\input{preamble}

\title{2 - 12 - SCHRÖDINGERLIKNINGEN - LF}

%isolert

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


Akkurat som for bølge- og varmelikningen,
er det slik at 
må være konstante.


\begin{oppgave}{2}
  $V$ er et energipotensiale, 
  og både 
  \[
    i\hbar\frac{\dot f(t)}{f(t)}
    \hspace{1.2cm} \text{og} \hspace{1.2cm}
    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(x)}{\psi(x)} + V(x)
  \]
  har benevning joule, 
  så separasjonskonstanten er energi, 
  derav $E$. 
  Kvantefysikkfolk er stort 
  sett opptatt av å finne $E$ i forskjellige situasjoner. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
  Siden den ene siden av likningen kun avhenger av $t$ og 
  den andre kun av $x$,
  må $E$ være konstant.
  Likningen
  \[
    i\hbar\frac{\dot f(t)}{f(t)} = E
  \]
  gir 
  \[
    i\hbar\dot f(t) = Ef(t)
  \]
  som løses av 
  \[
    f(t)=e^{-Eit/\hbar}.
  \]
  Resten av likningen 
  \[
    -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(x)}{\psi(x)} + V(x) = E
  \]
    gir  den tidsuavhengige schrödingerlikningen
  \[
    \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right)
    \psi=E\psi.
  \]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{4}
  Greit, så vi må løse likningen 
  \[
    \frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + E\psi = 0.
  \]
  At $E>0$ følger av randkravene og kravet om at
  $|\Psi|^2$ skal være en sannsynlighetstetthet.
  Dersom $E=0$ får får 
  \[
    \psi(x)= ax+b
  \]
  og dersom denne rette linjen skal tilfredsstille $\psi(0) = \psi(\pi) = 0$,
  må $a=b=0$,
  men da blir arealet under 
  $|\Psi|^2$ null, 
  og det kan vi ikke ha noe av. 
  Dersom $E<0$, 
  får vi 
  \[
    \psi(x)= 
    ae^{\sqrt{-2Em}x/\hbar}+
    be^{-\sqrt{-2Em}x/\hbar}.
  \]
  Skal dette tilfreddstille $\psi(0)=0$, 
  må $a=-b$, 
  og skal vi ha $\psi(\pi) = 0$,
  får vi 
  \[
    0= 
    a\left( e^{\sqrt{-2Em}x/\hbar}-e^{-\sqrt{-2Em}x/\hbar} \right) = 2a\cosh \left( \sqrt{-2Em}x/\hbar \right)
  \]
  Cosinushyperbolicusfunksjonen blir som kjent aldri null, 
  så da må $a=0$, 
  og slik får vi også nå ingen sannsynlighetstetthet. 
  Altså må $E>0$, 
  og vi får 
  \[
    \psi(x)= 
    a\sin \left( \sqrt{2Em}x/\hbar \right)
    +b\cos  \left( \sqrt{2Em}x/\hbar \right)
  \]
  Hvis vi nå bruker $\psi(0) = 0$, 
  får vi $b=0$,
  mens  $\psi(\pi) = 0$ gir 
  \[
    0= 
    a\sin \left( \sqrt{2Em}\pi/\hbar \right).
  \]
  Dette klarer vi fint på andre måter enn $a=0$;
  vi kan nemlig sette
  $\sqrt{2Em}\pi/\hbar$ til å være en heltallsmultippel av $\pi$,
  som gir
  \begin{align*}
    E_n = \frac{\hbar^2n^2}{2m}
  \end{align*}
  der $n$ er ovennevnte heltall.
  Dette er de berømte kvantiserte energinivåene, 
  og alt i alt har vi nå en uendelig familie av løsninger på formen 
  \[
    \Psi_n(x,t)=a_ne^{-E_nit/\hbar}\sin nx
    =
    a_ne^{-i\frac{\hbar}{2m}n^2t}\sin nx.
  \]
  Det som gjenstår er nå å sette $a_n$ slik at $|\Psi|^2$ blir
  en sannsynlighetstetthet. 
  Vi beregner
  \begin{align*}
  1 =& \int_0^\pi \left|\Psi(x,t)\right|^2\; dx \\
  =&
   \;\int_0^\pi \left|a_ne^{-E_nit/\hbar}\sin nx \right|^2\; dx \\
  =&
   \;|a_n|^2 \int_0^\pi \sin^2 nx\; dx \\
  =&
   \;|a_n|^2 \int_0^\pi \frac{1-\cos{2nx}}{2} \; dx = 
   \frac{\pi}{2}
   |a_n|^2 
  \end{align*}
  som gir 
  \begin{align*}
    a_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{i\theta}
  \end{align*}
  der $\theta$ er en ukjent kompleks faseforskyvning. 
  Denne ser det ut til at kvantefysikkfolk ikke bryr seg så mye om,
  så vi setter $\theta = 0$, 
  og får 
  \begin{align*}
    a_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}}
  \end{align*}
  som gir
  \[
    \Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-E_nit/\hbar}\sin nx
    =
    \sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-i\frac{\hbar}{2m}n^2t}\sin nx 
  \]
  Nå er det på sin plass å observere at dette er det samme vi får ved å løse varmelikningen 
  \begin{align*}
    \dot u = \alpha u''
  \end{align*}
  med $\alpha = \frac{i\hbar}{2m}$ og så normalisere istedet for å bruke initialkrav. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
  Vi beregner 
  \begin{align*}
    \langle \Psi_k|\Psi_n\rangle=&
    \frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^{E_kit/\hbar}\sin kx e^{-E_nit/\hbar}\sin nx\; dx\\[2mm] 
    =&
    \frac{2}{\pi}e^{\left( E_k-E_n \right)it/\hbar}\int_0^\pi \sin kx \sin nx\; dx
    =
    \begin{cases}
      1 & n = k \\
      0 & n \neq k \\
    \end{cases}
  \end{align*}
  \[
  \begin{cases}
    1 & k= n \\
    0 & k\neq n \\
  \end{cases}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
  Energi kan måles i lab, 
  altså må det være egenverdien til en hermittisk lineæroperator. 
  Hermittiske lineæroperatorer har reelle egenverdier, 
  og følgelig må alt som har benevning energi (i vårt tilfelle $V$ og $E$) 
  være reelle tall. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10-12}
  Du skal få slippe å kunne den kvanteharmoniske oscillatoren til eksamen i år. 
  Om du allikevel er interessert, 
  har Astrid gjort oppgavene her:
\end{oppgave}
  \hspace*{-15mm}\url{https://ntnu.cloud.panopto.eu/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=1cbef379-e0f2-4ba0-8661-b0f200efba55}
  \hspace*{-15mm}\url{https://ntnu.cloud.panopto.eu/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=86202190-1c63-42ba-b86d-b0f200efe9f1}
  

\end{document}
