\input{preamble}

\title{3 - 7 - KOORDINATAVBILDNINGER I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle



I denne økten skal vi studere 
funksjoner fra 
$\mathbb{R}^2$
til 
$\mathbb{R}^2$,
men vi skal tenke litt annerledes på dem enn i vektorfeltøkten,
og motivasjonen er en helt annen.
Hvis du fikk til oppgave 17 i forrige økt, 
skrev du opp at volumet er  
\[
	\iint_\Omega f \; dS = 
	\int_0^4 
	\int_{0}^{\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
	- x_1^2 - x_1x_2 - 2x_2^2 + 4 x_1 + 6x_2 + 8
	\;dx_2dx_1.
\]
Dette integralet er ikke så lett å beregne for hånd med mindre du 
er topptrent i énvariabel antiderivasjon. 
Dette er ikke hensiktsmessig å bruke syke mengder tid på - 
det er bedre bruk av tiden din å innse at integralet kan skrives slik:
\[
	\iint_\Omega f  = 
	\int_0^1 
	\int_{0}^{\pi/2}
	(- 16r^2\cos^2 \theta - 12r^2\cos \theta \sin \theta - 2r^2\sin^2\theta + 16r\cos\theta + 18\sin\theta + 8)
	\;12rdrd\theta
\]
Dette integralet er grisete, 
men trivielt å beregne 
så lenge du husker Eulers formel. 
Nå skal vi se på hvordan vi kommer frem til denne formen.
Akkurat som i forrige økt, 
skal gå helt tilbake til envariabel kalkulus
og repetere litt. 
Arealet av enhetsirkelen er 
\begin{align*}
	4\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\; dx. 
\end{align*}
Dette integralet er heller ikke så lett å beregne for hånd med mindre du 
har en svær integrasjonstabell i knolten, 
men substitusjonen 
\begin{align*}
	x = \sin \theta \hspace*{10mm} du = \cos \theta \; d\theta 
\end{align*}
gjør susen: 
\begin{align*}
	4\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\; dx =& 
	\;4\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta \; d\theta\\[2mm]
	=&
	\;4\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \; d\theta\\[2mm]
	=&
	\;2\int_{0}^{\pi/2} 1+\cos(2\theta) \; d\theta = \pi
\end{align*}


\begin{oppgave}{1}
	Regn ut arealet av en ellipse med halvakser $a$ og $b$. 
	En liknende substitusjon gjør vei i vellinga.
\end{oppgave}



\clearpage

Vi kan fikse krøkkete dobbeltintegraler 
på liknende vis, 
men da må vi se funksjoner fra $\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}^2$ 
som \textbf{koordinatavbildning} 
istedet for vektorfelt. 
Finn bildet av enhetskvadratet under
lineæravbildningen 
$
	g(x) = Ax 
$
når $A$ er\\[3mm]
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-1}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 1 \\
				1 & 2 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-2}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 0 \\
				0 & 2 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-3}
		$
			\begin{pmatrix}
				2 & 0 \\
				0 & 1 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-4}
		$
			\begin{pmatrix}
				0 & 1 \\
				1 & 0 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{26mm}
	\begin{oppgave}{2-5}
		$
			\begin{pmatrix}
				1 & 1 \\
				1 & 1 \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{minipage}{42mm}
	\begin{oppgave}{2-6}
		$
			\begin{pmatrix}
				\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{48mm}
	\begin{oppgave}{2-7}
		$
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -2\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & 2\cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
	\begin{oppgave}{2-8}
		$
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		$
	\end{oppgave}
\end{minipage}

Når vi bytta koordinater i enhetssirkelintegralet på første side, 
måtte vi gange med $\cos \theta$ som kompensasjon for at 
$\sin \theta$ reiser fra 0 til 1 
på en litt annen måte enn identitetsfunksjonen gjør
- 
identitetsfunksjonen går med jevn fart fra 0 til 1, 
mens sinusfunksjonen går 
saktere og saktere mot 1 etterhvert som $\theta$ nærmer seg $\pi/2$. 
Dette kommer vi til å måtte kompensere for i dobbeltintegraler også, 
og da er det viktig å forstå at avbildninger strekker og krymper ting. 

\begin{oppgave}{3}
	Finn arealet av alle bildene i oppgavene over.
\end{oppgave}

\begin{minipage}{120mm}
Hvis du skjønte arealkompensasjonsideen, 
har du nøkkelen til å forstå dobbeltintegral over 
tilsynelatende kompliserte definisjonsområder.
Hvis du tenker på en todimensjonal riemannsum som en masse små skyskrapere
med kvadratisk grunnflate
(til høyre ser du et litt patetisk forsøk på å illustrere den ideelle gasslov 
$
f( x)=x_1x_2
$
), 
kan du tenke at koordinatavbildningen forvrenger grunnflatene, 
og da må du gange alle de små volumene med arealfaktoren. 
Finn volumet under den ideelle gasslov
når
$\Omega$ er 
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/skyskraper}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{4}
parallellogrammet med hjørner i 
$(0,0)^T$,
$\left( 2,1 \right)^T$,
$\left( 1,2 \right)^T$
og $\left( 3,3 \right)^T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
	et kvadrat med hjørner i 
	$(0,0)^T$,
	$\left( \sqrt{3}/2,1/2 \right)^T$,
	$\left( -1/2,\sqrt{3}/2 \right)^T$
	og $\left( 1/2,-\sqrt{3}/2 \right)^T$,
	altså enhetskvadratet rotert tretti grader.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	de andre bildene i oppgave 2 over, 
	samt diamanten fra oppgave 11 i forrige økt. 	
\end{oppgave}



I oppgavene over er 
arealutvidelsesfaktoren konstant
siden $g(x) = Ax$ er en lineæroperator.
For øvrig heter det ikke egentlig \say{arealutvidelsesfaktoren}, 
det var bare et ord jeg fant på.
Det heter egentlig \textbf{jacobideterminanten}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant}
},
og dette er determinanten til jacobimatrisen.

\begin{oppgave}{7}
	Finn jacobideterminanten til $g(x) = Ax$ for alle matrisene på forrige side.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1020519}
\end{center}

\clearpage

På forrige side var alt lineæroperatorer. 
Disse hjelper oss til å takle situasjoner der $\Omega$ 
er et parallellogram. 
For å takle volumet av grillhytten trenger vi noe litt mer komplisert, 
men trikset er det samme,
nenmlig å
finne en koordinatavbildning fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R^2$
slik at $\Omega$ 
\textit{er verdimengden 
til koordinatavbildningen 
dersom definisjonsmengden
er rektangulær}.
Et av de enkleste eksemplene kjenner du allerede godt, 
nemlig $g: [0,\infty)\times [0,2\pi) \to \mathbb R^2$ gitt ved
\[
 x= g(r,\theta)=
\begin{pmatrix}
g_1(r,\theta) \\
g_2(r,\theta) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r\cos \theta \\
r\sin \theta
\end{pmatrix}.
\]
Koordinatparet $(r,\theta)$ kalles \textbf{polarkoordinater},
og $g$ kalles \textbf{polarkoordinatavbildningen}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system}
}
Det er ikke så vanlig å tilordne noen bestemt bokstav til koordinatavbildninger, 
men jeg har valgt å bruke bokstaven $g$ inntil videre. 
Det vanligste er å bare skrive $x(r,\theta)$ eller noe sånt.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_common_coordinate_transformations}
}
Dette er kjappere å skrive, 
men kan lede inn i tvetydighet. 



\begin{oppgave}{8}
Regn ut jacobideterminanten til polarkoordinatavbildningen
og finn volumet under den ideelle gasslov når 
$\Omega$ er den delen av enhetssirkelskiven som ligger i første kvadrant.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{9}
Et område $\Omega$ er begrenset av
\[
	1\leq r \leq 2 \hspace{10mm} \frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3\pi}{4} .
\]
Skisser $\Omega$ og
og finn volumet under den ideelle gasslov på $\Omega$. 
\end{oppgave}

Akkurat som linjeintegraler over skalarfelt kan tolkes som massen 
til en tråd der skalarfeltet gir massetettheten, 
kan dobbeltintegraler tolkes som massen til 
en flat ting $\Omega$ dersom $f$ er massetettheten i vekt per areal: 
\begin{align*}
	m = \iint_\Omega f
\end{align*}
\textbf{Massesenteret}\footnote{
	\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_18.html}
} 
er gitt ved 
\begin{align*}
	\frac{1}{m}\iint_\Omega xf(x)\; dx = 
	\frac{1}{m}
	\left( \;
		\begin{matrix}
			\iint_\Omega x_1f(x)\;dx \\[3mm]
			\iint_\Omega x_2f(x)\;dx 
		\end{matrix}
	\; \right).
\end{align*}
Anta konstant massetetthet, 
og finn massesentrene til 

\begin{minipage}{70mm}
\begin{oppgave}{10}
alle områdene på forrige side.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{11}
et kakestykke.
\end{oppgave}
\end{minipage}

Det er ellers ikke bare i dobbeltintegraler 
koordinattransformasjoner er nyttige.
Fysikere simpelthen \textit{elsker}
områder med radiell symmetri, 
for det første fordi slike områder er 
lette å gjøre beregninger på, 
antagelig også fordi de er lett å produsere. 
En overfres eller en drill lager jo sirkulære hull. 
Det er nok billigere å produsere strømkabler med 
sirkulære enn elliptiske tverrsnitt. 

\begin{oppgave}{12}
	Fysikere elsker også Laplaces likning. 
Vis at laplaceoperatoren blir
\[ 
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
%=u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta \theta}
\]
i polarkoordinater,
og finn alle løsninger av laplaces likning som ikke avhenger av $\theta$. 
\end{oppgave}


\clearpage

La oss avslutte med noen litt artige oppgaver. 
I uttrykket for standardnormalfordelingen
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\; dx
\]
er det en multiplikasjonsfaktor $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$,
som skyldes at arealet under en normalfordeling må være 1.
Det sies at Lord Kelvin\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lord_Kelvin}
} 
under en forelesning spurte ut i salen 
om det var noen som visste hva en matematiker var for noe. 
Ingen svarte. 
Da skrev han opp likningen 
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi},
\]
pekte på den og sa:\\[2mm]
\say{En matematiker er en som synes dette er like innlysende som 
det er for deg at $2\cdot 2 = 4$.}



\begin{oppgave}{13}
Vi vet at $e^{-x^2/2}$ ikke kan antideriveres på noen enkel måte,
men nå kan vi få has på integralet over allikevel.
Regn ut at
\[
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}
\]
ved å beregne $I^2$ med polarkoordinater.
\end{oppgave}


Det finnes mange smarte koordinatavbildninger. 
Husk at tommelfingerregelen for å finne korrekt koordinatavbildning er at 
$\Omega$ skal være bildet av et gunstig område, 
helst et rektangel. 


\begin{oppgave}{14}
Finn en gunstig koordinatavbildning dersom $\Omega$ er ellipsen
\[
\frac{x^2}{a^2}
+
\frac{y^2}{b^2}
\leq 1
\]
og finn volumet av grillhytten.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{15}
Du går en skitur på en øy gitt ved  
\begin{align*}
	h(x)=1-x_1^2-x_1x_2-x_2^2	
\end{align*}
der $h(x)=0$ er havnivået. 
Hva slags kurver er ekvidistanselinjene?
Finn øyas totale volum.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{16}
	Finn volumet under den ideelle gasslov når $\Omega$ er 
	området mellom parablene 
	\begin{align*}
	x_2=x_1^2, 
	\hspace*{10mm}
	x_2=2x_1^2,
	\hspace*{10mm}
	x_1=x_2^2 
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	x_1=2x_2^2.
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
	Her er en gammel eksamensoppgave.
    La $f: \Omega \to \mathbb{R}^2$ være gitt ved
    \[
        f(x_1,x_2)=x_1 + 2x_2 + 4
    \]
    der $\Omega$ er ellipseskiven gitt ved 
    \[
    \frac{\left( x_1+x_2 \right)^2}{4} + \left( x_1-x_2 \right)^2 \leq 1.
    \]
    Finn volumet under grafen til $f$.

\end{oppgave}



\clearpage




\end{document}
