<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{1 - 10 - INTEGRALET II}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%burde nok hatt middelverdisatsen for integraler

% husk Ã¥ lage avkjÃ¸lingsmodell med varierende temp pÃ¥ omgivelser:
%https://physoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1113/expphysiol.2005.030551
%husk Ã¥ ta massevirkningsloven pÃ¥ en bedre mÃ¥te

%husk Ã¥ ta med at eksplisitte metoder krasjer om h er for stor

%husk pendel- og pendelklokke, io og lyshastigheten, samt oppdagelsen av neptun og mallory og irvine og vulcan
% husk Ã¥ ende opp med matriseeksponensial som springbrett videre

%husk gian-carlo rota og plane autonomous systems og termodynamikk
%hubbles lov

% husk shannonentropi vs sapolsky overraskelse ca 51:00 her https://www.youtube.com/watch?v=P388gUPSq_I&amp;t=4s
% husk histioren med de nye filnavnene til negativscan og dato og sapolskys hukommelseseksperiment

%https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_mass_action
%https://snl.no/massevirkningsloven
%https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_point
%husk ustabil balanse under dykk, s 385 ancestors tale, man synker under og stiger opp over

%husk kumulativ snÃ¸ gudbrandsdalen
%husk dÃ¸gngrader pÃ¥ elgtungen.
%massesenter via dreiemoment $\int_a^b (x-x_m)f(x)\; dx = 0, 
%tenk kuler av forskjellige metaller montert pÃ¥ en stang

Viggo Brun
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun}} skal ha sagt:
\say{Derivasjon er et hÃ¥ndverk, integrasjon er en kunst!}

Det han mente Ã¥ si,
var nok at derivasjon er ganske lett (det er bare Ã¥ bruke noen regneregler),
mens antiderivasjon kan vÃ¦re ganske vanskelig.
Man kan bruke et liv pÃ¥ Ã¥ trene pÃ¥ antiderivasjon.
Et tilforlatelig funksjonsuttrykk kan vÃ¦re enten lett eller vanskelig eller fullstendig hÃ¥plÃ¸st Ã¥ antiderivere,
og det er ofte umulig Ã¥ avgjÃ¸re hvilken av disse som er tilfellet fÃ¸r man har prÃ¸vd.
Kanskje er det til og med lett,
men man kan ikke akkurat det trikset som mÃ¥ brukes;
jeg har opplevd Ã¥ gjÃ¸re et integral sÃ¥ mange ganger i forelesning at jeg kan det i sÃ¸vne,
for sÃ¥ Ã¥ ikke ha noen erindringer overhodet om hva trikset er bare noen fÃ¥ Ã¥r senere.

Men hvis du kombinerer alt du har lÃ¦rt denne uken med antiderivasjonsreglene du lÃ¦rte pÃ¥ skolen,
har du en grei verktÃ¸ykasse Ã¥ jobbe med om du mÃ¥ beregne kompliserte arealer.
NÃ¥ skal vi se pÃ¥ hva disse arealene kan tolkes som.
Integralet dukker opp overalt i anvendelser,
og det er ofte mye lettere Ã¥ forstÃ¥ anvendelsene om man forstÃ¥r integralet.\\
\textbf{Integrals hemmelighet avslÃ¸res ved Ã¥ se pÃ¥ benevningen i
den avhengige og uavhengige variabelen,
gange dem sammen og se hva man fÃ¥r.}

For Ã¥ forstÃ¥ dette er det nok lurest Ã¥ dra gjennom masse eksempler.
La oss begynne med noe du allerede kan fra gymnaset.
Volumet av omdreiningslegemet som fremkommer ved Ã¥ dreie
 $f:[a,b]\to \mathbb R$ gitt ved $f(x)$ en gang om $x$-aksen,
er gitt ved
    \[
   \pi \int_a^b f^2(x)  \; dx.
    \]
Dette er fordi $g(x) = \pi f^2(x)$ er en funksjon som gir
arealet av et tverrsnitt.
NÃ¥r vi integrerer $g$,
tolkes \textit{hÃ¸yden i riemannhistogrammet som et areal},
og nÃ¥r vi sÃ¥ ganger med basen til histogrammet (som tolkes som lengde),
blir resultatet et volum.

\begin{oppgave}{18}
Drei litt pÃ¥ en bit av sinuskurven,
for eksempel mellom to av nullpunktene,
og finn volumet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Vis at volumet til en kule med radius $r$ er $\frac{4\pi}{3}r^3$.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1003292}
\end{center}

\clearpage

Arbeid er en annen klassiker.
I fysikken pÃ¥ skolen lÃ¦rte du antagelig at arbeid er lik kraft ganger vei.
Men i skolefysikk gjerne kraften konstant,
slik at du kan gange kraft med vei og fÃ¥ arbeidet.
I det virkelige liv endrer kraften seg hele tiden,
og da mÃ¥ vi selvfÃ¸lgelig integrere:
\[
    \text{arbeid} = \int F dx
\]
Jeg anbefaler en titt her:
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_13.html}

\begin{oppgave}{20-1}
Institutt for fysikk har mÃ¥lt tyngdeakselerasjonen $g \approx 9.8214675$ i kjelleren pÃ¥ realfagsbygget.
Du hopper fra femmeteren pÃ¥ pirbadet. Hvor stort arbeid gjÃ¸r tyngden pÃ¥ deg frem til du treffer vannspeilet?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{20-2}
Newtons gravitasjonslov sier at gravitasjonskraften pÃ¥ deg er
    \[
        F(r) = \frac{Gm_1m_2}{r^2}
    \]
    der $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} Nm^2/kg^2$  er den universelle gravitasjonskonstanten,
    $m_1$ er jordens masse, og $m_2$ er din masse,
    og $r$ din avstand fra jordens sentrum.
    Alan Eustace \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Space_diving}}
hoppet i 2014 i fallskjerm fra en hÃ¸yde pÃ¥ nesten 42 km.
    Hvor stort arbeid gjorde tyngden pÃ¥ ham?\\
(Du kan for Ã¸vrig se video av Felix Baumgartners 2012-rekord fra 39 km pÃ¥ youtube.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20-3}
Hva er tyngdeakselerasjonen 42 km opp? 
Hvor stor relativ feil gjÃ¸r du i forrige oppgave dersom du antar  $g \approx 9.8214675$ hele
veien fra 42 km oppe og ned til bakken?\\
(Relativ feil er feilen delt pÃ¥ stÃ¸rrelsen det er snakk om. 
Relativ feil er viktig;
hvis du mÃ¥ler avstanden bort til sidemannen og bommer med en meter, 
er det en ganske dÃ¥rlig mÃ¥ling,
men hvis du mÃ¥ler avstanden til mÃ¥nen og bommer med en meter, 
er det ganske bra.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{21}
    Et beholder med et stempel inneholder en ideel gass.
    Vi tilfÃ¸rer varme,
	men lar gassen ekspandere slik at temperaturen holdes konstant.
    Hva er arbeidet stempelet gjÃ¸r pÃ¥ omgivelsene nÃ¥r volumet gÃ¥r fra $V_1$ til $V_2$?
\end{oppgave}


\includegraphics[scale=.3]{../figurer/stempel}

\clearpage

Hvis basen i riemannsumhistogrammet er et tidsintervall pÃ¥ $t$-aksen, 
og $i(t)$ strÃ¸mstyrke som funksjon av tiden. 
blir histogramhÃ¸yden litt ladning,
og 
\[
\int_a^b i(t)\; dt
\]
total ladning mellom tidspunktene $t=a$ og $t=b$.
La oss si at spenningskilden i kretsen har stÃ¥tt pÃ¥ en god stund slik at kondensatoren blir ladet opp, 
og sÃ¥ blir spenningskilden slÃ¥tt av ved $t=0$ slik at $i(0)=1$. 

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v$] (0,1);
		\draw (0,3) to (2,3) to [C=1$F$] (4,3) to  (6,3) to [R=1$\Omega$] (6,1) to (0,1);
%		\draw (2,3) to (2,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{22}
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden nÃ¥r kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


Hvis du dreier $f: [1,\infty) \to \mathbb{R}$ gitt ved $f(x)=1/x$ om $x$-aksen, 
fÃ¥r du \say{Gabriels trompet}.

\begin{oppgave}{29}
    Finn volumet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1004765}
\end{center}


\clearpage

Den siste anvendelsen vi skal ta er litt mer subtil,
nemlig buelengde.
Lengden av grafen til $f$ fra $(a,f(a))$ til $\left(b,f(b)\right)$ er
    \[
    \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx.
    \]
Dette er subtilt fordi integranden $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ er en benevningslÃ¸s faktor
som angir forholdet mellom lengde pÃ¥ en bitteliten bit av $x$-aksen og en bitteliten bit av kurven
(dersom bÃ¥de $x$ og $f(x)$ mÃ¥les i meter).
Kurvelengdekonseptet blir veldig viktig om et Ã¥rs tid
nÃ¥r vi skal lÃ¦re om integrasjon av funksjoner av flere variable,
men la oss venne oss til det allerede nÃ¥.

\begin{oppgave}{30}
Finn buelengden til $y=x^{3/2}$ fra $x=0$ til $x=1$.\\
(Denne gÃ¥r med et nÃ¸dskrik med penn og papir.)
\end{oppgave}

Likningen for en sirkel er
\[
x^2+y^2=r^2
\quad
\text{eller}
\quad
\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1
\]
om du vil.
En generalisering av denne er likningen for en ellipse:
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Punktene som passer i denne likningen ligger pÃ¥ en ellipse som er sentrert i origo og har halvakser $a$ og $b$.
Planetene gÃ¥r stort sett rundt solen i ellipsebaner.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}}

\begin{oppgave}{31}
Finn omkretsen av en ellipse med halvakser 1 og 2. \\
(Denne gÃ¥r ikke med penn og papir.
PrÃ¸v bÃ¥de riemannsummer og trapesmetoden.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{32}
Finn lengden av en periode av sinuskurven.
(Dette integralet kan heller ikke beregnes analytisk.)
\end{oppgave}

Kombinerer du buelengdeformelen med omdreiningslegeme,
fÃ¥r du formelen for overflatearealet til et legeme
som er fremkommet ved Ã¥ dreie $f&gt;0$ om $x$-aksen:
\[
    \text{overflateareal} = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx
\]

\begin{oppgave}{33}
    Finn overflatearealet til Gabriels trompet.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/M1005141}
\end{center}

Helt pÃ¥ tampen tror jeg vi tar en lavthengende frukt,
nemlig dobbeltintegraler.
Grunnen er at dette kommer ganske tidlig i TMA4245 etter juleferien,
og det er ikke sÃ¥ vanskelig,
men kan vÃ¦re greit Ã¥ ha sett.
Fra Ã¸kten i uke 35 vet du at du skal tenke pÃ¥ grafen til $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ som
taket i et hus med grunnflate gitt ved $\Omega \in \mathbb R^2$.
Integralet
\[
\iint_\Omega f
\]
kan du tenke pÃ¥ som volumet av huset.
Dersom $\Omega$ er et rektangel er ikke dette vanskelig Ã¥ utfÃ¸re,
og har du skjÃ¸nt omdreiningslegemer,
bÃ¸r det gÃ¥r greit Ã¥ skjÃ¸nne oppskriften.
La oss finne volumet under $f(x,y) = xy$,
der $\Omega$ er rektangelet avgrenset av $0 \leq x \leq1$ og $0 \leq y \leq2$.
Vi uttrykker vÃ¥re fÃ¸lelser for $\Omega$ ved Ã¥ skrive
\[
\Omega=[0,1] \times [0,2]
\]
som kalles et \textbf{kartesisk produkt},
og integralet blir

\begin{equation*}
\iint_\Omega f
=\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}xy \; dxdy
=\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy.
\end{equation*}

Dette kalles et \textbf{iterert integral},
for det er et integral inni et annet integral.

FÃ¸rst tar vi det innerste integralet.
Det er med hensyn pÃ¥ $x$,
fordi $dx$ stÃ¥r innerst.
Vi gÃ¥r fremad med samme taktikk som ved partiellderivasjon;
man integrerer med hensyn pÃ¥ $x$,
og later som om $y$ er en konstant:

\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy=
\int_{0}^{2}\left[ \frac{1}{2}x^{2}y \;\right]_{x=0}^{x=1} dy=
\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot y - \frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot y\; \right) dy=
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy
\end{equation*}

Tolkningen av det innerste integralet er nÃ¥ i samme gate som integranden i omdreiningslegemer;
vi har regnet ut arealet av et tverrsnitt.
Tenk at du for hver $y$-verdi har saget volumet i to med en motorsag,
parallelt  med $x$-aksen.
Funksjonen
\[
\int_{0}^{1}xy \; dx = \frac{1}{2}y,
\]
altsÃ¥ det innerste integralet,
gir  arealet av dette tverrsnittet.
Hvis du skjÃ¸nte omdreiningslegemer i R2,
skjÃ¸nte du forhÃ¥pentligvis at dersom man har en funksjon som beskriver
arealet av tverrsnittet av et volum,
finner man det totale volumet ved Ã¥ integrere tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y \; dy=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}y^{2}\; \right]_{y=0}^{y=2}=1
\end{equation*}


PrÃ¸v selv nÃ¥. Beregn

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{34}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^3 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{35}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^3\int_0^1 x + 2y \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{36}
$
\hspace{3mm}\displaystyle  \int_{0}^1\int_0^1 2+\frac{xy}{10} \dee x \dee y
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage

\begin{comment}

\section*{UKENS KJEMI}

En klassisk anvendelse av sannsynlighetsfordelinger er i kvantemekanikk.
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/matte1_kjemi.pdf}

\begin{minipage}{13cm}
NÃ¥r man jobber med den kvantemekaniske harmoniske oscillatoren:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator}\\
stÃ¸ter man pÃ¥ en situasjon der man mÃ¥ finne arealet under kurven $y=e^{-ax^2}$ og utenfor $y=bx^2$, 
der $a&gt;0$ og $b&gt;0$ er konstanter.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{4cm}
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
%\filldraw[orange, thick] (0,0) -- (.2,.01) -- (.5,.06) -- (.7,.16) -- (1,.3) -- (1.5,.71) -- (2,1.3)  -- (2,0) -- cycle;
          \draw[-&gt;] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
         \draw[-&gt;] (0,0) -- (0,1.5);% node[above]{$t$};
\draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] 
plot ({\x},{1-(\x*\x)+.5*(\x*\x*\x*\x)-0.16666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x)+0.0416666666666666666*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)
-0.008333333333333333*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x
+0.001388888888888889*(\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x)});
      \draw[scale=1,domain=-1.3:1.3,smooth,variable=\x,black,thick] plot ({\x},{(\x*\x)});
       \end{scope}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{minipage} 

\begin{oppgave}{1}
Finn skjÃ¦ringspunktene mellom de to kurvene.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Lag en funksjon som tar inn $a$ og $b$, 
og beregner en tilnÃ¦rming til arealet.\\
(Dette er omtrent det samme som Ã¥ finne arealet under normalfordelingskurven. 
Her mÃ¥ du vite at  
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} \; dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}},
\]
men hvordan man ser dette mÃ¥ vi vente med til et senere semester.)
\end{oppgave}

Vegard har ogsÃ¥ laget en oppgave om integralet og SchrÃ¶dingerlikningen, 
se oppgave 4.1 her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/vegargje/Mattepilot_MTKJ/martaoppgaver.pdf}

\section*{UKENS ELEKTROTEKNIKK}


Kretsen under er en dÃ¥rlig frekvensfordobler.

\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [V=$v(t)$] (0,1);
		\draw (0,3) to [D ] (2,3) to [C] (4,3) to [cute inductor] (6,3) to [R] (6,1) to (0,1);
	\end{circuitikz}	
\end{center}

\begin{oppgave}{1}
Anta at $i(0)=1$ etter at spenningskilden er slÃ¥tt av. 
Hvor mye ladning har passert gjennom motstanden nÃ¥r kondensatoren er utladet?
\end{oppgave}


\section*{UKENS REGULERING}

\url{https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0021999113000041?via%3Dihub}

\clearpage

\section*{UKENS REPETISJON FRA R2}

Antiderivasjon er kanskje integralets minst viktige aspekt,
men la oss allikevel repetere litt fra videregÃ¥ende skole bare for Ã¥ bli varme i trÃ¸yen.
Der trener man pÃ¥ de vanligste antiderivasjonstriksene til man blir grÃ¸nn i fjeset.
FÃ¸rst noen arealklassikere som Arkimedes fant ut av allerede 250 BC.

\begin{oppgave}{1}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=0$ og $x=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Finn arealet avgrenset av $y=x^2$, $y=1$ og $x=0$.
\end{oppgave}

Andre klassikere er de der man bare mÃ¥ skrive om integranden litt. 
Regn ut

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{3}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{1} \sqrt{x^2+4x+4} \dee x 
$\\
  (Hint: faktoriser polynomet.)
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{4}
$
\displaystyle 
    \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + \cos x} \dee x 
$ \\
(Hint: $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta -1.$)
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{5}
Funksjonene $y=\sin^2(x)$ og $y=1$ avgrenser et uendelig antall noe avrundede pizzastykker. Finn arealet av et av disse.   
\end{oppgave}



Et annet klassisk triks, 
er kjerneregelen. 
Den er egentlig bare kjerneregelen for derivasjon i retur. 
Vi ser for eksempel at
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=3\int xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2} \int -2xe^{-x^2}\; dx = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Hvis integranden blir komplisert, 
kan det vÃ¦re lurt Ã¥ utfÃ¸re dette trikset som en variabelsubstitusjon,
men dette blir fort en uforstÃ¥elig oppskrift 
(det var det ihvertfall for meg da jeg gikk pÃ¥ skolen) 
om man ikke skjÃ¸nner at det er kjerneregelen som ligger i bÃ¥nn for alt:
\[
\int 3xe^{-x^2}\; dx=-\frac{3}{2}\int e^{u}\; du=-\frac{3}{2} e^{u}+C = -\frac{3}{2} e^{-x^2}+C
\]
Regn ut

\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{6}
$
\displaystyle 
     \quad \int\frac{\sin\left( x \right)}{1+\cos\left( x
      \right)} \dee x
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{7}
$
\displaystyle 
\int e^x \sqrt{1+e^x}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{oppgave}{8}
$
\displaystyle 
\int xe^{x^2}\; dx
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{9}
Finn arealet begrenset av $y=x/(x^2+16)$, $y=0$, $x=0$ og $x=2$. \\[-6pt]
\end{oppgave}




Du husker kanskje formelen for delvis integrasjon:
\[
\int fg'=fg-\int f'g
\]

\begin{oppgave}{10}
Finn 
$
\displaystyle \int e^x\cos x \; dx
$
med delvis integrasjon. Hvis du husker Eulers formel blir den enda lettere.
\end{oppgave}

\end{comment}

\clearpage

\section*{UKENS NÃ˜TTER}


\begin{oppgave}{2}
Utled formelen
\[
2\pi \int_a^b xf(x) \; dx
\]
    for volumet som fremkommer ved Ã¥ dreie $f$ om $y$-aksen. \\
(Dette kalles \textbf{sylinderskallmetoden}. Hvorfor?)
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{4}
Vis at arealet til en ellipse med halvakser $a$ og $b$ er $\pi ab$.\\
(Denne gÃ¥r an med penn og papir.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
Du kan prÃ¸ve Ã¥ integrere Planckfordelingen:
\[
\int_0^\infty \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{e^{hc/\lambda k T}-1}=\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}T^4
\]
men da skal du nok fÃ¥ svette ganske bra.
\end{oppgave}

\clearpage

Invarianten til lotkavolterrasystemet er 
en funksjon av to variable $x_1$ og $x_2$:
\[
    f(\V x) = x_1 + x_2 - \ln|x_1| - \ln|x_2|
\]

\begin{oppgave}{14}
    Hva er en fornuftig definisjonsmengde?
\end{oppgave}

Grafen til en funksjon fra $\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}$ 
kan du tenke pÃ¥ som et terreng der $x_1$ og $x_2$ er 
lengde- og breddegrad, 
og $f(\V x )$ hÃ¸yden over havet. 
Punktene som passer i likningen 
\[
    f(\V x) = C
\]
kalles en \textbf{nivÃ¥kurve} til $f$,
siden $f$ er konstant denne kurven.
Dette er det samme som ekvidistansjelinjene pÃ¥ et orienteringskart.
Matplotlib har funksjonalitet for Ã¥ plotte nivÃ¥kurver\footnote{
    \url{https://matplotlib.org/stable/gallery/images_contours_and_fields/contour_demo.html}
    }
    og flater.\footnote{
        \url{https://matplotlib.org/stable/gallery/mplot3d/surface3d.html}
    }


\vspace{-3mm}
\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{16}
    La $\Omega$ vÃ¦re enhetskvadratet $[0,1] \times [0,1]$ i $\mathbb{R}^2$.
    Plot funksjonen $f:\Omega \to \mathbb{R}$ gitt ved 
    \[
        f\left(\V x \right) = x_1x_2.
    \]   
\end{oppgave}

Funksjonen i oppgaven over kommer fra \textbf{den ideelle gasslov}.
Dette er en utledet regel i statistisk mekanikk,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
og sier at i en ideell gass fÃ¸lger trykket $p$, temperaturen $T$
og volumet $V$ formelen
\[
pV=NTk,
\]
der 
$k$ er Boltzmanns konstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}}
og $N$ antall gassmolekyler.
Loven er lett Ã¥ huske for sivilingeniÃ¸rer siden \say{$NTk$} rimer pÃ¥ \say{NTH}.
\begin{comment}
Man kan ogsÃ¥ skrive
\[
\frac{3}{2} \frac{pV}{N}=\frac{1}{2}m v^2
\]
der $v$ er forventningsverdien til den $\chi$-fordelte
partikkelhastigheten.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution}}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwellâ€“Boltzmann_distribution}}
\end{comment}

\begin{oppgave}{27}
    SkissÃ©r isokorer, 
    isobarer og isotermer. 
    Hvilke funksjoner skisserer du nivÃ¥kurvene til?
\end{oppgave}

Dersom $f$ er en funksjon fra $\mathbb{R}^n$ til $\mathbb{R}$,
kan vi finne stigningen i alle koordinatretninger:
\[
\frac{\partial f}{\partial x_k}=
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots, x_k+h,\cdots, x_n)-f(x_1,x_2,\cdots, x_k,\cdots, x_n)}{h}
\]
Dette ser forferdelig ut,
men er lett Ã¥ utfÃ¸re i praksis.
For Ã¥ finne den partiellderiverte med hensyn pÃ¥ den Ã©n variabel \textit{later du som om den andre er en konstant},
og deriverer som vanlig.

\begin{oppgave}{26}
    Finn de partiellderiverte til 
    $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gitt ved
    \[
        f(\mathbf{x}) = 2x_1 + 3x_2 + x_1 x_2.
    \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{26}
    Finn 
    $\displaystyle \frac{\partial T}{p}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial T}{V}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial p}{T}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial p}{V}$, 
    $\displaystyle \frac{\partial V}{T}$ 
    og
    $\displaystyle \frac{\partial V}{p}$.
\end{oppgave}

\begin{comment}
\[
\frac{\partial f}{\partial x_1}=
2 + x_2
\hspace*{20mm}
\frac{\partial f}{\partial x_2}=
3 + x_1
\]
\end{comment}





\clearpage





En funksjon med flere variable ut kan ogsÃ¥ ha flere variable inn,
for eksempel
\[
    \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        f_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        f_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{matrix} \; \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        ax_1-bx_1x_2 \\
        -cx_2+dx_1x_2 
    \end{matrix} \; \right)
\]
En funksjon fra $\mathbb{R}^2 $ til $ \mathbb{R}^2$
kalles et \textbf{vektorfelt},
og du kan visualisere den som et vindkart.
Den avhengige variabelen er GPS-koordinaten,
og den uavhengige variabelen er vindens retning og fart.

\begin{oppgave}{1}
    Hva er vindstyrke og vindretning i TromsÃ¸?\footnote{
        Se her:\\
        \url{https://hjelp.yr.no/hc/no/articles/360002022134-Vindpiler-og-Beaufortskalaen}\\
        \url{https://www.yr.no/artikkel/her-ser-du-verdas-vindar-akkurat-no-1.11584952}
    }
\end{oppgave}

\includegraphics[scale=.5]{../figurer/vind-2}

\vspace*{-4mm}
\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-2}}[7mm]

\begin{oppgave}{21}
I matplotlib heter det "quiver". 
Plott hÃ¸yresiden i lotkavolterrasystemet.
\end{oppgave}

Matrise-vektorproduktet er forresten en funksjon fra 
$\mathbb R^2$ til $\mathbb R^2$ dersom $A \in \mathbb{R}^{2\times 2}$, 
for eksempel 
\[
    \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        f_1\left( \mathbf{x} \right) \\
        f_2\left( \mathbf{x} \right)
    \end{matrix} \; \right)
    =
    \left(\; \begin{matrix}
        2x_1 + 3x_2 \\
        4x_1 + 5x_2
    \end{matrix} \; \right)
\]

\begin{oppgave}{20}
    Er denne funksjonen injektiv?
    Eksisterer den inverse?
\end{oppgave}










%La oss nÃ¥ bruke den siste siden pÃ¥ Ã¥ se hva slags informasjon vi kan hale ut av lotkavolterrasystemet uten Ã¥ faktisk lÃ¸se differensiallikningene. 


\begin{oppgave}{22}
Her er plot av ymse greier fra denne Ã¸kten. Hva er hva?
\end{oppgave}

\begin{minipage}{55mm}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=1]{../figurer/lotkavolterra-2}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
    \includegraphics[scale=.25]{../figurer/lotkavolterra-3}
\end{minipage}




%\begin{oppgave}{22}
%	Lotkavolterrasystemet har to likevektslÃ¸sninger. Finn dem.
%\end{oppgave}

\clearpage

\textbf{Grupper} brukes til Ã¥ modellere romlige symmetrier. Dette er viktig i analyse av molekyler og molekylgitre. For ikke Ã¥ snakke om tapetmÃ¸nstre. De brukes ogsÃ¥ til Ã¥ holde styr pÃ¥ rotasjoner i rom. Dette er viktig i reguleringsteknikk. 
En annen algebraisk struktur kalles \textbf{gruppe}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)}}
Denne har bare Ã©n binÃ¦r operasjon, 
og er en av de mest fundamentale algebraiske strukturene.
Den binÃ¦re operasjonen $\cdot$ skal vÃ¦re assosiativ,
gruppen $G$ mÃ¥ inneholde
%\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=En gruppe mÃ¥ inneholde]
En gruppe mÃ¥ inneholde
\begin{itemize}
\item[1] et identitetselement e slik at $g\cdot e=e\cdot g=g$ for alle $g \in G$. 
\item[2] et inverselement for alle $g \in G$, altsÃ¥ et element $g^{-1}$ slik  $g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$ 
\end{itemize}
%\end{tcolorbox}
Det var alt. 
Grupper brukes til Ã¥ modellere symmetri. 
Det for eksempel kun mulig Ã¥ konstruere syv frisemÃ¸nstre,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group}}
og sytten tapetmÃ¸nstre. \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group}}
Krystallstrukturer kommer i trettito varianter, 
og disse er veldig viktige i faststoffysikk og kjemi og sÃ¥ videre.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system}}
Tolvtonesystemet vi bruker i vestlig musikk er en gruppe som heter $\mathbb Z_{12}$.\footnote{\url{https://www.jstor.org/stable/25164658}}

\clearpage
\section*{UKENS NÃ˜TTER}

Det sies at komponisten Harald SÃ¦verud
hÃ¸rte gjennom alle Joseph Haydns 104 symfonier med LP-spilleren
pÃ¥ 45 istedet for 33 omdreininger uten Ã¥ merke at noe var galt.
\footnote{Dette ble visst oppklart da SÃ¦verud ringte Jan Henrik Kayser i harnisk 
for Ã¥ fortelle ham at hans nye innspilling av SÃ¦veruds samlede pianoverker gikk altfor fort.}

\begin{oppgave}{1}
En LP-plate har diameter 12 tommer,
og roterer med $100/3$
omdreininger per minutt.
Finn et vektorfelt som beskriver hastigheten til et punkt pÃ¥ LP-platen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/img20210415_17300375}
\end{center}

%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.15]{../figurer/img1365}
%\end{center}

Har du fulgt med pÃ¥ alt til nÃ¥ i kurset 
har du i prinsippet kunnskap til Ã¥ takle
det ikkelineÃ¦re likningssettet
\begin{align*}
		\V f(\V x)= 
		\left(\; 
				\begin{matrix}
						f_1(\mathbf{\V x})\\[1mm]     
						f_2(\mathbf{\V x})
				\end{matrix}
		 \;\right)
		=
		\left(\; 
				\begin{matrix}
						0\\[1mm]     
						0
				\end{matrix}
		 \;\right)
\end{align*}
der $\V f$ er en eller annen funksjon fra 
$\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}^2$.
Her er en figur som illustrerer dette:
 \begin{center}
		\begin{tikzpicture}[thick]
						\draw[blue] (-2,0) circle (2cm) node[right,xshift=1cm,yshift=2cm]{$f_1(\V x)=0$};
						\draw[red] (0,-1) circle (1.5cm) node[right,xshift=1.5cm,yshift=0cm]{$f_2(\V x)=0$};
						\node[below right] at (-.3,.7){$\circ$};
						\node[below right] at (0,1.2){$\V r$};
						\draw[-&gt;] (-3.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x_1$};
						\draw[-&gt;] (-2.5,-1) -- (-2.5,1.3) node[above]{$x_2$};
			\end{tikzpicture}
	\end{center}
Numeriske metoder er stort sett iterative. 
Vi lar $\V x_n$ vÃ¦re iterasjon nummer $n$. 
\textbf{Newtons metode} er gitt ved 
\begin{align*}
	\V x_{n+1}
	= 
	\V x_{n}
	- 
	\Big (\V f'(\V x_n)\Big)^{-1}
	\V f(\V x_n)
\end{align*}
der 
\begin{align*}
	\Big(\V f'\Big)^{-1}	
	=
	\left(\;
		\begin{matrix}
			\frac{\partial f_1}{\partial x_1} &amp;
			\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[2mm]
			\frac{\partial f_2}{\partial x_1} &amp;
			\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
		\end{matrix}
	\;\right)
\end{align*}



\begin{oppgave}{5}
		Test ved Ã¥ finne skjÃ¦ringspunktene mellom de to ellipsene 
		\begin{align*}
				3 x^2 + 2 x y + y^2 - 2x - y = 1
				\hspace*{10mm}
				\text{og}
				\hspace*{10mm}
				x^2 + 2x y + 6 y^2  - x  - 2y = 1
		\end{align*}
		Hint: Det gÃ¥r greit Ã¥ bruke np.linalg.solve, 
		men for $2\times2$-matriser finnes det en formel:
		\begin{equation*}
				\begin{pmatrix} a &amp; b \\ c &amp; d \end{pmatrix}^{-1}=
				\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d &amp; -b \\ -c &amp; a \end{pmatrix}.
		\end{equation*}        
\end{oppgave}

Det finnes en generell formel for inversen til en inverterbar matrise:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix#Analytic_solution}\\
Dette kalles \textbf{kofaktorekspansjon}.
Det er en og annen gubbe (inkludert meg) som sporadisk synes dette er nyttig Ã¥ vite om. 
Jeg har hatt bruk for det Ã©n gang i livet - i den eneste artikkelen jeg har fÃ¸rt i pennen noen gang. 
Den var kjempebra og biveilederen min fikk den publisert i en obskur bulgarsk konferansejournal 
rett fÃ¸r han ble pensjonist.


\begin{oppgave}{6}
	Sett kretsparametrene til dine favorittverdier, og finn alle strÃ¸mmer og spenninger.\\
	\begin{center}
		\begin{circuitikz}
			\draw  (0,3) to [V] (0,1);
			\draw  (0,3) to [ R] (4,3) to [R] (4,1) to [D]  (0,1); 
			\draw  (4,3) to [R] (8,3); 
			\draw  (8,3) to (8,1) to [D] (3,1);
		\end{circuitikz}
	\end{center}
\end{oppgave}
	
	
\clearpage

Det finnes liknende metoder for lineÃ¦re systemer. 
Hvis du skal lÃ¸se et stort system og ikke orker all gaussingen, 
kan du bruke en \textbf{iterativ lÃ¸ser}. 
Fikspunktiterasjonen funker pÃ¥ for eksempel pÃ¥ lineÃ¦re systemer ogsÃ¥. 

\begin{oppgave}{7}
	Skriv om systemet 
	\begin{align*}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				a &amp; 1 &amp; 1 &amp; \dots &amp; 1 \\
				1 &amp; a &amp; 1 &amp;  &amp; 1 \\
				1 &amp; 1 &amp; \ddots &amp;  &amp; \vdots \\
				\vdots &amp;  &amp;  &amp; a &amp; 1 \\
				1 &amp; 1 &amp; \dots &amp; 1 &amp; a 
			\end{matrix}
		\; \right)
		\left( \;
			\begin{matrix}
				x_1\\
				x_2\\
				x_3\\
				\vdots \\
				x_n
			\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\left( \;
			\begin{matrix}
				1\\
				1\\
				1\\
				\vdots \\
				1
			\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
	til en likning pÃ¥ formen 
	\begin{align*}
		\V x = \V g(\V x)
	\end{align*}
	og kjÃ¸r fikspunktiterasjon. 
	Dette kan gjÃ¸res pÃ¥ mange mÃ¥ter. 
	OppfÃ¸rselen vil antagelig avhenge av forholdet mellom $a$ og $n$. 
	Kan du se hvordan?
\end{oppgave}
\end{document}
</pre></body></html>