\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 8 -  ANALYSENS FUNDAMENTALTEOREM II}
%    kardioide s 437 kreyszig


\maketitle

I denne økten skal vi prøve å finne ut hvordan vi tolker de fire partiellderiverte i 
jacobimatrisen til en funksjon $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.
\begin{comment}
\begin{align*}
 f'
=
\left( \;
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\[3mm]
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{matrix}
\; \right)  
\end{align*}
\end{comment}
Arbeidshesten vår skal være 
et lite rektangel med hjørner i 
$(x_1,x_2)^T$,
$(x_1+h_1,x_2)^T$,
$(x_1,x_2+h_2)^T$ og 
$(x_1+h_1,x_2+h_2)^T$.

\begin{oppgave}{1}
	Sett opp parametriseringer for alle sidene,
	traversert mot klokken. 
\end{oppgave}

Arbeidet en kraft $f$ gjør på noe som reiser langs 
kurven $\Gamma$ parametrisert ved $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$,
får vi ved å prikke med enhetstangentvektoren til $\Gamma$ og linjeintegrere:
\begin{align*}
	\int_\Gamma f^T T ds = 
	\int_a^b f^T(x(t))T(t)|\dot x(t)|\; dt = 
	\int_a^b f_1(x(t))\dot x_1(t) + f_2(x(t))\dot x_2(t) \; dt 
\end{align*}
Husk ellers definisjonen av partiellderivert:\\[-4mm]
\begin{align*}
\frac{\partial f_1}{\partial x_2} =
		\lim_{h_2\to 0}\frac{f_1(x_1,x_2+h_2)-f_1(x_1,x_2)}{h_2}
\end{align*}
Det må være klart at dersom $f$ er kraft, 
får de partiellderiverte benevning kraft per meter.
I statikken som byggingeniørene lærer kalles kombinasjonen av 
$f_1(x_1,x_2+h_2)$ og $f_1(x_1,x_2)$ et \textbf{kraftpar}.

\begin{oppgave}{2}
	Anta rektangelet over er ganske lite og 
	finn det totale arbeidet $f$ gjør på en partikkel som reiser 
	én gang rundt kanten. 
	Hva vil skje med en liten plate som plasseres i kraftfeltet i $x$?
\end{oppgave} 

Analysens fundamentalteorem kommer i mange flere varianter enn den 
du lærte på skolen. 
i denne økten skal vi ta unna en variant som heter \textbf{Greens teorem},
og kommer i flere ekvivalente versjoner. 
For å berede grunnen, 
kan du studere på uttrykket 
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}.\\[-7mm]
\end{align*}

\begin{oppgave}{3}
	Hvis rektangelet over 
	hadde vært basen i en todimensjonal riemannsumskyskraper,
	ville volumet av skyskraperen vært sånn omtrent lik 
	utrykket over ganget med $h_1h_2$. 
	Hva er sammenhengen mellom dette volumet og 
	arbeidet du fant i oppgave 2?
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1002195}
\end{center}

\clearpage

Gjorde du oppgave 3 sånn nogenlunde, 
kom du frem til at volumet under 
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
\end{align*}
på et lite område gir deg arbeidet $f$ gjør på en partikkel som 
reiser rundt kanten av området. 
Uttrykket kalles \textbf{sirkulasjonen} til $f$ -
synonymer er \textbf{rotasjon} og \textbf{curl}. 
Greens teorem sier at volumet under sirkulasjonen 
på $\Omega$ gir deg arbeidet rundt $\partial \Omega$: 
\begin{align*}
	\iint_\Omega 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
	=
	\int_{\partial \Omega} f^T T ds
\end{align*}
Her er det selvfølgelig masse betingelser - 
$\partial \Omega$ må være stykkevis glatt, 
enkeltsammenhengende og 
traversert mot klokken, 
og kraftfeltet $f$ må ha 
kontinuerlige partiellderiverte på en åpen 
omegn som inneholder $\partial \Omega$. 
	Alt dette står i Arnes bok om du er interessert.

\begin{oppgave}{4}
	En bortadgående laminær vannstrøm utøver en kraft 
	gitt ved 
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\left( \;
		\begin{matrix}
		x_2 \\
		0
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
	Finn det totale arbeidet kraften gjør på noe som reiser langs 
	én gang rundt en sirkel sentrert i $(1,1)^T$ med radius 1. 
	Regn ut arbeidet både direkte og med Greens teorem og dobbeltsjekk at 
	du får det samme svaret. 
\end{oppgave} 

Den laminære vannstrømmen over gir oss faktisk et lurt triks for å 
beregne arealet av $\Omega$,
siden sirkulasjonen er $-1$	. 

\begin{oppgave}{5}
	Bruk Greens teorem til å vise at arealet av $\Omega$ er 
	\begin{align*}
		\int_a^b x_1(t)\dot x_2(t)\; dt
	\end{align*}
	dersom $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$ parametriserer $\partial \Omega$ mot klokken. 
	Finn arealet omsluttet av \textbf{asteroiden} $x(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)^T$.
\end{oppgave} 


\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1006258}
\end{center}

\clearpage 

I økt 3-2 satte vi opp enhetstangent- 
og enhestnormalvektor, 
og i økt 3-5 fant vi arbeidet en kraft gjør på noe som 
reiser langs $\Gamma$ ved å prikke kraften med enhetstangenten og linjeintegrere.
Nå skal vi gjøre noe liknende. 




\begin{oppgave}{6}
	Du står i en elv med vadebukser. 
	Elven har konstant dybde på én meter,
	og elvens fart i meter per sekund er gitt ved $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$. 
	Du har en kurve $\Gamma$ parametrisert ved $x: [a,b] \to \mathbb{R}^2$
	og du lurer på hvor mye vann som krysser denne kurven per tidsenhet. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.57]{../figurer/img797}
\end{center}

\clearpage 

\textbf{Fluksen} til vektorfeltet $f$ over $\Gamma$ 
får vi ved å prikke med enhetsnormalvektoren og integrere: 
\begin{align*}
	\int_\Gamma f^T N ds = 
	\int_a^b f(x(t))^T N(t)|\dot x(t)|\; dt =
	\int_a^b f_1(x(t))\dot x_2(t) - f_2(x(t))\dot x_1(t) \; dt 
\end{align*}
Merk at her er det to valg - 
vi kan la enhetsnormalvektoren peke den andre veien: 
\begin{align*}
	\int_\Gamma f^T N ds = 
	\int_a^b f(x(t))^T N(t)|\dot x(t)|\; dt =
	\int_a^b -f_1(x(t))\dot x_2(t) + f_2(x(t))\dot x_1(t) \; dt 
\end{align*}
I så fall bytter man bare fortegn på hele greia
og måler fluksen motsatt vei over $\Gamma$. 

\begin{oppgave}{7}
	Merk at vi kan ikke bruke definisjonen av enhetsnormalvektor fra økt 3-2.
	Hvorfor?
\end{oppgave}

For å tolke de partiellderiverte
\begin{align*}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} 
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{align*}
kan vi bruke en liknende teknikk som vi gjorde for 
\begin{align*}
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1} 
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
\end{align*}
men det er best å tolke $f$ som væskeflyt istedet for kraft. 


\begin{oppgave}{8}
	Anta rektangelet over er ganske lite og 
	finn sånn omtrent den totale fluksen ut av rektangelet.
\end{oppgave} 

Uttrykket
\begin{align*}
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{align*}
kalles \textbf{divergensen} og gjør en liknende jobb for 
fluksen som sirkulasjonen gjør for arbeidet. 

\begin{oppgave}{9}
	Hvis rektangelet over 
	hadde vært basen i en todimensjonal riemannsumskyskraper,
	ville volumet av skyskraperen vært sånn omtrent lik 
	divergensen ganget med $h_1h_2$. 
	Hva er sammenhengen mellom dette volumet og 
	arbeidet du fant i oppgave 2?
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1006256}
\end{center}

\clearpage

Divergensen er et mål på hvor mye vektorfeltet ekspanderer i hvert punkt,
og Greens teorem kan også formuleres som at 
volumet under divergensen til $f$ på $\Omega$ 
skal være lik $f$ sin fluks ut av $\partial \Omega$: 
\begin{align*}
	\iint_\Omega 
	\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + 
	\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
	=
	\int_{\partial \Omega} f^T N ds
\end{align*}

\begin{oppgave}{10}
	En bortadgående laminær vannstrøm 
	har hastighet gitt ved
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\left( \;
		\begin{matrix}
		x_2 \\
		0
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
	Finn den totale fluksen ut av  
	sirkelen sentrert i $(1,1)^T$ med radius 1. 
	Regn ut fluksen både direkte og med Greens teorem og dobbeltsjekk at 
	du får det samme svaret. 
\end{oppgave} 


Dersom divergensen til $f$ er null overalt, 
sier vi at $f$ er \text{divergensfritt}. 
Det skjer i den virkelige verden dersom 
$f$ er en inkompressibel væske. 
Vann er for eksempel så og si inkompressibelt, 
mens gass er alt annet enn inkompressibelt. 

\begin{oppgave}{11}
	En viktig klasse skalarfelter 
	har divergensfritt gradientfelt. 
	Hva slags skalarfelter er dette?
\end{oppgave} 

Dersom sirkulasjonen til $t$ er null, 
sier vi at $f$ er \textbf{sirkulasjonsfritt},
\textbf{rotasjonsfritt} eller \textbf{curlfritt}.
Gravitasjonskraften og coloumbkraften 
er begge sirkulasjonsfrie - 
dette skal vi komme tilbake til 
når vi lærer om sirkulasjon og divergens i tre dimensjoner. 

\begin{oppgave}{12}
	Vis at et konservativt vektorfelt er sirkulasjonsfritt. 
\end{oppgave} 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1002183}
\end{center}

\end{document}
