\input{preamble}

\title{4 - 2 - VEKTORKALKULUS II}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle


Hvis du slår opp i en typisk formelsamling, 
\footnote{For eksempel her:
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates}
}
    vil du finne uttrykket
\begin{align*}
    \Delta f
    =
    \frac{\partial^2 f}{\partial s^2}
    +
    \frac{1}{s}\frac{\partial f}{\partial s}
    +
    \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
    =
    \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}
    \left( 
        s\frac{\partial f}{\partial s} 
    \right)
    +
    \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
\end{align*}
for laplaceoperatoren i polarkoordinater. 
Vi utledet denne i TMA4111 og det 
er for å sitere min svigerfar 
\say{en helvetes prosedyre} - 
antagelig har du fortrengt det. 
Å utlede den tilsvarende formelen 
\[
    \Delta f=    
    \frac{1}{r^2}
    \frac{\partial }{\partial r}
    \left( 
        r^2
    \frac{\partial f}{\partial r}
     \right)
    + 
    \frac{1}{r^2\sin^2\varphi}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
    +
    \frac{1}{r^2\sin \varphi}
    \frac{\partial }{\partial \varphi}
    \left( 
        \sin \varphi
    \frac{\partial f}{\partial \varphi}
     \right)
\]
i kulekoordinater er selvfølgelig enda verre. 
Med mindre du kan noen lure triks. 
La $f$ være et skalarfelt.
Den partiellderiverte med hensyn på variabelen $x_k$ er 
\begin{align*}
    \frac{\partial f}{\partial x_k} =
    \lim_{h\to 0} 
    \frac{f(x + he_k)-f(x)}{h}.
\end{align*}
Vi skriver
\begin{align*}
    \frac{\partial f}{\partial v} =
    \nabla_v f(x) =
    v\cdot \nabla f(x) =
    \lim_{h\to 0} 
    \frac{f(x + hv)-f(x)}{h}
\end{align*}
for den retningsderiverte\footnote{Se her for andre skrivemåter:
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative}
} 
i retningen gitt av enhetsvektoren $v$.

\begin{comment}
\begin{oppgave}{0}  
    Bruk kjerneregelen til å utlede at 
    \begin{align*}
        \frac{\partial f}{\partial s} &= \frac{\partial f}{\partial e_s} = e_s \cdot \nabla f(g(s,\theta))\\[2mm]
        \frac{\partial f}{\partial \theta} &= s\frac{\partial f}{\partial e_\theta}
    \end{align*}
\end{oppgave}
\end{comment}





\begin{oppgave}{1}  
    Bruk retningsderivert og utled uttrykket for gradienten i kulekoordinater:
    \begin{align*}
        \nabla f = 
        \frac{\partial f}{\partial r}e_r
        + 
        \frac{1}{r\sin \varphi}\frac{\partial f}{\partial \theta}e_\theta
        + 
        \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi}e_\varphi
    \end{align*}
\end{oppgave}



\begin{center}\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1002195}\end{center}






\clearpage

Et sentralt verktøy i de store pde-modellene er \textbf{kontrollvolumet}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Control_volume}
}
Dette er et fiktivt volum som er bitte lite og som brukes til å utlede relasjoner på integral- 
eller differensialform i flervariabel kalkulus. 
Vi skal introdusere tankegangen gjennom å skrive opp den korrekte definisjonen av divergens. 
La $\Omega$ være et område i $\mathbb{R}^3$ med volum $|\Omega|$ og $f$ et vektorfelt.
Divergensen til $f$ er:
\begin{align*}
	\nabla \cdot f = 
	\lim_{|\Omega|\to 0}
	\frac{1}{|\Omega|} \oiint_{\partial \Omega}   f \cdot dS
\end{align*}
Her er det underforstått at $\nabla \cdot f$ på venstre side er evaluert i 
det punktet $x$ som $\Omega$ skrumper inn til.
Fra definisjonen ser vi tydelig at divergens er \textbf{utstrømning per volum}.

\begin{oppgave}{2}
	Bruk definisjonen og et kontrollvolum til å utlede at  
	\begin{align*}
    \nabla \cdot f = 
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} +
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2} +
	\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
	\end{align*}
    i kartesiske koordinater.
\end{oppgave}

La oss nå si at du har et vektorfelt $f$ som er gitt i kulekoordinatbasisen:
\begin{align*}
    f=
    f_re_r + 
    f_\theta e_\theta + 
    f_\varphi e_\varphi. 
\end{align*}
Her betyr $f_r$ vektorfeltets komponent i retningen $e_r$, 
og komponentene er funksjoner av $(r,\theta,\varphi)$.

\begin{oppgave}{3}
Utled uttrykket for divergensen i kulekoordinater: 
\begin{align*}
    \nabla \cdot f = 
    \frac{1}{r^2}
    \frac{\partial }{\partial r}
    \left( r^2f_r \right)
    +
    \frac{1}{r\sin \varphi}
    \left( 
        \frac{\partial }{\partial \varphi}
        \left( f_\varphi \sin\varphi \right)
        +
        \frac{\partial f_\theta}{\partial \theta}
    \right)
\end{align*}
    Nå kan du få tak i laplaceoperatoren i kulekoordinater ved å huske at $\Delta f = \nabla \cdot \nabla f$.
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1002183}\end{center}

\clearpage

Kontrollvolumideen brukes også til å utlede en tredimensjonal variant av 
analysens fundamentalteorem
som 
kalles \textbf{divergensteoremet}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem}
}
Denne er analog til den fluksversjonen av Greens teorem.
La $\Omega \in \mathbb{R}^3$ og anta 
$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$  er glatt og alt det der,
da er
\[
\iiint_\Omega \nabla \cdot   f = \oiint_{\partial \Omega}   f \cdot dS.
\]
Dette utsagnet sier at $f$ sin netto utstrømning fra $\Omega$ 
skal være lik $f$ sin ekspansjon inne på $\Omega$. 
Den viktigste anvendelsen er at den lar oss sjonglere 
mellom fysiske lover på integral- og differensialform.
La oss ta noen klassikere fra TMA4105 sånn mest for kosens skyld.  
Disse er designet for å teste om en typisk sivingstudent har skjønt divergensteoremet. 
\footnote{I praksis tester den ikke det, 
men heller om en sivingstudent har trent masse på en bestemt type regneoppgave som 
er designet for å teste om en sivingstudent har skjønt divergensteoremet.
Jf. Goodharts lov:\\
\url{https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7901608/}
}


\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
\begin{align*}
x_3 = x_1^2 + (x_2+ 1)^2
\hspace*{10mm}
\text{og}
\hspace*{10mm}
x_3 = 10 - x_1^2 - (x_2- 1)^2
\end{align*}
og la $\Gamma$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $f \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
\begin{align*}
f(x) = (x_1 +x_2, x_2- x_1, x_1^2 +x_2^2)
\end{align*}	
og regn ut
	\begin{equation*}
		\oiint_{\partial T} f \cdot  dS
	\end{equation*}
	der $\partial T$ er randen til $T$ og enhetsnormalen $  N$ peker
	ut fra $T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
	La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av flatene $x_3 = \sqrt{x_1^2 +
		x_2^2 - 7}$, $x_3 = 0$ og $x_3 = 2$.  La vektorfeltet $f \colon \mathbb R^3
	\to \mathbb R^3$ være gitt ved
	\begin{equation*}
		f(x) = (x_1 - x_3, x_1 +x_2, x_3 + 1).
	\end{equation*}
	Hva er fluksen ut av den krumme delen til randen til $T$?
\end{oppgave}




Å utlede divergensteoremet er noe for hardt for oss, 
men sett fra et fysikkperspektiv er det nesten innlysende. 
Masse kan ikke forsvinne eller oppstå og hva som går ut av 
$\partial \Omega$ må stå i forhold til ekspansjonen inne på $\Omega$. 
Fra divergensteoremet følger en del andre nyttige formler 
vi kommer til å få bruk for. 
Bruk divergensteoremet til å utlede\\

\begin{minipage}{60mm}
\begin{oppgave}{6}
	$
		\displaystyle
        \iiint_\Omega \Delta u \; dx = 
        \oiint_{\partial \Omega} \nabla u \cdot dS  
    $
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{7}
	gaussgreenteoremet
	\begin{align*}
        \iiint_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_k} = \oiint_{\partial \Omega} u e_{nk}\; dS
    \end{align*}
	der $e_{nk}$ er komponent $k$ i enhetsnormalvektoren ut av $\partial \Omega$. 
\end{oppgave}
\end{minipage}\\[4mm]

\begin{oppgave}{8}
	delvisintegrasjonsformelen 
    $
		\displaystyle
        \iiint_\Omega v\frac{\partial u}{\partial x_k} +
        \iiint_\Omega u\frac{\partial v}{\partial x_k} =
         \oiint_{\partial \Omega} uv e_{nk}\; dS
    $
\end{oppgave}


\begin{comment}
Dette kan igjen brukes til å utlede noe som kalles \textbf{Greens formler}:
\begin{align*}
	\iiint_\Omega \nabla u \cdot \nabla v + u \Delta v \;dx = \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial n}\;dS \\

\end{align*}

\end{comment}


%\footnote{Rene Descartes likte visst å ligge og dra seg til langt ut på morgenkvisten,for det var da han tenkte best.\url{https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/26291552/}}

\end{document}
