\input{preamble}

\title{4 - 1 - VEKTORKALKULUS I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle


\begin{oppgave}{1}
    Melina kjefta på meg for å regne ut kryssproduktet på en teit måte i forelesning. 
    Men jeg slipper i hvertfall å tenke. 
    Da kan holde ut med mye. 
    Husk å puste med nesen - det er bra for blodtrykket:\\
    \url{https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC11178300/}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    For sylinderkoordinater er jacobimatrisen gitt ved
    \[
		|g'(s,\theta,z)|=
		\begin{pmatrix}
			\cos \theta & -s\sin \theta & 0 \\
			\sin \theta & s\cos \theta & 0 \\
			0 & 0 & 1 \\
		\end{pmatrix}.
	\]
	Den første og siste kolonnen er allerede korrekt normaliserte, 
    mens for den i midten er det bare å dele ut $s$. 
    Basisen er altså 
    \[
        \begin{pmatrix}
            e_s & e_\theta & e_z
        \end{pmatrix}
		=
        \begin{pmatrix}
			\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
			\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
			0 & 0 & 1 \\
		\end{pmatrix}.
	\]
    For kulekoordinater har vi 
    \[
        g'\left(r,\theta,\varphi\right)=
        \begin{pmatrix}
            \cos \theta \sin \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \cos \varphi\\
            \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi\\
            \cos \varphi &  0 & -r\sin \varphi \\
        \end{pmatrix}
    \]
    så kulekoordinatbasisen blir 
    \[ 
        \begin{pmatrix}
            e_r & e_\theta & e_\varphi
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
            \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta & \cos \theta \cos \varphi\\
            \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta & \sin \theta \cos \varphi\\
            \cos \varphi &  0 & -\sin \varphi \\
        \end{pmatrix}
    \]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
    Dette blir pent og likner mer på den varianten du lærte på gymnaset:
    \[
		E =
	    \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
		\frac{e_r}{r^2}
    \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
    Jacobimatrisen blir identitetsmatrisen, 
    divergensen blir tre og rotasjonen null.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
    Jacobimatrisen til coloumbfeltet var det siste vi beregna i 4111, 
    se økt 3-12. 
    Både divergensen og curlen blir null. 
    Hm. 
    Siste ord er ikke helt sagt her, 
    vent i spenning til økt 3-5. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
    Denne er litt morsom.  
    Dersom skiven er sentrert i origo og har rotasjonshastigheten $\omega$ gitt i radianer per sekund, 
    er hastighetsvektoren i punktet med koordinater $(s,\theta,0)$ gitt ved 
    \begin{align*}
        v &= r\omega e_\theta\\ 
        &= r\omega (-e_1\sin \theta  + e_2\cos \theta )\\ 
        &= \omega (-e_1 x_2 + e_2x_1)=
        \omega
    \left(\;
    \begin{matrix}
        -x_2 \\
        x_1 \\
        0
    \end{matrix}
    \;\right)
    \end{align*}
    Divergensen til denne er null, 
    men rotasjonen er $2e_3\omega$. 
    Jeg vet ikke om det finnes noe godt norsk ord for størrelsen $\frac{1}{2} \nabla \times f$, 
    men på engelsk kalles denne \say{rotation}, 
    mens det vi kaller \say{rotasjon} kaller de \say{curl}. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
    Denne blir null.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{12}
    Også null.
\end{oppgave}


    \begin{oppgave}{13}
        rotasjonen til $f $ er 
    \begin{align*}
    \nabla \times f  = 
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\[2mm]
        \frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \\[2mm]
        \frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[2mm]
    \end{matrix}
    \;\right)
\end{align*}
og tar vi dobbelrotasjonen, 
får vi 
\begin{align*}
    \nabla \times 
    \nabla \times 
    f  =&
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left( \frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_3}\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_3}\left( \frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_1}\left( \frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_1}\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left( \frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \right) 
    \end{matrix}
    \;\right)\\[2mm]
    =&
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left( \frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_3}\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_3}\left( \frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_1}\left( \frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_1}\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1} \right)-
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left( \frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3} \right) 
    \end{matrix}
    \;\right)
    +
    \left(\;
    \color{blue}
    \begin{matrix}
        \frac{\partial^2 f_1}{\partial x_1^2} \\[2mm]
        \frac{\partial^2 f_2}{\partial x_2^2} \\[2mm]
        \frac{\partial^2 f_3}{\partial x_3^2} 
    \end{matrix}
    \color{black}
    \;\right)
    -
    \left(\;
    \color{red}
    \begin{matrix}
        \frac{\partial^2 f_1}{\partial x_1^2} \\[2mm]
        \frac{\partial^2 f_2}{\partial x_2^2} \\[2mm]
        \frac{\partial^2 f_3}{\partial x_3^2} 
    \end{matrix}
    \color{black}
    \;\right)\\[2mm]
    =&
    \left(\;
    \begin{matrix}
         \frac{\partial }{\partial x_1}\left(\color{blue}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\color{black} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \frac{\partial f_3}{\partial x_3}\right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \color{blue}\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\color{black} + \frac{\partial f_3}{\partial x_3}\right) \\[2mm]
        \frac{\partial }{\partial x_3}\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2}{\partial x_2} + \color{blue}\frac{\partial f_3}{\partial x_3}\color{black}\right) 
    \end{matrix}
    \;\right)
    -
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \color{red}\frac{\partial^2 f_1}{\partial x_1^2}\color{black} + 
                    \frac{\partial^2 f_1}{\partial x_2^2} + 
                    \frac{\partial^2 f_1}{\partial x_3^2} \\[2mm]
                    \frac{\partial^2 f_2}{\partial x_1^2} + 
        \color{red}\frac{\partial^2 f_2}{\partial x_2^2}\color{black} + 
                    \frac{\partial^2 f_2}{\partial x_3^2} \\[2mm]
                    \frac{\partial^2 f_3}{\partial x_1^2} + 
                    \frac{\partial^2 f_3}{\partial x_2^2} + 
        \color{red}\frac{\partial^2 f_3}{\partial x_3^2}\color{black} \\[2mm]
    \end{matrix}
    \;\right)\\[2mm]
    =&
    \hspace*{15mm}
    \nabla\left(\nabla \cdot f\right) 
    \hspace*{17mm}
    - 
    \hspace*{16mm}
    \Delta f
\end{align*}
Her har jeg slurva litt med dette med rad- og kolonnevektor, 
men dette er ikke så viktig i dette semesteret, 
og resultatet hadde blitt mer klønete å skrive opp og tyngre å lese om jeg skulle insistert på å skrive alt liggende. 
    \end{oppgave}


\begin{oppgave}{14}
    Litt teit oppgave dette her kanskje, 
    men jeg ville drive gjennom at om $f$ er et vektorfelt, 
    er det underforstått at vi kjører komponentvis slik: 
    \[
    \nabla \cdot (\nabla f) = \Delta f =
    \left(\;
    \begin{matrix}
        \Delta f_1 \\
        \Delta f_2 \\
        \Delta f_3 
    \end{matrix}
    \;\right)
    \]
    Dette får vi nemlig bruk for i fluidmekanikk og elmag om noen uker. 
\end{oppgave}



\end{document}
