\input{preamble}

\title{4 - 5 - FLUIDMEKANIKK - LF}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle


\begin{oppgave}{1}
    La $\Omega$ være et område i $\mathbb{R}^3$. 
    Den totale massen inne på $\Omega$ er 
    \[
        \int_\Omega \rho \; dx
    \]
    Denne er gitt i kilo, 
    og endringen
    \[
        \frac{d}{dt}\int_\Omega \rho \; dx
    \]
    er følgelig gitt i kilo per sekund. 
    Dersom $v$ er gitt i meter per sekund, 
    er $\rho v$ gitt i kilo per sekund per kvadratmeter, 
    så da er 
    \[ 
        \int_{\partial \Omega} \rho v \cdot dS
    \]
    den totale utstrømningen av masse gjennom $\partial \Omega$ i kilo per sekund. 
    Hvis vi antar at masse ikke skapes eller ødelegges inne på $\Omega$, 
    må vi ha
    \[
        \frac{d}{dt}\int_\Omega \rho \; dx
        +
        \int_{\partial \Omega} \rho v \cdot dS
        =0
    \]
    siden negativ utstrømning leder til økning av masse inne på $\Omega$. 
    Dette er kontinuitetslikningen på integralform, 
    og bruker vi divergensteoremet og antar tidsderivasjonen får lov til å gå inn under trippelintegralet, 
    får vi 
    \[
        \int_\Omega \frac{\partial}{\partial t}\rho \; dx
        \int_{\Omega} \nabla \cdot \left( \rho v  \right) \; dx
        =0
    \]
    og dersom $\Omega$ er tilfeldig valgt, 
    må disse integrandene være like, 
    slik at 
    \begin{align*}
        \dot \rho + \nabla \cdot (\rho v) =0.
    \end{align*}
    Dersom væsken er inkompressibel,
    er $\rho$ en konstant,
    slik at 
    \begin{align*}
        \nabla \cdot v =0.
    \end{align*}
    Dette er den samme likningen som Gauss' lov for magnetisme, 
    og det finnes idealiserte situasjoner der væskeflytmodellene 
    gir opphav til de samme feltene som i magnetostatikk. 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{2}
    Her får vi to forskjellige endringer i tid, 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt}f(x(t),t) = 
        \dot f(x,t) + \nabla f(x,t) \dot x(t).
    \end{align*}
    Merk at dette går fint både om $f$ er skalar- og vektorfelt så lenge du er nøye på matrisedimensjonene. 
    Størrelsen kalles totalderivert fordi den tolkes som en partikkel eller et 
    lite flyttbart volumelements opplevde endring av $f$ med hensyn på tid. 
    Det første leddet er der fordi $f$ endres over tid, 
    mens det andre leddet er der fordi partikkelen flytter seg rundt i vektorfeltet:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Material_derivative}
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{3}
    Dersom vi setter $f = v$ i forrige oppgave og antar at $v = \dot x$,
    får vi at akselerasjonen til partikkelen eller det infinitesimale flyttbare volumet blir
    \begin{align*}
        \frac{\partial v}{\partial t} + \nabla v v.
    \end{align*}
    Den siste leddet skrives som regel 
    \[
        (v \cdot \nabla) v
    \] 
    i fysikkbøker, 
    så jeg skal bruke denne notasjonen.
    Siden vi skal sette opp regnskap i volumkrefter, 
    blir høyresiden
    \begin{align*}
        \rho\left( \frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v \right).
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
    La $\Omega$ være et lite kontrollvolum. 
    Kraften fra det hydrostatiske trykket på en bit av $\Omega$ er
    \[
        -pe_n\;dS
    \]   
    der $dS$ er en liten bit av $\partial \Omega$ og $e_n$ er utnormalvektoren. 
    La oss ta det komponent for komponent. 
    Komponenten til kraften i retning $e_k$ på hele $\partial \Omega$ er 
    \[
        \int_{\partial \Omega} -pe_{nk}\; dS
    \]   
    og dette sammenfatter vi på vektorform slik: 
    \[
        \int_{\partial \Omega} -pe_{n}\; dS
        =
        \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n1}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n2}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n3}\; dS\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right)
    \]
    Kraften fra tyngden er 
    \[
        -e_3\int_{\Omega} \rho g\; dx
        =
        \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                0\\
                0\\
                -\displaystyle \int_{\Omega} \rho g \; dx\; dS\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right).
    \]
    Dersom vi skal sammenlikne integrandene i alle disse integralene, 
    må vi få kontaktkreftene over på trippelintegralform, 
    og da er det divergensteoremet som er arbeidshesten. 
    Vi bruker gaussgreenteoremet (oppgave 7 i 4-2), 
    og skriver 
    \[
        \int_{\partial \Omega} -pe_{n}\; dS
        =
        \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n1}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n2}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} -pe_{n3}\; dS\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right)
        =
         \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                \displaystyle \int_{\Omega} -\frac{\partial p}{\partial x_1}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\Omega} -\frac{\partial p}{\partial x_2}\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\Omega} -\frac{\partial p}{\partial x_3}\; dS\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right)
         = 
        -\displaystyle \int_{\Omega} \nabla p\; dS\\[4mm]
    \]
    Summerer vi disse kreftene og krever at de balanserer hverandre, 
    får vi 
    \[
        0=
        -\int_{\Omega} \nabla p\; dS
        -e_3\int_{\Omega} \rho g\; dx
    \]
    og dersom $\Omega$ er vilkårlig valgt, 
    må integrandene være like:
    \[
        0=
        \nabla p +
         \rho g
    \]
\end{oppgave}





\begin{oppgave}{5}
    Spenningen på en liten plate med normalvektor $e_n$ blir $\sigma e_n$. 
    I de fleste fluidmekanikkbøker transponerer de $\sigma$ og så skriver de 
    $n \cdot \sigma$ og har alle vektorer på radform i stedet for kolonneform, 
    se for eksempel her:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)}\\
    Hvis du senere er nødt til å basere alt i livet på rader i stedet for kolonner, 
    må du også huske å skrive kjerneregelen som 
    $g'(x)f'(g(x))$ 
    og ikke 
    $f'(g(x))g'(x)$ 
    slik du er vant til. 
    Merk at selv de som skriver på wikipedia er ikke helt enige med seg selv om notasjon - 
    her:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor}\\
    og her:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)#Cauchy_tensor}\\
    er indekseringen i $\sigma$ byttet om i forhold til hverandre. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Dette er det samme resonnementet som i oppgave 4. 
    La $\sigma_k$ være rad $k$ i $\sigma$, 
    altså alle spenninger i retning $e_k$. 
    Kontaktspenningen på $\partial \Omega$ er 
    \[
        \sigma e_n \; dS,
    \]
    så netto kraft blir 
    \[
        \int_{\partial \Omega} \sigma e_n =
        \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} \sigma_1 e_n\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} \sigma_2 e_n\; dS\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\partial \Omega} \sigma_3 e_n\; dS\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right)
        =
         \left( 
            \;
            \begin{matrix}
                \displaystyle \int_{\Omega} \nabla \cdot\sigma_{1}\; dx\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\Omega} \nabla \cdot\sigma_{2}\; dx\\[4mm]
                \displaystyle \int_{\Omega} \nabla \cdot\sigma_{3}\; dx\\[4mm]
            \end{matrix}
            \;
         \right)
    \]
    Dersom du kun har hydrostatisk trykk $p$, 
    blir spenningstensoren bare 
    \begin{align*}
        \sigma = 
        -\left( 
            \begin{matrix}
                p & 0 & 0 \\
                0 & p & 0 \\
                0 & 0 & p \\
            \end{matrix}
         \right)
    \end{align*} 
    så vi kunne gjort denne oppgaven først og tatt oppgave 4 som en triviell konsekvens.    
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Vi tregner altså å beregne divergensen til rad $k$ i $\sigma$ for å 
    finne kraftbidraget i den kartesiske koordinatretningen $e_k$.
    La oss først skrive opp 
    \begin{align*}
        \sigma_1 = \nu_1 \left( \nabla v_1 + \left( \frac{\partial v}{\partial x_1} \right)^T \right) + \nu_2 e_1 \nabla \cdot v
    \end{align*}
    og så beregne
    \begin{align*}
        \nabla \cdot \sigma_1 =& \;\nu_1  \left(\Delta v_1 + \frac{\partial^2 v_1}{\partial x_1 \partial x_1} + \frac{\partial^2 v_2}{\partial x_2 \partial x_1} + \frac{\partial^2 v_3}{\partial x_3 \partial x_1} \right) \\[2mm] 
        +& \; \nu_2 \frac{\partial }{\partial x_1} \left( \frac{\partial v_1}{\partial x_1 } + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial v_3}{\partial x_3}  \right)\\[2mm]
        =& \nu_1 \Delta v_1 + (\nu_1 + \nu_2)\frac{\partial}{\partial x_1}\left( \nabla \cdot v \right).
    \end{align*}
    I den siste likheten har jeg antatt at det er greit å bytte plass på blandete partiellderiverte. 
    Samme beregning gir 
    \begin{align*}
        \nabla \cdot \sigma_2 = \nu_1 \Delta v_2 + (\nu_1 + \nu_2)\frac{\partial}{\partial x_2}\left( \nabla \cdot v \right) \\[2mm]
        \nabla \cdot \sigma_3 = \nu_1 \Delta v_3 + (\nu_1 + \nu_2)\frac{\partial}{\partial x_3}\left( \nabla \cdot v \right) 
    \end{align*}
    så om vi legger den vanlige vektortolkingen av $\Delta v$ til grunn, 
    kan disse tre likningene sammenfattes slik 
    \begin{align*}
        \nabla \cdot \sigma = \nu_1 \Delta v + (\nu_1 + \nu_2)\nabla\left( \nabla \cdot v \right) 
    \end{align*}
    slik at Newtons andre lov blir
    \[
        \frac{\partial v}{\partial t} + v \cdot \nabla v = 
        -\frac{\nabla p}{\rho} - g + 
        \frac{1}{\rho}\left( \nu_1 \Delta v + (\nu_1 + \nu_2)\nabla(\nabla \cdot v)  \right).
    \]
    Egentlig er det litt feil å kalle det \say{Newtons andre lov},
    for det var Euler som introduserte denne måten å gjøre opp kraftregnskap på omtrent femti år etter Newton publiserte Principia. 
    Derfor kalles de utvidete bevegelseslovene \textbf{Newton-Euler-likningene}:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Newton–Euler_equations}
\end{oppgave}











\end{document}
