier at 
\begin{align*}
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\hspace*{20mm}
\nabla \times E = 0.
\end{align*}
Alt dette er oppdaget eksperimentelt og kan så vidt 
vi vet ikke utledes fra mer grunnleggende prinsipper.  
Men om du starter elektrostatikken med Maxwell eller Coloumb er irrelevant for en fysiker. 
Nå skal vi se på hvorfor. 

\begin{oppgave}{1}
    Det første man gjør med harmoniske funksjoner er å finne alle harmoniske funksjoner 
    på $\mathbb{R}^3$ som kun avhenger av kulekoordinatradien $r$. 
    Dette kan du gjøre ved å løse 
    \[
        \Delta u = 0 
    \]
    i kulekoordinater og anta 
    \[
        \frac{\partial u}{\partial \theta}=
        \frac{\partial u}{\partial \varphi}=0.
    \]
\end{oppgave}

Gjorde du det riktig, 
fant du noe som kalles \textbf{fundamentalløsningen} til Laplaces likning. 
Du kjenner denne godt fra før. 
Kulekoordinatene er jo litt annerledes i og med at om du setter $r=0$ kan $\theta$ og $\varphi$ være hva som helst. 
Dette gir av og til utslag i rare subtiliteter når vi bruker dem. 

\begin{oppgave}{2}
    Forklar at det du egentlig fant i forrige oppgave, 
    var løsningen til 
    \[
        -\Delta u = \delta
    \]
    der $\delta$ er diracpulsen, 
    og foreslå en formel for løsningen til Poissons likning
    \[
        \Delta u = -f.
    \]
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1021180.jpg}\end{center}

\clearpage

Fundamentalløsningen vi fant på forrige side er den eneste harmoniske funksjonen på hele $\mathbb R^3$
som kun avhenger av $r$. 
Men det finnes mange andre harmoniske funksjoner på $\mathbb{R}^3$,
for eksempel 
\begin{align*}
    u(x)=x_1^2 - x_2^2
\end{align*}
eller 
\begin{align*}
    v(x)=x_1x_2
\end{align*}
så likningen $\Delta u = 0$ i seg selv har ikke entydig løsning på $\mathbb R^3$.
Men strekker du et trommeskinn over en ramme 
er det klart at det finnes bare én fysisk løsning,
og spesifiserer du temperaturen på kanten av et område og 
lar tiden gå til varmeflyten er stasjonær,
er det én temperaturfordeling som er korrekt. 
Dette er eksempler på noe som kalle \textbf{dirichletproblemer},
og de ser ut som følger. 
La $\Omega$ være et område i $\mathbb{R}^n$,
og la $\partial \Omega$ være randen. 
Trommeskinnet eller varmeflyten er 
en funksjon $u$ som tilfredsstiller 
\begin{align*}
    \Delta u =& 0 \hspace{6mm} \text{på } \Omega \\  
    u =& g \hspace{6mm} \text{på } \partial \Omega 
\end{align*}



\begin{oppgave}{3}
Nå kan vi vise entydighet.\\
(Hint: Anta det finnes to løsninger. 
Hva slags randverdiproblem løser differansen?)
    %Nå kan du vise at $w=0$ ved å gange likningen $\Delta w = 0$ med $w$, integrere, og så bruke delvisintegrasjonsformelene du fant i økt 4-2.
\end{oppgave}

For en harmonisk funksjon er 
er fluksen til gradientfeltet 
ut av et vilkårlig område alltid null. 

\begin{oppgave}{4}
		Vis dette. 
\end{oppgave}

Det er også sånn at av alle funksjoner som tilfredsstiller $u=g$ på $\partial \Omega$, 
er det den harmoniske funksjonen som minimerer dirichletenergien 
\begin{align}
    E(v) = \frac{1}{2} \int_\Omega |\nabla v|^2\; dx.
\end{align}
Dette kalles 
\textbf{Dirichlets prinsipp}. 

\begin{oppgave}{5}
		Vis dette. 
        %strauss 183
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1011340.jpg}\end{center}

\clearpage 

Egenskapene under kalles \say{middelverdisatsene for harmoniske funksjoner}.

\begin{oppgave}{6}
Vis at for harmoniske funksjoner gjelder at 
\[
u(x)=\frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial\Omega} u \; dS
\]
der $x \in \mathbb R^3$ og $\Omega$ er en kule sentrert i $x$ og med vilkårlig radius $r$.
\end{oppgave} 

\begin{oppgave}{7}
Bruk oppgaven over til å vise at også 
\[
u(x)=\frac{3}{4\pi r^3} \iiint_{\Omega} u \; dx
\]
der $x \in \mathbb R^3$ og $\Omega$ er en kule sentrert i $x$ og med vilkårlig radius $r$.
\end{oppgave} 

Tilsvarende resultater gjelder i $\mathbb R^2$,
men bevisene er penest i $\mathbb R^3$.
Av middelverdisatsene følger maksverdisatsen, 
som sier at en funksjon som er harmonisk på 
$ \Omega$ alltid tar maksimums- 
og minimumsverdier på $\partial \Omega$.

\begin{oppgave}{8}
    Utled dette.\\
(Dette kan være greit å vite om, 
i tilfelle du noensinne skulle få den ikke spesielt geniale ide å spikre opp noen ladde 
gjenstander på rommet ditt og så forvente et lokalt 
spenningsmaksimum et eller annet sted i midt rommet.)
\end{oppgave} 

Laplaceoperatoren er ellers rotasjonsinvariant. 
Dette betyr at om du roterer koordinatsystemet ditt, 
vil de rene andrederiverte i det nye koordinatsystemet summere til det samme som i det gamle. 
Dette kan vi vise ved en totrinnsprosess.

\begin{comment}
\begin{oppgave}{14}
La $A$ og $B$ være kvadratiske matriser, og $x$ en vektor. 
Vis at skalarproduktet mellom $Ax$ og $Bx$ kan skrives
\[
\left(Ax,Bx\right) = 
\left(Ax\right)^T\left(Bx\right) = 
x^TA^TBx = 
\sum_{i}
\left(
\sum_{k}
a_{ki}x_i
\left(\sum_{j}
b_{kj}x_j
\right)
\right)
\]
(Hint: Husk på formelen for kvadratisk form
\[
x^TCx = \sum_j \sum_k c_{jk} x_j x_k
\]
samt formelen for komponentene i matriseprodukt $c_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$.)
\end{oppgave}
\end{comment}

\begin{oppgave}{9}
    Vis at laplaceoperatoren er rotasjonsinvariant. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1009397-Pano}\end{center}

\begin{comment}
\begin{oppgave}{9}
La $A$ være en kvadratisk matrise, og la  $x=Ay$. 
Vis at 
\[
\Delta_y=
\sum_{i}
\left(
\sum_{k}
a_{ki}\frac{\partial }{\partial x_i}
\left(\sum_{j}
a_{ji}\frac{\partial }{\partial x_j}
\right)
\right)
=
\nabla^T_xA^TA\nabla_x 
\]
Hva skjer dersom $A$ er en rotasjonsmatrise?
\end{oppgave}
\begin{center}\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1009397-Pano}\end{center}
\end{comment}


%poisson med varierende konduktivitet
%mer om divergensteoremet og energiminimering


\begin{comment}


\clearpage

Poissons formel?




Utledningen går som følger. 
Anta at du har et vektorfelt $\mathbf{F}$
som beskriver en eller annen stasjonær flyt på et område $\Omega$,
for eksempel varme eller et statisk elektrisk felt eller noe slikt. 
Dersom du tar tilfeldige delområder
$\V \in \Omega$ 
og krever at netto utstrømning alltid er null:
\[
    \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot dS = 0    
\]
så gir først divergensteoremet at
\[
    \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \; d\mathbf{x} = 0. 
\]
Dersom vektorfeltet er gradienten til et eller annet skalarfelt
\[
\mathbf{F} = \alpha \nabla u,
\]
(for eksempel gjennom Fouriers varmelov eller spenningen til et elektrisk felt) får vi 
\[
    \iiint_V \nabla \cdot \nabla u d\mathbf{x} = 0,
\]
og hvis dette gjelder for alle $V \in \Omega$,
må 
\[
    \Delta u = \nabla\cdot \left( \nabla u \right) = 0. 
\]

\begin{oppgave}{1}
Denne må vel være innafor å spørre om på eksamen. 
\end{oppgave}







\begin{center}\includegraphics[scale=.21]{../figurer/L1007825-Pano.jpg}\end{center}





\begin{comment}
\clearpage

Og du kan diskretisere laplaces likning slik:
\[
0 =\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}  + \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}  
\]
Man får en likning for hvert indre gitterpunkt,
og hvis man organiserer de ukjente i en kolonnevektor, 
får man et likningssystem på formen 
\[
A\V u = f
\]
der $f$ er en vektor med randverdier.
 

\begin{center}
\hspace*{-3em}
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[->] (-1.2,-1) -- (4,-1) node[right]{$x$};
\draw[-] (-1.2,2) -- (4*.6,2) ;
\draw[->] (-2*.6,-1) -- (-2*.6,3) node[right]{$y$};
\draw[-] (4*.6,-1) -- (4*.6,2) ;


\draw[line width = 1mm] (4*.6,-.95) -- (4*.6,-1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,-.95) -- (2*.6,-1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (2*.6,-.95) -- (2*.6,-1.05) node[below]{$x_i=ih$};
\draw[line width = 1mm] (-2*.586,) -- (-2*.614,1) node[left]{$y_j=jh$};

\draw[line width = 1mm] (0,-.95) -- (0,-1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,-.95) -- (-2*.6,-1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,.05) -- (4*.6,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,.05) -- (2*.6,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,.05) -- (0,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,.05) -- (-2*.6,-.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,.95) -- (4*.6,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,.95) -- (2*.6,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,.95) -- (0,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,.95) -- (-2*.6,1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,1.95) -- (4*.6,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,1.95) -- (2*.6,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,1.95) -- (0,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,1.95) -- (-2*.6,2.05) ;


\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{oppgave}{16}
Finn matrisen $A$, 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
Løs problemet
\[
u_{xx}+u_{yy}=0
\]
på rektangelet $[0,1] \times [0,1]$ med randkrav 
\[
u(x,0)=u(0,y)=u(1,y)=0
\]
og
\[
u(x,1)=f(x).
\]
\end{oppgave}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{1}
Det er mulig å utlede Poissons formel 
\[
u(r,\theta)=\frac{a^2-r^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(r\cos \theta,r\sin \theta)}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}\; d\phi
\]
for randverdiproblemet
\begin{align*}
\nabla^2 u(\V x)=0\quad \V x \in  \Omega\\
u(\V x)=f(\V x) \quad \V x \in \partial \Omega
\end{align*}
der $\Omega$ er en sirkelskive med radius $a$, sentrert i origo. 
Bruk Poissons formel og en numerisk integrasjonsrutine til å plotte 
$u$ når $a=1$ og $f(\cos\theta,\sin \theta)=\sin^2\theta$.
\end{oppgave}


Til slutt et problem som er vanskelig og kjedelig, 
og jeg vet ikke om vi får bruk for det. 
Men vi slenger det nå med. 
Det kalles halvplanproblemet,
nemlig å løse Laplaces likning med randkrav 
\begin{equation*}
\lim_{x \to \pm \infty} u(x,y)=\lim_{y \to \infty} u(x,y)=0
\end{equation*}
og 
\begin{equation*}
u(x,0)=f(x),
\end{equation*}
der 
\begin{equation*}
\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0.
\end{equation*}

\begin{oppgave}{3}
Kopier tilsvarende løsning for varmelikningen,
og utled formelen
\[
u(x,y)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v) \frac{y}{(x-v)^2+y^2}\; dv.
\]
\end{oppgave}


\end{comment}


\end{document}
