\input{preamble}

\title{3 - 10 - HARMONISKE FUNKSJONER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Laplaceoperatoren
\begin{align*}
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
\end{align*}
for skalarfelt og divergensen 
\begin{align*}
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+
    \frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{align*}
for vektorfelt
er i slekt med hverandre og dukker opp så ofte i fysikk 
at jeg følte vi burde ta en økt til om disse. 
Vi må nesten se hvordan de dukker opp i anvendelser før vi går videre. 
Oppgavene i denne økten er nok litt i vanskeligste laget for å finne ut av selv, 
så du må antagelig søke dem opp. 

\begin{oppgave}{1}
    Utled bølgelikningen 
    \begin{align*}
        \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
    \end{align*}
    for et vibrerende membran, 
    for eksempel et trommeskinn. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    Utled varmelikningen 
    \begin{align*}
        \frac{\partial u}{\partial t} =
        c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
    \end{align*}
    for en isolert plate. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
    Utled Poissons likning
    \begin{align*}
        \frac{p}{T} =
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  
    \end{align*}
    for et trommeskinn i ro med horisontalt strekk $T$ og utsatt for trykket $p$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
    Utled kontinuitetslikningen 
    \begin{align*}
        \frac{\partial \rho}{\partial t} + 
        \frac{\partial \rho v_1}{\partial x_1}+
        \frac{\partial \rho v_2}{\partial x_2}=0
    \end{align*}
    for et fluid med tetthet $\rho$  (målt i kilo per kvadratmeter)
    og væskehastighet $v$ (målt i liter per sekund per meter). 
    Likningen
    \begin{align*}
        \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+
        \frac{\partial f_2}{\partial x_2} = 0
    \end{align*}
    for et divergensfritt vektorfelt er et spesialtilfelle der $\rho$ er konstant, 
    slik at væsken er inkompressibel. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
Laplaces likning
    \begin{align*}
        c^2\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
        =0
    \end{align*}
dukker opp som spesialtilfelle av alle disse, 
på litt forskjellige måter. 
Hvordan?
\end{oppgave}

\clearpage 


\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{6}
Utled at løsningen til Laplaces likning
på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav 
\[
u(x_1,0)=V(0,x_2)=V(\pi,x_2)=0
\]
og
\[
V(x_1,\pi)=f(x_1).
\]
er
\[
V(x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sinh nx_2 \sin nx_1,
\]
der
\[
A_n=\frac{2}{\pi \sinh n\pi}  \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx.
\]
Plott løsningen for $f(x)=1$. 
Du bør få noe som ser omtrent slik ut. 
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{center}
    \hspace*{-20mm}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/fig_heat.pdf}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{7}
    Vis at laplaces likning er \textbf{rotasjonsinvariant},
    altså at de rene partiellderiverte summerer til det samme også om du roterer koordinatsystemet. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
    La $\Omega$ være en sirkelskive med radius $r$, 
    sentrert i $x$. 
    Vis at 
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = 
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u 
    \end{align*}
    dersom $u$ er harmonisk på et område som inneholder $\Omega$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{Nøtt}
    Finn uttrykket for trommeskinnet på bildet under. \\
    (Hint: Løsningen kalles \textbf{Poissons formel}.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.09]{../figurer/trommeskinn-1}\\
Takk til Lars i TSO for herpa skarptrommeskinn med form ikke helt ulik $f(x) = x_1x_2$. 
\end{center}






\begin{comment}
Nå kunne vi løst bølge- og varmelikningen 
(og for den saks skyld partikkel-i-boks) 
på rektangulære domener, 
men dette er såpass likt det envariable greiene 
vi hadde i 4106, 
at det er mer interessant å studere noen andre geometrier. 

\begin{oppgave}{7}
Vis at bølgelikningen i polarkoordinater blir 
\[ 
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
Separer variable $u=x(t)y(r)z(\theta)$ og utled likningene 
\begin{align*}
\ddot x + \lambda x = 0 \\
z'' + \gamma z = 0 \\
y''+\frac{1}{r}y'+\left(\lambda - \frac{\gamma}{r^2}\right)y = 0
\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{11}
Det sier seg selv at vinkeldelen $z$ må være $2\pi$-periodisk. 
Bruk dette til å utlede at $\gamma = n^2$ der $n \in \mathbb N$, 
og at 
\[
z(\theta)= a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta
\]
\end{oppgave}

Den siste likningen kan etter variabelskiftet  $\rho = \sqrt{\lambda}r$ skrives 
\[
y''+\frac{1}{\rho}y'+\left(1 - \frac{n^2}{\rho^2}\right)y = 0.
\]
Å løse denne er for å sitere min svigerfar \say{en helvetes prosedyre},
og løsningene kalles \textbf{besselfunksjonene}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function}}

\begin{oppgave}{12}
Det finnes ikke noe lukket uttrykk for besselfunksjonene,
men du kan anta at de har taylorutviklikng, 
sette inn i likningen og herje i vei. 
Prøv.
\end{oppgave}


Når man skal overføre elektrisk energi med høy frekvens er det upraktisk å bruke ledninger, 
for man søler den elektriske energien ut i rommet og så lager du returstrømmer og fandens oldemor. 
I ubåt må for eksempel alle elektriske ledninger tvinnes. 
Derfor er det vanlig å overføre elektrisk energi på høy frekvens gjennom \textbf{bølgeledere}:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_24.html}\\
Dette er bare en hul kanal med stående elektriske bølger,
og dersom kanalen er sirkulær, 
dukker besselfunksjonene i analysen. 
Du kan faktisk lage en kondensator av en hul sylinder, 
og da dukker også besselfunksjonene opp:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_23.html}\\

\end{comment}

\end{document}
