<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{2 - 5 - INDREPRODUKTROM - LF}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%fÃ¥ inn rangen til en matrise

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
    Under vÃ¥r elskede coronapandemi kjÃ¸rte jeg dette inn pÃ¥ video:
    \url{https://ntnu.cloud.panopto.eu/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=996df708-18f0-4319-bdbd-acd00068f723}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
    Dette finner du ogsÃ¥ i videolenken over.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
Siden 
\[
    \frac{|\V x \cdot \V y|}{\|\V y\|} = |a| \leq \|\V x\|
\] 
kan vi gange opp med $\|\mathbf{y}\|$ og fÃ¥ 
\[
|\V x \cdot \V y|\leq \|\V x\|\|\V y\|.
\]
(Husk at $\|\mathbf{y}\| &gt; 0$, 
sÃ¥ vi trenger ikke bekymre oss for noen fortegnsgreier nÃ¥r vi ganger opp.)
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
    Vi kjÃ¸rer pÃ¥ 
    \begin{align*}
        \|\V x+\V y \|^2&amp;=\|\V x\|^2 +2\V x\cdot\V y+\|\V y\|^2\\[1mm]
        &amp;\leq\|\V x\|^2 +2|\V x\cdot\V y|+\|\V y\|^2\\[1mm] 
        &amp;\leq\|\V x\|^2 +2\|\V x\|\|\V y\|+\|\V y\|^2=\left( \|\V x\| +\|\V y\| \right)^2
    \end{align*}
    og sÃ¥ er det bare Ã¥ ta kvadratroten:
    \[
        \|\V x+\V y\|\leq \|\V x\|+\|\V y\|
    \]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{6}
    Argumentet er generisk;
    vi skriver 
    \[
        \V x=
        c_1\V y_1 + 
        c_2\V y_2
    \]
    og prikker med $\V y_1$ pÃ¥ begge sider
    \[
        \V x \cdot \V y_1=
        c_1\V y_1\cdot \V y_1 + 
        c_2\V y_2\cdot \V y_1
    \]
    og bruker ortogonaliteten
    \[
        \V x \cdot \V y_1=
        c_1\V y_1\cdot \V y_1 
    \]
    og deler pÃ¥ $\V y_1\cdot \V y_1$: 
    \[
        c_1 = 
        \frac{\V x \cdot \V y_1}{\V y_1\cdot \V y_1 }
    \]
    Utledningen av 
    \[
        c_2 = 
        \frac{\V x \cdot \V y_2}{\V y_2\cdot \V y_2 }
    \]
    er identisk. 
\end{oppgave}

\clearpage 

\begin{oppgave}{7}
    Vi lar
    \[
        P=\frac{\V y \V y^T}{\V y^T  \V y}.
    \]
    NÃ¥ kan du selv sjekke at
    \[
        P\mathbf x = \frac{\V x^T \V y}{\V y^T  \V y}\V y
    \]
    ved Ã¥ sette
    \[
        \V x =
        \begin{pmatrix}
            x_1 \\
            x_2 \\
            \vdots \\
            x_n
        \end{pmatrix}
        \hspace*{10mm}
        \text{og}
        \hspace*{10mm}
        \V y =
        \begin{pmatrix}
            y_1 \\
            y_2 \\
            \vdots \\
            y_n
        \end{pmatrix},
    \]
    og gange ut 
    \[
        \frac{\V x^T \V y}{\V y^T  \V y}\V y
        \hspace{10mm}
        \text{og}
        \hspace{10mm}
        \frac{\V y \V y^T}{\V y^T  \V y}\V x
    \]
    og sjekke at det blir det samme.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
La 
\[
    A=
    \begin{pmatrix}
        1 &amp; 1 &amp; 1  \\
        0 &amp; -\sqrt{2} &amp; \sqrt{2} \\
        -1 &amp; 1 &amp; 1 
    \end{pmatrix}
    \hspace{10mm}
    \text{og}
    \hspace{10mm}
    \V b =
    \begin{pmatrix}
        -1 \\
        0 \\
        -7 
    \end{pmatrix}
\]
Dersom vi ganger systemet $A\V x = \V b$ fra venstre med $A^T$,
fÃ¥r vi $A^TA\V x = A^T\V b$.
Men 
\[
    A^T A = 
    \begin{pmatrix}
        1 &amp; 0 &amp; -1  \\
        1 &amp; -\sqrt{2} &amp; 1 \\
        1 &amp; \sqrt{2} &amp; 1 
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        1 &amp; 1 &amp; 1  \\
        0 &amp; -\sqrt{2} &amp; \sqrt{2} \\
        -1 &amp; 1 &amp; 1 
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        2 &amp; 0 &amp; 0  \\
        0 &amp; 4 &amp; 0 \\
        0 &amp; 0 &amp; 4 
    \end{pmatrix}
\]
slik at 
\[
    \V x =     
    \begin{pmatrix}
        \frac{1}{2} &amp; 0 &amp; 0  \\
        0 &amp; \frac{1}{4} &amp; 0 \\
        0 &amp; 0 &amp; \frac{1}{4} 
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        1 &amp; 0 &amp; -1  \\
        1 &amp; -\sqrt{2} &amp; 1 \\
        1 &amp; \sqrt{2} &amp; 1 
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        -1 \\
        0 \\
        -7 
    \end{pmatrix}
\]
som er kjappere Ã¥ regne ut for hÃ¥nd enn gausseliminasjon. 
Ikke at du skal regne sÃ¥ mye for hÃ¥nd i ditt liv,
men artig lell. 
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{10}
    La de ortogonale vektorene hete $\V v_k$, 
    der $1\leq k\leq n$.
    Vi har 
    \[
        \V v_k^T \V v_l = 
        \begin{cases}
            \|\V v_k\|^2 &amp; k=l \\
            0 &amp; k\neq l
        \end{cases}    
    \]
    Vi mÃ¥ sjekke at likningen 
    \[
        \mathbf{0} = \sum_{k=1}^{n}c_k \V v_k  
    \]
    impliserer at $c_k = 0$ for alle $k$. 
    Men om vi tar skalarproduktet med $\V v_l$
    fÃ¥r vi 
    \[
        0 = \V v_l^T\mathbf{0} = 
        \V v_l^T\left( \sum_{k=1}^{n}c_k \V v_k \right) = 
        \sum_{k=1}^{n}c_k \V v_l^T\V v_k  = 
        c_l \V v_l^T \V v_l = c_l \|\V v_l\|^2.
    \]
    Siden $\V v_l$ ikke er nullvektoren,
    mÃ¥ $\|\V v_l\|^2 \neq 0$,
    og fÃ¸lgelig er $c_l=0$.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{11}
    Vi prikker med $\V v_l$,
    bruker ortogonaliteten,
    og fÃ¥r
    \[
        \V v_l^T\V x = 
        \V v_l^T\left( \sum_{k=1}^{n}c_k \V v_k \right) = 
        \sum_{k=1}^{n}c_k \V v_l^T\V v_k  = 
        c_l \V v_l^T \V v_l 
    \]
    som gir 
    \[
        c_l =\frac{\V v_l^T\V x}{\V v_l^T \V v_l } 
    \]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{13}
    Lett!
    projeksjonen av $\V z$ i planet utspent av $\V v_1$ og $\V v_2$ 
    \[
        \V z' =  \frac{\V v_1^T\V z}{\V v_1^T \V v_1 } \V v_1 
        +  \frac{\V v_2^T\V z}{\V v_2^T \V v_2 } \V v_2
    \]
    Skal du skjÃ¸nne hvorfor, 
    mÃ¥ du forstÃ¥ resonnement som kommer etter denne oppgaven i Ã¸kten. 
\end{oppgave}

 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1003651}
\end{center}

\begin{comment}
\section*{UKENS NÃ˜TTER}

\begin{oppgave}{1}
En generell projeksjonsmatrise $P$ er definert ved likningen 
\[
P=P^2
\]
Denne likningen sier at det ikke skjer noe nytt om man benytter projeksjonen for andre gang.
Vis at egenverdiene til $P$ kun kan vÃ¦re 0 eller 1.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
En generalisering av Pytagoras gjelder for ikkerettvinklede trekanter, 
og kalles \textbf{cosinussetningen}. 
Den sier at dersom vinkelen mellom beina med lengde $a$ og $b$ er $\theta$ istedet for $\pi/2$,
er
\[
a^2+b^2-2ab\cos \theta=c^2.
\]
Utled denne. 
\end{oppgave}



%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.21]{../figurer/L1007825-Pano}
%\end{center}



%husk parseval
\end{comment}
\end{document}

</pre></body></html>