\input{preamble}

\title{4 - 1 - VEKTORKALKULUS I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle

Dette kurset skal handle om de store partielle 
differensiallikningsmodellene i fysikk. 
Før vi går løs på disse, 
skal jeg tale om notasjon. 
Hvordan man noterer ting kan ha ganske mye å si for hvor lett det er å håndtere. 
Du kan for eksempel prøve å dele 376 på 8 i romerske numeraler: 
\[
    \frac{\text{CCCLXXVI}}{\text{VII}} = \text{XLVII}
\]
Kanskje ikke så rart romerne ikke gjorde stort av seg som matematikere. 
Vel vel.
Når vi skriver
\[
    x=
    \left( \;
    \begin{matrix}
        x_1 \\
        x_2 \\
        x_3
    \end{matrix}
    \; \right)  
\]
er det underforstått at 
$x_1$, $x_2$ og $x_3$ er koordinatene til punktet $x$ i standardbasisen i $\mathbb{R}^3$.
Denne notasjonen er fantatisk - 
det er mye lettere å lese formlene 
\[
    \beta_1 = \frac{  {x}^T  {y} - n \bar{  x} \bar{  y}}{|x|^2 - n\left( \bar{  x} \right)^2}
    \hspace{20mm}
        \beta_0 = \overline{  y}-\beta_1\overline{  x}
    %     \frac{ \bar{  y}\|  x\|^2 -\bar{  x}  \left(  {x}^T {y} \right)}{\|  x\|^2 - n\left( \bar{  x} \right)^2}.
\]
enn 
\[
    \beta_1 = \frac{  \sum_{k=1}^{n}x_ny_n - \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^{n}x_n \right)\left( \sum_{k=1}^{n}y_n \right) }{\sum_{k=1}^{n}x_n^2 - \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^{n}x_n \right)^2}
    \hspace{20mm}
        \beta_0 = \frac{1}{n}\left( \sum_{k=1}^{n}y_n - \beta_1\sum_{k=1}^{n}x_n\right).
    %     \frac{ \bar{  y}\|  x\|^2 -\bar{  x}  \left(  {x}^T {y} \right)}{\|  x\|^2 - n\left( \bar{  x} \right)^2}.
\]
Men det finnes alternativer.
På gymnaset skrev du 
\[
    (x_1,x_2,x_3)
\]
siden matriseregning ikke var pensum,
og i gamle dager skrev vi 
\[
    x \V i +
    y \V j +
    z \V k,
\]  
antagelig fordi multiplikasjonstabellen for kryssproduktet mellom $\V i$, $\V j$ og $\V k$ er den samme 
som multiplikasjonstabellen for de imaginære kvaternionene $i$, $j$ og $k$. 
I en avansert bok om lineæralgebra eller differensiallikninger
skriver man gjerne 
\[
    x_1 \V e_1 +
    x_2 \V e_2 +
    x_3 \V e_3
\]  
og
det finnes faktisk en ISO-standard (ISO 80000-2) som påstår at vi skal skrive det slik:
\[
    x \hat \V x +
    y \hat \V y +
    z \hat \V z
\]  
Nå kan man diskutere om sistnevnte notasjonen er god og om det er fornuftig å 
ha en ISO-standard for standardbasisen i $\mathbb{R}^3$,
men noen har tenkt at det var lurt. 
Ikke vet jeg.

\begin{oppgave}{1}
    Regn ut kryssproduktet mellom $(1,2,3)$ og $(4,5,6)$ så fort som overhodet mulig. 
\end{oppgave}

\clearpage

I fysikklitteratur er det to andre basiser for $\mathbb{R}$ som dukker opp,
nemlig
\begin{align*}
    \textbf{sylinderkoordinatbasisen} 
    \hspace{10mm}
    &\{\hat s, \hat \theta, \hat z\}
    \hspace{10mm}
    \text{og}
    \hspace{10mm}\\
    \textbf{kulekoordinatbasisen}
    \hspace{10mm}
    &\{\hat r, \hat \theta, \hat \varphi\}.
\end{align*}
Disse basisvektorene peker i bestemte retninger knyttet 
til radiene og vinklene i de sylinder- og kulekoordinatsystemene,
og de kan være litt forvirrende i starten siden basisvektorene endres 
etter hvor i $\mathbb{R}^3$ man befinner seg - 
sjekk figurene her (og husk at fysikere og matematikere har motsatt konvensjon på hva som er 
$\theta$ og $\varphi$ i kulekoordinater):\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates}\\
Det finnes også mer avanserte koordinatsystemer, 
men de får ikke vi bruk for.\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_coordinate_system}
}

\begin{oppgave}{2}
    Sett opp eksplisitte uttrykk for basiselementene i 
    kule- og sylinderkoordinatbasisene.\\
    (Hint: 
    Vi kan noen triks fra TMA4111 som gjør det nesten trivielt.
    Bruk jacobimatrisene til kule- og
    og sylinderkoordinattransformasjonene.)
\end{oppgave}

I dette kurset skal vi bruke $e$ med en subskript for å indikere forskjellige enhetsvektorer:

\begin{itemize}
    \item[$e_k$]: Standardbasiselement $k$ i $\mathbb{R}^3$.
    \item[$e_\varphi$]: Rett sør på en kuleflate sentert i origo. 
    \item[$e_\theta$]: Rett øst på samme kuleflate.
    \item[$e_r$]: Radielt ut fra origo; retningen avhenger av $\theta$ og $\varphi$.
    \item[$e_s$]: Normalt ut fra $e_3$; retningen avhenger av $\theta$.
    \item[$e_n$]: Normalvektor til en flate, utnormal om flaten er lukket.
\end{itemize}


\begin{oppgave}{3}
    Fordelen med disse alternative basisene er at noen ting blir lettere å skrive opp. 
    Skriv opp coloumbfeltet
    \[
		E \left(  x  \right) =
	    \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
		\frac{ x }{| x |^3}
    \]
    i kulekoordinatbasisen.
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019957}\end{center}

\clearpage

Så er det dette med derivasjon.
I TMA4111 brukte vi
den gode gamle derivasjonsapostrofen:
\begin{align*}
 f'
=
\frac{\partial f}{\partial x}
=
\left( \;
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[3mm]
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[3mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3mm]
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{matrix}
\; \right)  
\end{align*}
Dette var for å drive gjennom at mange formler du 
lærte på skolen, 
for eksempel kjerneregelen
\[
	h'\left( x \right)=  g'\left( f \left( x \right) \right)   f'\left( x \right)
\]
eller ettpunktsformelen for tangenter
\begin{align*}
	p(s) = f(x) + f'(x)(s-x)
\end{align*}
generaliserer til funksjoner fra 
$\mathbb{R}^m$
til 
$\mathbb{R}^n$
dersom du kan matrisemultiplikasjon. 
I faglitteratur er det vanlig å bruke
\textbf{gradientoperatoren} eller 
\textbf{nablaoperatoren}:
\begin{align*}
	\nabla = 
	\left( 
	\frac{\partial }{\partial x_1},
	\frac{\partial }{\partial x_2},
	\frac{\partial }{\partial x_3}
	\right)
	=
    e_1
	\frac{\partial }{\partial x_1}
    +
    e_2
	\frac{\partial }{\partial x_2}
    +
    e_3
	\frac{\partial }{\partial x_3}
\end{align*}
Gradienten til skalarfeltet $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 
skrives 
\begin{align*}
	\nabla f= 
	\left( 
	\frac{\partial f}{\partial x_1},
	\frac{\partial f}{\partial x_2},
	\frac{\partial f}{\partial x_3}
	\right)
	=
    e_1
	\frac{\partial f}{\partial x_1}
    +
    e_2
	\frac{\partial f}{\partial x_2}
    +
    e_3
	\frac{\partial f}{\partial x_3}
\end{align*}
og tar vi gradientoperatoren på $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$,
mener vi jacobimatrisen
\[
	\nabla f= 
	\left( \;
    %\begin{matrix}
	   % \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}\\[3mm]
	   % \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[3mm]
	   % \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
    %\end{matrix}
    \begin{matrix}
	    \nabla f_1 \\[2mm]
	    \nabla f_2 \\[2mm]
	    \nabla f_3
    \end{matrix}
	\;\right)
    =
    \left( \;
    \begin{matrix}
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \frac{\partial f_1}{\partial x_3} \\[3mm]
    \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\[3mm]
    \frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2}& \frac{\partial f_3}{\partial x_3} \\
    \end{matrix}
    \; \right).
\]
Fordelen med nablaoperatoren er at den kan settes sammen med prikk- 
og kryssproduktet.

\begin{oppgave}{4}
	La $f$ være en funksjon fra $\mathbb{R}^3$ 
	til $\mathbb{R}^3$. 
	Hva blir $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$?
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019970}\end{center}

\clearpage

\textbf{Divergensen}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence}
} 
til et vektorfelt er sporet\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)}
} 
til vektorfeltets jacobimatrise:
\[
\nabla \cdot   f = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
\]
Denne forteller oss noe om vektorfeltets ekspansjon i punktet $x$. 
\textbf{Rotasjonen}\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)}
} 
til et vektorfelt er litt vanskeligere å tolke,
og litt mer grisete enn divergensen:\\[-9mm]
\begin{align*}
\nabla \times f =&
	\left( 
	e_1\frac{\partial }{\partial x_1} +
	e_2\frac{\partial }{\partial x_2} +
	e_3\frac{\partial }{\partial x_3}
	\right)
    \times
	\left( e_1f_1+e_2f_2+e_3f_3 \right)
	=
	\left(\;
    \begin{matrix}
	\displaystyle\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\\[4mm]
	\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\\[4mm]
	\displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
    \end{matrix}
	\;\right)
\end{align*}
\begin{comment}
Husk at 
	\begin{align*}
		%i^2 &= j^2 = k^2 = ijk = −1\\
        \hspace{-2mm}
        i\times j&=k \hspace{13mm}
        j\times k=i \hspace{13mm}
        k\times i=j \\
        \hspace{-2mm}
        j\times i&=-k \hspace{10mm}
        k\times j=-i \hspace{10mm}
        i\times k=-j 
	\end{align*}
\end{comment}
I dette kurset skal vi bli bedre kjent med disse. 
Finn $\nabla f$, $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$ når $f(x)$ er 

\begin{minipage}{40mm}
    \begin{oppgave}{5}
        $(x_1,x_2,x_3)^T$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
    \begin{oppgave}{6}
        den laminære vannstrømmen 
        $(x_3,0,0)^T$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
    \begin{oppgave}{7}
        coloumbfeltet.
    \end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{8}
    en roterende skive i $x_1x_2$-planet, for eksempel slipeskiven 
    på en vinkelsliper eller sagbladet på en sirkelsag eller noe annet som roterer med 
    konstant vinkelhastighet $\omega$.
\end{oppgave}

I de store fysikkmodellene 
dukker det gjerne opp kombinasjoner av gradient, 
divergens og rotasjon.
La $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ og $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$.
Regn ut: 

\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{9}
        $\nabla \cdot (\nabla f)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{10}
        $\nabla \times (\nabla f)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{11}
        $\nabla (\nabla \cdot g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{12}
        $\nabla \cdot (\nabla \times g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{13}
        $\nabla \times (\nabla \times g)$
    \end{oppgave}
\end{minipage}

Den første av disse kjenner du fra før, 
nemlig \textbf{laplaceoperatoren}: 
\begin{align*}
    \Delta f = 
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} +
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} +
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}
\end{align*}\\[-4mm]

\begin{oppgave}{14}
    Finn         
    $\nabla \cdot (\nabla f)$
    når $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$. 
\end{oppgave}


\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019949}\end{center}

\end{document}
