\input{preamble}

\title{4 - 3 - VEKTORKALKULUS III - LF}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle



\begin{oppgave}{1}
	Arbeidet som $F$ gjør på partikkelen er 
	\begin{align*}
		\int_\Gamma F \cdot ds &= 
		\int_{a}^{b}
		\left( -F_1(\cos \theta(t),\sin \theta(t)) \sin \theta(t) + 
		F_2(\cos \theta(t),\sin \theta(t)) \cos \theta(t) \right)r \dot \theta(t)\; dt  \\[2mm]
		&=
		\int_{\theta(a)}^{\theta(b)}
		re_s \times 
		\left( 
		F_1e_1 + F_2e_2
		 \right)\; d\theta\\[2mm]
		&=
		\int_{\theta(a)}^{\theta(b)}
		 x \times F\; d\theta.
	\end{align*}
	Innmaten i dette integralet er dreiemomentet til $F$ om origo, 
	så huskeregelen er at dreiemomentet er den størrelsen du integrerer 
	med hensyn på $\theta$ for å finne arbeid 
	på noe som dreier om en rotasjonsakse. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
	Vi har 
	\[x(t)=e_1r\cos \theta(t) + e_2r\sin \theta(t)\] og 
	\[v(t)=-e_1r\dot \theta(t)\sin \theta(t) + e_2r\dot \theta(t)\cos \theta(t)\]
	så drivmomentet blir
	\begin{align*}
		L = x \times p = mr^2 \dot \theta e_3. 
	\end{align*}
\end{oppgave}

Newtons andre lov er $F = \dot p$ og versjonen for angulært moment lyder slik: 
\begin{align*}
	\tau = \dot L 
\end{align*}	

\begin{oppgave}{3}
	La oss for enkelhets skyld anta at $m$ er konstant. 
	Vi deriverer $L$ og bruker $F = \dot p$ og at kryssproduktet mellom parallelle vektorer er null,
	og får
	\begin{align*}
		\dot L = \dot x \times p + x \times \dot p = 
	x \times F. 
	\end{align*}
	Hvis det ikke er dreiemoment er drivmomentet konservert siden $\dot L = 0$. 
	Å beregne drivmomentet for en ting med utstrekning er et trippelintegral, 
	men hvis du se på partikkelen i oppgaven over, 
	så ser du at om $r$ minker må noe annet øke og det eneste som kan øke er $\dot \theta$. 
	Så om du tenker på kunstløperene som en partikkel i posisjonen til kunstløperens massesenter, 
	vil rotasjonshastigheten øke om massesenteret trekkes inn mot rotasjonsaksen. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
	Dette regna vi i 3-1 slik, både i sylinderkoordinater og i kartesiske koordinater: 
	\begin{align*}
        v &= r\omega e_\theta\\ 
        &= r\omega (-e_1\sin \theta  + e_2\cos \theta )\\ 
        &= \omega (-e_1 x_2 + e_2x_1)=
        \omega
    \left(\;
    \begin{matrix}
        -x_2 \\
        x_1 \\
        0
    \end{matrix}
    \;\right)
    \end{align*}
	Rotasjonen blir $2\omega$. 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{5}
	Lureoppgave, dette er det samme som forrige oppgave. 	
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	Nå skal vi foregripe begivenhetenes gang og bruke 
	formelen for rotasjon i sylinderkoordinater og få at 
	\[
		\nabla \times f = \frac{1}{s}\frac{\partial sf_\theta}{\partial \theta}e_z = \frac{1}{s}e_z
	\]
	siden $f_\theta = 1$ og $f_s=f_z = 0$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
	og 
	$\nabla \times f = 0$, 
	noe som er åpenbart for alle som kjenner magnetfeltet rundt en rett strømførende ledning og 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
	og $\nabla \times f = -e_z/s^3$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{9}
	Jeg ligger litt etter og skal skrive ned,
	inntil videre kan du se her:\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates#endnote_Alpha}
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{11}
	Dersom $f$ er rotasjonsfritt finnes en potensialfunksjon $V$, 
	og om gradienten til denne er divergensfri, 
	må $V$ være harmonisk. 
	Så både divergens- og rotasjonsfrihet impliserer at det finnes et harmonisk skalarpotensiale.
	Av og til er det innlysende hva som er korrekt potensiale,
	og det er bare å skrive opp og dobbeltsjekke, 
	mens av og til må man regne. 
	Her kommer de: 

	Vektorfeltet $(x_1,x_2,x_3)$ har potensialfunksjon 
	$V(x) = \frac{1}{2}|x|^2 + c$ der $c$ er en vilkårlig konstant. 
	
	Den laminære vannstrømmen $(x_3,0,0)$ er divergensfri, 
	og her vil du kanskje oppdage at det finnes massevis av vektorpotensialer,
	for eksempel $(0,-\frac{1}{2}x_3^2,0)$ gjør jobben, 
	men det gjør også $(0,-\frac{1}{2}x_3^2,0)+ g(x)$ der $g$ er et tilfeldig divergensfritt vektorfelt. 
	Av og til må man velge potensialet på en spesiell måte - det skal vi se i neste uke. 

	Coloumbfeltet har potensialfunksjon $\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{|x|}$, 
	som vi sjekket i TMA4111. 

	Den roterende skiva er også divergensfri, 
	så her finnes det mange mange vektorpotensialer - 
	for eksempel $-\frac{1}{2}(0,x_2^2,x_1^2)$ funker fint. 

	Vektorfeltene i oppgave 4 og 5 i økt 3-2 er hverken divergens- eller rotasjonsfrie, 
	så det finnes ikke potensialer.
	
	Vektorfeltene i 6-8 i denne økten er alle divergensfrie, 
	dette er lett å se fra formelen for divergens i sylinderkoordinater:
	\begin{align*}
		\nabla \cdot f =  
		 \frac{1}{s}\frac{\partial s f_s}{\partial s}
		+ \frac{1}{s}\frac{\partial f_\theta}{\partial \theta}
		+ \frac{\partial f_z}{\partial z}
	\end{align*}
	Så de har vektorpotensialer. 
	Rotasjonen sjekket vi i oppgave 5-8 og det var kun den i oppgave 7 som ikke hadde rotasjon, 
	så den er gradienten til en harmonisk funksjon. 
	Gradientformelen
	\begin{align*}
		\nabla f =  
		 \frac{\partial f}{\partial s}e_s
		+ \frac{1}{s}\frac{\partial f}{\partial \theta}e_\theta
		+ \frac{\partial f}{\partial z}e_z
	\end{align*}
	gir
	\begin{align*}
		\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{1}{s}, 
	\end{align*} 
	slik at 
	$V= \theta + c$
	der $c$ er konstant
	gjør jobben. 
	For den i oppgave 6 vil for eksempel $z e_s$ eller $-se_z$ gjøre jobben,
	og du klarer nok å finne noe på oppgave 8. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
\begin{oppgave}{13}
	Rotasjonen er 
	\begin{align*}
		\nabla \times f = 2x_2e_1 - 2x_2e_2 - 2e_3
	\end{align*}
	gitt at utnormalen i flateintegralet i oppgaven peker oppover. 
\end{oppgave}
\end{comment}

\begin{oppgave}{13}
	Ellipsoideskallet skjærer $x_1x_2$-planet i enhetssirkelen, 
	så her er det bare å regne ut den andre siden av stokes' teorem slik: 
	\begin{align*}
		\int_{\partial \Sigma} f\cdot ds = 5\int_0^{2\pi} \sin^2 t + \cos^2 t \; dt= 10\pi,
	\end{align*}
	gitt at utnormalen i flateintegralet i oppgaven peker oppover. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
	Dette er lett å huske om man husker stokes teorem siden stokes teorem sier at 
	\[
		\oint_{\partial \Sigma}   f \cdot ds= 0
	\]
	dersom $\nabla \times f = 0$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{15}
	Det er viktig at flaten $\Sigma$ er \textbf{orienterbar}:\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Orientability}\\
	De fleste flater du kommer til å støte på er det. 
	Det mest kjente unntaket er møbiusflaten:\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_strip}
\end{oppgave}

\begin{comment}
%\begin{center}\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1021527}\end{center}



Den første varianten av Greens teorem generaliseres til noe som kalles 
\textbf{Stokes teorem}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes'_theorem}
}
La $\Sigma$ være en flate i rommet, 
med randkurve $\partial \Sigma$, 
og $f$ er glatt og så videre:
\[
\oint_{\partial \Sigma}   f \cdot ds= \iint_{\Sigma} \nabla \times   f \cdot dS
\]
Dette er også en generalisering av analysens fundamentalteorem, 
og sier at arbeidet $f$ gjør på en partikkel som reiser rundt $\partial \Sigma$ 
er det samme som fluksen til rotasjonen til $f$ gjennom $\Sigma$. 
Akkurat som med divergensteoremet bruker vi Stokes' teorem
primært til å håndtere overgangen mellom fysiske lover på differensial-
og integralform.
Men la oss også her ta noen goodhartklassikere fra TMA4105.

\begin{oppgave}{12}
La $\Omega \in \mathbb R^3$ være begrenset av paraboloidene
$x_3 = x_1^2 + (x_2 + 1)^2$ og $x_3 = 10 - x_1^2 - (x_2 - 1)^2$.
La $\Gamma$ betegne
skjæringskurven mellom dem
og la
$ f(x) = (x_1 + x_2, x_2 - x_1, x_1^2 + x_2^2)^T$.
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oint_{\Gamma}  f \cdot ds
  \end{equation*}
  der $\Gamma$ er orientert mot klokken sett ovenfra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{13}
  La $\Omega$ være den delen av ellipsoiden $x_1^2 + x_2^2 + 8(x_3 - 1)^2
  = 9$ hvor $x_3 \geq 0$, og la vektorfeltet $ f \colon \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
     f(x) = \left(x_1x_3 - 5x_2^3 \cos x_3, 5x_1^3 e^{x_3}, 6x_1x_2 e^{x_1^2 + x_2^2
        + x_3^2}\right)
  \end{equation*}
  Regn ut
  $
    \iint_R \nabla \times   f \cdot   dS.
  $
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{14}
	Har du noen ide om hvordan du kan se at rotasjonsfrihet impliserer at $f$ er konservativt?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{15}
	Det er noen flater som ikke går å bruke Stokes' teorem på. 
	Finn en slik. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
\begin{align*}
	\oint_{\Gamma}   f \cdot ds = 0 	
\end{align*}
for alle lukkede kurver $\Gamma$ dersom $f$ er rotasjonsfritt. 
\clearpage

Til slutt litt om integraltegn. 
Jeg har skrevet divergensteoremet slik:
\[
\iiint_\Omega \nabla \cdot   f = \oiint_{\partial \Omega}   f \cdot dS
\]
og Stokes' teorem slik: 
\[
\oint_{\partial \Sigma}   f \cdot ds= \iint_{\Sigma} \nabla \times   f \cdot dS
\]
I begge disse likningene er det en del overflødig notasjon. 
Dersom vi har spesifisert $\Omega$ og $\Sigma$, 
er det ikke egentlig nødvendig med sirklene på linje- og fluksintegralene, 
og det er egentlig ikke nødvendig med doble og triple integraltegn, 
for vi vet at $\Omega$ er et område i $\mathbb{R}^3$ og at 
$\Sigma$ er en flate i $\mathbb{R}^3$. 
Her er en litt mer minimalistisk notasjon:\\
\begin{minipage}{80mm}
\begin{itemize}
	\item Arbeid: $\displaystyle \int_\Gamma g \cdot ds$ 
	\item Flateintegral: $\displaystyle \int_\Sigma f \; dS$ 
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{itemize}
	\item Fluksintegral: $\displaystyle \int_\Sigma g \cdot dS$ 
	\item Trippelintegral: $\displaystyle \int_\Omega f \; dx$ 
\end{itemize}
\end{minipage}
Denne notasjonen er vanlig i avansert faglitteratur, 
og ser du nøye på integralene,
ser du at de er \textit{akkurat} forskjellige nok til at du vet hva som er hva, 
så lenge du vet at 
$\Omega$ være et område i $\mathbb{R}^3$, 
at $\Sigma$ en flate i $\mathbb{R}^3$
at $\Gamma$ en kurve i $\mathbb{R}^3$.
At $f:\Omega \to \mathbb{R}$ og  
$g:\Omega \to \mathbb{R}^3$ er implisert hvis du vet hva integralene betyr. 

\begin{oppgave}{16}
	Skriv divergensteoremet og Stokes' teorem med denne notasjonen. 
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1021532}\end{center}

\begin{comment}
Så vi kan like gjerne skrive divergensteoremet slik:
\[
\int_\Omega \nabla \cdot   f \; dx = \int_{\partial \Omega}   f \cdot dS
\]
og Stokes' teorem slik: 
\[
\int_{\partial \Sigma}   f \cdot ds= \int_{\Sigma} \nabla \times   f \cdot dS
\]

\clearpage 

vektorpotensialet

hva skjer om $\Sigma$ er en lukket flate, jf kontinuitetslikningen?

\end{comment}





\end{document}
