\input{preamble}

\title{2 - 7 - BØLGE- OG VARMELIKNINGEN}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}


\maketitle
\begin{comment}
Hvis jeg skulle oppsumere det kommende semesteret med to ord,
ville det nok blitt 
\say{ortogonal dekomposisjon}. 
Dette har du brukt så mange ganger at du antagelig ikke tenker over det lenger. 
Hver eneste gang du bruker det kartesiske koordinatsystemet,
bruker du ortogonal dekomposisjon.

Vektoren $\mathbf x \in \mathbb{R}^2$ kan dekomponeres i to ortogonale vektorer;
i gamle dager skrev vi $\mathbf i$ og $\mathbf j$ for enhetsvektorer i koordinatretningene,
slik at vi kunne skrive 
\[
  \mathbf x = x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf j
\]
her illustrert i figuren til høyre:

\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{../figurer/ortogonal-dekomposisjon.png}
\end{center}

Dette er gått litt av moten i norske lærebøker;
når for tiden skriver man heller 
\[
  \mathbf x =
  \begin{pmatrix}
    x_1 \\
    x_2
  \end{pmatrix}
\hspace*{10mm}
\text{eller }
\hspace*{10mm}
  \mathbf x =
  \begin{pmatrix}
    x_1 &
    x_2
  \end{pmatrix}
\]
slik som i figuren til venstre.   
I forrige semester var jeg litt nøye på å ikke bruke 
$\mathbf i$
og 
$\mathbf j$
for å ikke blande sammen med den imaginære enheten,
som heter $i$ hos oss og $j$ borte på elektro,
men i dette semeteret antar jeg at du er komfortabel nok med komplekse tall
til at jeg kan begynne å bruke denne notasjonen. 

\begin{minipage}{120mm}  
Ortogonal dekomposisjon brukes til mye mer enn
å dekomponere tyngdekraften i krefter som er parallelle og ortogonale på fartsretningen.
I dette semesteret kommer jeg til å skrive slike hårreisende ting som at 
sinus- og cosinusfunksjone er ortogonale på $[-\pi,\pi]$ 
og at periodiske signaler kan dekomponeres i ortogonale frekvenskomponenter. 
Dette vil fremstå som litt abstrakt i begynnelsen,
men når man knekker koden og ser lyset,
kan jeg garantere en religiøs opplevelse. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.16]{../figurer/pendel-2.png}
\end{center}
\end{minipage}

For å motivere hele greia,
skal vi begynne med litt fysikk. 
Mange store oppdagelser i matematikk,
startet opprinnelig med et eller annet praktisk problem,
slik som å finne et tall for lengden på diagonalen i et kvadrat,
eller bestemme temperaturen i en ting som avkjøles.

\clearpage

\end{comment}
En differensiallikning der den ukjente er en funksjon av flere variable,
kalles en \textbf{partiell differensiallikning}. 
La $u$ være en funksjon av to variable;
en romlig koordinat $x$ og tiden $t$.
De partiellderiverte skrives
\[
  \nabla u(x,t)= \frac{\partial u}{\partial x} =\lim_{h\to 0} \frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h}  
\hspace{10mm} \text{og} \hspace{10mm}
\dot u(x,t) = \frac{\partial u}{\partial t} =\lim_{h\to 0} \frac{u(x,t+h)-u(x,t)}{h}
\]
og leses henholdsvis \say{$u$ derivert med hensyn på $x$} og \say{$u$ derivert med hensyn på $t$}.
De dobbelderiverte skrives
\[
  \Delta u(x,t)= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
\hspace{1.2cm} \text{og} \hspace{1.2cm}
\ddot u(x,t) = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
\]
Den geometriske tolkningen av de partiellderiverte
kommer an på den geometriske tolkingen av $u$,
og denne kan være litt forskjellig alt etter hva vi skal bruke $u$ til. 
I denne økten skal vi tenke på 
$u$ som en eller annen målbar fysisk størrelse,
for eksempel 
\begin{itemize}
  \item 
  utslaget til en oppspent gitarstreng som vibrerer.
  Da blir $\dot u$ farten til et punkt på strengen,
  mens $\nabla u$ blir stigningen til kurven $u$ med hensyn på $x$.
  \item   
  temperaturen i en stang.
  I så fall er $\dot u$ tidsendringen til temperaturen i et punkt på strengen
  og $\nabla u$ temperaturgradienten.
  \item   
  trykket i en stående trykkbølge i en orgelpipe eller en fløyte.
  Da blir $\dot u$ tidsendring i trykk,
  mens $\nabla u$ blir trykkgradienten.
\end{itemize}


\begin{center}
  \includegraphics[scale=.54]{../figurer/streng-1}
\end{center}
  

\clearpage


Her er to viktige likninger:
\[
\textbf{Varmelikningen:}
\hspace{10mm}
\dot u(x,t)=\alpha \Delta u(x,t)
\hspace{10mm}
\textbf{Bølgelikningen}: 
\hspace{10mm}
\ddot u(x,t)=c^2 \Delta u(x,t)
\]

Disse kan begge utledes med det du har i verktøykassen,
så det skal vi gjøre. 

La oss begynne med varmelikningen. 
Tenk at du har en stang eller ledning eller noe 
med temperatur $T(x,t)$ og 
der varmen kun kan strømme i $x$-retningen, 
for eksempel ved at stangen er pakket inn i Glava. 
Fouriers varmelov sier at varmestrømmen $q$ (målt i watt per kvadratmeter) over et 
tverrsnitt av stangen er proporsjonal med temperaturgradienten:
\[
q = - k \nabla T(x,t)
\]
Her er $k$ er en konstant som kalles den \textbf{termiske konduktiviteten}.\footnote{
  \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conduction}
} 
La oss nå se på en liten bit av stangen, 
den mellom $x$ og $x+h$. 
Endringen i bitens indre energi ved konstant volum er
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho c A h T(x,t)\right) = \rho c A h \dot T(x,t)
\]
der $\rho$ er massetettheten til materialet, 
$A$ er tverrsnittet, 
og $c$ er den spesifikke varmekapasiteten.
Tidsendringen i denne varmeenergien må skyldes at varmeenergi 
strømmer inn og ut fra enten den ene eller andre siden,
slik at\\
\begin{minipage}{85mm}
\begin{align*}
\rho c A h \dot T(x,t) &=  
Aq_{\text{inn}}-Aq_{\text{ut}}\\
&= -kA\nabla T(x,t)-(-kA\nabla T(x+h,t))\\
&=kA\left(\nabla T(x+h,t)-\nabla T(x,t)\right)
\end{align*}
\end{minipage}  
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/varmeledning.png}
\end{center}
\end{minipage}\\
Hvis vi nå deler på $h$ og lar $h \to 0$,
får vi 
\[
\dot T(x,t) = \alpha \Delta T(x,t)
\]
der alle fysiske konstanter er samlet sammen i $\alpha$,
som kalles den \textbf{termiske diffusiviteten}.\footnote{
  \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity}
}
Hvis vi deler ut varmekapasiteten blir dette en likning for molar indre energi, 
som har symbol $u$.
Dette er en bedre bokstav for ukjent, 
så jeg tror vi skriver 
\[
\dot u(x,t) = \alpha \Delta u(x,t)
\]
fra nå av. Men du kan tenke temperatur om du vil,
ihvertfall om du går elsys eller kyb.

\begin{oppgave}{2}
Denne utledningen må du kunne til eksamen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1020037}
\end{center}

\clearpage

Og så bølgelikningen.
Vi tenker at vi har en vibrerende streng 
med konstant massetetthet $\rho$ (nå i kg/m)
spent opp i $x=0$ og $x=\pi$. 
La $u(x,t)$ være en funksjon som for hvert punkt $x$ og hver tid $t$  
gir utslaget $u$ fra likevektslinjen, som ligger langs $x$-aksen. 
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]

      \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x$};
          \draw[->] (-2.5,-0.25) -- (-2.5,1.3) node[above]{$u$};
          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=2cm,yshift=1.2cm]{$u(x,t)$};
          \node[below] at (2,0){$\pi$};
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}

Vi tar en nærmere titt på strekkreftene på et lite stykke av strengen. 
Vi antar at tyngdekraften er neglisjerbar, og at strengen er helt elastisk, 
slik at strengestrekket, som virker parallelt med strengen, er eneste kraft. 
Vi antar at hvert punkt på strengen kun beveger seg loddrett, 
og at den horisontale komponenten av strengestrekket er konstant lik $T$:\\[-6mm]
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
 \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-1,.63) -- (.5,.9) node[right,yshift=.3cm]{$[T,T_2]$};
          \draw[-] (-1,.05) -- (-1,-.05) node[below,xshift=.4cm, yshift=.07cm]{$x+h$};
                    
          \draw[->] (-1.5,.5) -- (-3,0) node[left]{$[-T,T_1]$};
          \draw[-] (-1.5,.05) -- (-1.5,-.05) node[below]{$x$};
          
          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=4cm,yshift=.5cm]{$u(x,t)$};
          \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
     \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
Vi setter nå opp Newtons andre lov for den lille biten fra $x$ til $x+h$. 
Massen til en bit med lengde $h$ er $\rho h$, 
og akselerasjonen til strengen i punktet $x$ er $\ddot u(x,t)$. 
Kraften på biten er $T_2 + T_1$, slik at 
\[
h\rho \ddot u(x,t) = T_2 + T_1,
\]
og deler vi på $Th$, 
får vi 
\[
\frac{\rho}{T} \ddot u(x,t) =\frac{T_2/T + T_1/T}{h}=\frac{\nabla u(x+h,t) - \nabla u(x,t)}{h}.
\]
Lar vi til slutt $h\to 0$, får vi bølgeligningen
\[
\ddot u(x,t) = c^2 \Delta u(x,t),
\]
der $c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$.
Denne har benevning meter per sekund og kalles \textbf{bølgefarten}.\footnote{
  \url{https://en.wikipedia.org/wiki/String_vibration}
}

\begin{oppgave}{3}
Også eksamen. \\
Til inspirasjon: \url{https://tv.nrk.no/serie/oeyeblikket/sesong/1/episode/8/avspiller}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1020073}
\end{center}

Vitsen med å studere litt matematikk selv man ikke skal bli matematiker,
er som alle vet at mange vidt forskjellige fysiske situasjoner
beskrives av nøyaktig de samme matematiske likningene. 
For å illustrere skal jeg utlede bølgelikningen på nytt, 
men nå via spenning og strøm i en lang transmisjonslinje. 
La oss tenke at du har en spenningskilde og en last som sitter 
ganske langt borte. 
Hvis ledningen er lang nok,\footnote{
  \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_24.html}
}
vil den ha litt induktans per meter, 
og mellom ledningene vil det også være litt kapasitans per meter. 
Her er en illustrasjon:

\begin{center}
  \includegraphics[scale=.54]{../figurer/transmisjonslinje.png}
\end{center}

For å modellere induktansen på ledningene og kapasitansen mellom dem,
tenker vi at det sitter masse av små kondensatorer og spoler 
bortetter ledningsparet,
slik som på figuren. 
Det kan sitte en last i enden av ledningsparet,
men vi antar ingen motstand i selve ledningene. 
Spenning og strøm vil variere på linjene,
og vi tenker på dem som funksjoner av to variable $v(x,t)$ og $i(x,t)$. 

La $L$ være ledningens induktans per meter, 
slik at induktansen til den lille spolen blir $Lh$.
Spenningen i punktet $x+h$ er spenningen i punktet $x$ minus det som går tapt over spolen:
\[
  v(x+h,t) = v(x,t) - Lh\frac{\partial i}{\partial t}
\]
La likeledes $C$ være kapasitans per meter,
slik at kapasitansen over den lille kondensatoren blir $Ch$. 
Da er strømmen i $x+h$ lik strømmen i $x$ minus det som det lekker ned via kondensatoren:
\[
  i(x+h,t) = i(x,t) - Ch\frac{\partial v}{\partial t}
\]
Dersom vi reorganiserer disse likningene og lar $h\to 0$,
får vi \textbf{telegraflikningene}:
\[ 
\frac{\partial v}{\partial x} =
  - L\frac{\partial i}{\partial t}
  \hspace*{20mm}
  \frac{\partial i}{\partial x} =
  - C\frac{\partial v}{\partial t}
\]
Dersom vi nå deriverer den første med hensyn på $x$
og den andre med hensyn $t$
og så antar at 
\[
  \frac{\partial^2 i}{\partial t \partial x} =
  \frac{\partial^2 i}{\partial x \partial t} 
\]
(hvorvidt dette er sant kommer vi til),
får vi at spenningen må tilfredsstille bølgeligningen
\[
  \frac{\partial^2 v}{\partial t^2} =
  \frac{1}{LC}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}.
\]
Tilsvarende gjelder for strømmen:
\[
  \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} =
  \frac{1}{LC}\frac{\partial^2 i}{\partial x^2}.
\]

\begin{oppgave}{4}
Denne hadde vi på konten i fjor, gikk helt fint. 
\end{oppgave}


Så til løsning. 
Hvordan løser man en partiell differensiallikning?
Vanligvis starter man med
å bestemme seg for at man skal løse likningene på et begrenset  
intervall på $x$-aksen.
Av hensyn til studentene pleier man å begynne med $[0,\pi]$,
for da blir regningen enklest,
og av samme grunn spesifiserer man randkravene 
\[
u(0,t) = u(\pi,t) = 0.
\]
Dette betyr at strengen er spent opp i $x=0$ og $x=\pi$, 
eller at temperaturen i stangen holdes ved null grader, 
og nå har vi nok informasjon til å sette i gang og regne.

En klassisk teknikk for å løse partielle differensiallikninger
kalles \textbf{separasjon av variable}
og består i å anta at løsningen kan skrives som et produkt 
av funksjoner av hver variabel:
\[
u (x,t)= z(t)y(x)
\]

\begin{oppgave}{5}
Bruk definisjonen av partiellderivert til å vise at dersom
\[
u (x,t)= z(t)y(x)
\]
er 
\[
\dot  u (x,t)= \dot z(t)y(x) 
\hspace{1.2cm} \text{og} \hspace{1.2cm}
 \nabla u(x,t)=  z(t)y'(x). 
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{6}
Bruk separasjon av variable på både varme- og bølgelikningen og oppdag 
at du blir nødt til å løse \textbf{randverdiproblemet}
\[
y''(x)-ky(x)=0 \quad \text{og} \quad y(0)=y(\pi)=0
\]
\end{oppgave}

Konstanten $k$ kalles \textbf{separasjonskonstanten}.
Randverdiproblemet over har du verktøy nok til å løse, 
men det er litt uvant i starten. 
Man må begynne med å 
skrive opp den karakteristiske likningen til  $y''+ky=0$ 
og skrive opp løsningene når 
$k>0$, 
$k=0$ og 
$k<0$.

\begin{oppgave}{7}
Bare ett av de tre valgene for $k$ over gir løsninger som 
kan tilfredsstille randkravene $y(0)=y(\pi)=0$. 
Finn ut hvilket, 
og skriv opp alle mulige løsninger.
\end{oppgave}
 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/L1020057}
\end{center}

Hvis du analyserte randverdiproblemet riktig,
vil du nå ha kommet fram til at løsningene er 
\[
y_n(x)=b_n\sin (n x)
\]
der $b_n$ er en vilkårlig integrasjonskonstant og $n$ er et naturlig tall. 
\footnote{
Merk at vi har fått 
\textbf{kvantifisering},
som i skyldes at vi har et begrenset intervall og randkrav. 
Dette skal vi komme tilbake til i kvantefysikken mot slutten av semesteret.
}
Dette betyr at dersom både bølge- og varmelikningen med 
disse randkravene har løsninger på formen 
\[
u_n(x,t) = z(t)y_n(x) = z(t)\sin(nx)
\]
og nå gjenstår det å finne $z$. 
(Jeg har latt $z(t)$ sluke integrasjonskontanten,
for det kommer nemlig en til når vi finner $z$, 
og vi trenger ikke begge.)

\begin{oppgave}{8}
  Vis at for varmelikningen får vi 
  \[
    \dot z_n(t) + \alpha n^2 z_n(t) = 0,
  \]
  slik at 
  \[
   u_n(x,t) = z_n(t)y_n(x) = b_n e^{-\alpha n^2t}\sin(nx).
  \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
Vis for bølgelikningen at det finnes massevis av løsninger på formen
  \[
  z_n(t) = a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt) 
  \]
  og følgelig at det finnes massevis av \textbf{overtoner}
  \[
  u_n(x,t) = \left( a_n \cos(cnt)  + b_n \sin(cnt)\right) \sin(nx).
  \]
\end{oppgave}
  
Nå er vi kommet omtrent til det punktet der Joseph Fourier
\footnote{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}{Joseph Fourier} 
ble satt i fengsel under den franske revolusjon, 
dro til Egypt med Napoleon Bonaparte, 
og regnes som oppdageren av drivhuseffekten.
Han oppfant også fourierrekker.
De satte opp en statue av ham i hjembyen Auxerre i 1849,
men den ble visst rekvirert av staten og smeltet om under andre verdenskrig.
} 
begynte å slite. 


\begin{oppgave}{10}
  Vis at dersom vi skal ha $u(x,0)=f(x)$ for varmelikningen,
  må vi ha 
  \[
   f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx).
  \]
\end{oppgave}
 

Joseph Fouriers store oppdagelse var formelen for koeffisientene $b_n$. 
Eller rettere sagt, 
andre kjente til formelen,
men Fourier kom på den sprø ideen om at du kunne skrive 
\[
  x=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx).
\]
på $[0,\pi)$.
Merk at $x$ er skrevet som en lineærkombinasjon av sinuser. 
Sinusfunksjonene i uttrykket over er nemlig en ortogonal basis
for noe.
Nettopp hva skal vi komme tilbake til.


\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1020043}
\end{center}
  
\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}

Hvis du hiver ut randkravene og heller sier at 
bølge- og varmelikningen skal løses på hele $\mathbb R$,
må du gå litt annerledes til verks. 
Bølgelikningen har mange løsninger;
for eksempel passer
\[
u(x,t) = v(x-ct) + w(x+ct)
\]
i bølgelikningen uansett hva $v$ og $w$ er 
så lenge begge er to ganger deriverbare. 

\begin{oppgave}{1}
Sjekk dette, og gi en fysisk tolkning.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
  Bruk oppgaven over samt 
  \[
  u(x,0)=f(x) 
  \hspace{10mm}
  \text{og}
  \hspace{10mm}
  \dot u(x,0)=g(x)
  \]
  til å sette opp likningssystem for $f$ og $g$. 
  Gauss litt, integrer, og 
  utled D'Alemberts formel 
  \[
  u(x,t)= \frac{1}{2}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+\frac{1}{2c}\int^{x+ct}_{x-ct} g(t)\; dt.
  \]
\end{oppgave}

Det går an å løse varmelikningen på hele $\mathbb{R}$ også,
men det må vi vente med. 


\begin{center}
  \includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1020048}
\end{center}

\end{document}
 