\input{preamble}

\title{3 - 13 - ANALYSENS FUNDAMENTALTEOREM III}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle

Til nå i dette kurset har jeg vært nøye på å bruke 
den gode gamle derivasjonsapostrofen:
\begin{align*}
 f'
 =
 \frac{\partial f}{\partial x}
=
\left( \;
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[3mm]
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[3mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3mm]
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{matrix}
\; \right)  
\end{align*}
Dette er for å drive gjennom at mange formler du 
lærte på skolen, 
for eksempel kjerneregelen
\[
	h'\left( x \right)=  g'\left( f \left( x \right) \right)   f'\left( x \right).
\]
eller ettpunktsformelen for tangenter
\begin{align*}
	p(s) = f(x) + f'(x)(s-x)
\end{align*}
generaliserer til funksjoner fra 
$\mathbb{R}^m$
til 
$\mathbb{R}^n$
dersom du erstatter vanlig multiplikasjon med matrisemultiplikasjon. 
I denne økten skal vi gå over til standardnotasjonen i fysikk, 
slik at dere venner dere til det. 
I klassisk fysikk er det som regel fire uavhengige variable -
tre romkoordinater $x = (x_1,x_2,x_3)^T$ og tiden $t$. 
En vanlig notasjon for den deriverte med hensyn på rom er, 
er \textbf{gradientoperatoren}:
\begin{align*}
	\nabla = 
	\left( 
	\frac{\partial }{\partial x_1},
	\frac{\partial }{\partial x_2},
	\frac{\partial }{\partial x_3}
	\right)
\end{align*}
Vi bruker denne til tre forskjellige ting. 
Gradienten til skalarfeltet $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 
skrives 
\begin{align*}
	\nabla f= 
	\left( 
	\frac{\partial f}{\partial x_1},
	\frac{\partial f}{\partial x_2},
	\frac{\partial f}{\partial x_3}
	\right).
\end{align*}

De to andre tingene vi bruker gradientoperatoren til er 
relatert til vektorfelt.

\begin{oppgave}{1}
	La $f$ være en funksjon fra $\mathbb{R}^3$ 
	til $\mathbb{R}^3$. 
	Skriv ut komponentene til $\nabla \cdot f$ og $\nabla \times f$. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019957}
\end{center}

\clearpage

Divergensen til et vektorfelt er summen av diagonalelementene i vektorfeltets jacobimatrise:
\[
\nabla \cdot   f = \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_3}{\partial x_3}
\]
Akkurat som i to dimensjoner, 
forteller denne noe oss om vektorfeltets ekspansjon i punktet $x$. 

\begin{oppgave}{2}
	Finn divergensen til vektorfeltet $f(x) = (10x_1x_2^2, -  5x_2x_3^2, 9x_3x_1^2)$.
\end{oppgave}

La oss få mer magefølelse på divergensen med følgende oppgave.

\begin{oppgave}{3}
	La $\Sigma_{\epsilon}$ være kuleflaten med sentrum i origo og radius
	$\epsilon$, og la vektorfeltet $f$ være gitt ved
	$f(x) = (x_1,x_2,0)$.  La $  N $ være enhetsnormalen til
	$\Sigma_{\epsilon}$ som peker utover.  Bestem grenseverdien
	\begin{equation*}
		\lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac3{4\pi\epsilon^3}
		\iint_{\Sigma_\epsilon} f \cdot   N  \; dS.
	\end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn divergensen til det elektriske feltet til en punktladning.
\end{oppgave}

Analysens fundamentalteorem kommer i en tredimensjonal variant
som er analog til den andre versjonen av Greens teorem. 
La $\Omega \in \mathbb{R}^3$ og anta 
$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$  er glatt og alt det der,
da er
\[
\iiint_\Omega \nabla \cdot   f = \iint_{\partial \Omega}   f \cdot dS
\]
som sier at $f$ sin netto utstrømning fra $\Omega$ 
skal være lik $f$ sin ekspansjon inne på $\Omega$. 
La oss ta noen klassikere fra TMA4105. 

\begin{oppgave}{5}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$x_3 = x_1^2 + (x_2+ 1)^2$ og $x_3 = 10 - x_1^2 - (x_2- 1)^2$, og la $\Gamma$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $f \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$f(x) = (x_1 +x_2, x_2- x_1, x_1^2 +x_2^2)$.
	Regn ut
	\begin{equation*}
		\iint_{\partial T} f \cdot  dS,  
	\end{equation*}
	der $\partial T$ er randen til $T$ og enhetsnormalen $  N$ peker
	ut fra $T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av flatene $x_3 = \sqrt{x_1^2 +
		x_2^2 - 7}$, $x_3 = 0$ og $x_3 = 2$.  La vektorfeltet $f \colon \mathbb R^3
	\to \mathbb R^3$ være gitt ved
	\begin{equation*}
		f(x) = (x_1 - x_3, x_1 +x_2, x_3 + 1).
	\end{equation*}
	Hva er fluksen ut av den krumme delen til randen til $T$?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019949}
\end{center}

\clearpage 







Rotasjonen til et vektorfelt er litt mer grisete enn divergensen:
\begin{align*}
\nabla \times f =&
	\left( 
	i\frac{\partial }{\partial x_1} +
	j\frac{\partial }{\partial x_2} +
	k\frac{\partial }{\partial x_3}
	\right)
	\left( if_1+jf_2+kf_3 \right)\\[2mm]
	=&
	\left(
	\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3},
	\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1},
	\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
	\right)
\end{align*}

\begin{oppgave}{7}
  Finn rotasjonen til vektorfeltet $ f(x) = (10x_1x_2^2, -  5x_2x_3^2, 9x_3x_1^2)$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
  La $\mathcal{C}_\epsilon$ være sirkelen $x_1^2+x_2^2 = \epsilon^2$, orientert mot
  klokken, og la vektorfeltet $ f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ være gitt
  ved $ f(x_1,x_2) = (-x_2,x_1)$.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac{1}{\pi\epsilon^2}
    \oint_{\mathcal{C}_\epsilon}  f \cdot ds.
  \end{equation*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{9}
Finn rotasjonen til coulombkraften til en ladning $q$.
\end{oppgave}



Den første varianten av Greens teorem generaliseres til noe som kalles 
\textbf{Stokes teorem}. 
La $\Sigma$ være en flate i rommet, 
med randkurve $\partial \Sigma$, 
og $f$ er glatt og så videre:
\[
\int_{\partial \Sigma}   f \cdot ds= \iint_{\Sigma} \nabla \times   f \cdot dS
\]
Dette er også en generalisering av analysens fundamentalteorem, 
og sier at arbeidet $f$ gjør på en partikkel som reiser rundt $\partial \Sigma$ 
er det samme som fluksen til rotasjonen til $f$ gjennom $\Sigma$. 


\begin{oppgave}{10}
La $\Omega \in \mathbb R^3$ være begrenset av paraboloidene
$x_3 = x_1^2 + (x_2 + 1)^2$ og $x_3 = 10 - x_1^2 - (x_2 - 1)^2$.
La $\Gamma$ betegne
skjæringskurven mellom dem
og la
$ f(x) = (x_1 + x_2, x_2 - x_1, x_1^2 + x_2^2)^T$.
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \int_{\Gamma}  f \cdot ds
  \end{equation*}
  der $\Gamma$ er orientert mot klokken sett ovenfra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
  La $\Omega$ være den delen av ellipsoiden $x_1^2 + x_2^2 + 8(x_3 - 1)^2
  = 9$ hvor $x_3 \geq 0$, og la vektorfeltet $ f \colon \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
     f(x) = \left(x_1x_3 - 5x_2^3 \cos x_3, 5x_1^3 e^{x_3}, 6x_1x_2 e^{x_1^2 + x_2^2
        + x_3^2}\right)
  \end{equation*}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_R \nabla \times   f \cdot   dS.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019970}
\end{center}

\end{document}
