\input{preamble}

\title{2 - 11 - FOURIEROMVENDING}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


Vi har lært at $T$-periodiske signaler stort sett alltid kan dekomponeres i overtoner:
\[
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i n \omega t}
\hspace{20mm}
%\text{der}
%\hspace{10mm}
c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-i n \omega t}\; dt
\hspace{20mm}
%\text{og}
%\hspace{10mm}
\omega = \frac{2\pi}{T}
\]
og vi har beregnet fourierkoeffisientene $c_n$ for noen teoretiske signaler.
Dersom $T=2\pi$
blir formlene mye penere:\footnote{Huskeregelen er \say{two pints per period} for $2\pi int/T$.}
\[
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i n t}
\hspace{20mm}
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t) e^{-i n t}\; dt.
\]
Siden all relevant informasjon om et $T$-periodisk 
signal finnes på intervallet $[-T/2,T/2]$,
er det irrelevant om vi tenker at vi skal finne fourierrekken 
til det periodiske signalet $x:\mathbb R \to \mathbb R$ 
eller funksjonen $x:[-T/2,T/2]\to \mathbb R$. 
Fourierkoeffisientene $c_n$ bygges fra informasjon om $x$ på $[-T/2,T/2]$,
og fourierekken vil uansett ha grunnperiode $T$ og repetere seg selv utenfor 
intervallet $[-T/2,T/2]$.


Men det er nå en liten catch. 
Et periodisk signal finnes ikke i virkeligheten;
alle signaler dør ut på  \\[1mm]
\begin{minipage}{100mm}
et eller annet tidpsunkt.
Her er for eksempel bølgeformen til en enkelt G13-akkord 
på min gibson es-175 som jeg kjøpte når jeg var stipendiat.
Dette lydsignalet er nok \say{omtrent} periodisk
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{flushleft}
\includegraphics[scale=.44]{../figurer/g-13}
\end{flushleft}
\end{minipage}

\vspace{-3mm}
 om du virkelig 
zoomer inn og ser på tre-fire perioder etter hverandre,
men det bør være klart at et periodisk signal kun er en abstraksjon. 
La oss nå se litt på hvordan vi finner \say{fourierrekken}
til et ikke-periodisk signal.


\begin{oppgave}{1}
Finn fourierrekken til $y: [-T/2,T/2]\to \mathbb{C}$
\[
y(t)=
\begin{cases}
1 \quad & |t|\leq1 \\
0 \quad & |t|>1 \\
\end{cases}
\]
for alle $T>2$,
og plot $y$ og noen partialsummer på $[-T,T]$ for noen verdier av $T$. 
\end{oppgave}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{../figurer/M1007685}
\end{center}

\clearpage

La oss nå si at du ønsker å finne fourierrekken til for eksempel $x: \mathbb R \to \mathbb{C}$ gitt ved
\[
x(t)=
\begin{cases}
1 \quad & |t|\leq1 \\
0 \quad & |t|>1 \\
\end{cases}
\]
eller et annet signal som er \textbf{tidsbegrenset},
altså at det starter og stopper et eller annet sted på tidsaksen.
Er det mulig å skrive en slik realistisk faenskap som en fourierrekke?
La oss prøve. 
Kanskje vi kan ta fourierrekken til $y$ i oppgaven 1, 
og så la $T\to \infty$?
Vi vet at
\[
y(t)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i n \omega t}
\]
der
\[
c_n\left(T \,\right) =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} y(t) e^{-i n \omega t} dt
\]
La oss sette denne inn i fourierrekken:
\[
y(t) \sim 
\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{T} 
\int_{-T/2}^{T/2} y(s) e^{-i n \omega s} ds \;e^{i n \omega t}
\]
og gange og dele med $2\pi$:
\[
y(t) \sim 
\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty \int_{-T/2}^{T/2} 
y(s) e^{-i n \omega s} ds \; e^{i n \omega t} \omega
\]
Den ytterste summen kan nå tolkes som en riemannsum der gitteravstanden er $\omega$
og gitterpunktene $n\omega$. 
Når $T\to \infty$ går gitteravstanden mot null, 
og dersom det er rettferdighet i verden, 
går $y\to x$ og summen mot et integral fra uendelig til uendelig:
\[
x(t) \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(s) e^{-i\omega s} ds \; e^{i\omega t} d\omega
\]
Det innerste integralet kalles \textbf{fourieromvendingen} eller \textbf{frekvensinnholdet} til $x$, og skrives
\[
\hat x(\omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i\omega t} \;dt 
\]
Dette kan du tenke på som fourierkoeffisientene til signalet $x$, 
men siden signalet ikke er periodisk, 
trenger du mange mange mange flere frekvenser, 
og derfor blir
\[
x(t) \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat x(\omega) e^{i\omega t} d\omega
\]
et integral istedet for en uendelig sum, 
slik vi er vant til når signalet er periodisk.
Det siste integralet kalles \textbf{inversomvendingen} eller \textbf{rekonstruksjonen}.

\begin{oppgave}{2}
	Dette er en heuristisk utledning som ikke er spesifikk for $x$ øverst på siden,
	men generell. 
	Dette er det så og si ingen som ville kommet på av seg selv, 
	så jeg kan komme til å spørre om den på eksamen. 
	Jeg vet dessverre ikke om noen enklere måte å motivere fourieromvending på. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019896}
\end{center}


%Hvis man er i det mer offensive humøret,
%kan man tenke på dette på en mer ikkematematisk måte. 
%La oss se litt mer på diracpulsen.


\clearpage

Vi skriver også
\[
\hat x(\omega)= \mathcal{F}\left( x \right)  = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega t}\;dt
\]
for å understreke at fourieromvendingen er en operator som tar inn et signal og gir ut et annet.
Det går an å føre et stringent bevis for at dersom $x$ er et tilstrekkelig pent signal,
er
\[
x(t) = \mathcal F^{-1}\left(\hat x\right)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat x(\omega)e^{i\omega t}d\omega,
\]
men det er litt for hardt for oss. 
\footnote{Les Elias Stein og Rami Shakarchis klassiker \say{Fourier Analysis} om du lurer på dette. Den finnes på nett.}
Fourieromvending er ganske vanskelig å skjønne noe av i begynnelsen,
men dersom du er komfortabel med fourierrekker og lineære systemer, 
er du nok godt rustet.
Fourieromvending er helt ekstremt viktig i både matematikk og i et spektakulært utvalg forskjellige anvendelser:
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform}\\
La oss nå regne ut et par omvendinger. 
Finn fourieromvendingen til 

\begin{oppgave}{9}
$x: \mathbb R \to \mathbb{C}$ gitt ved
\[
x(t)=
\begin{cases}
1 \quad & |t|\leq1 \\
0 \quad & |t|>1 \\
\end{cases}
\]
(Sammenlikne med oppgave 2.)
\end{oppgave}

\vspace{4mm}

\begin{minipage}{60mm}
\begin{oppgave}{10}
$
f(t)=
\begin{cases} 
a \quad |t|<1/2a \\
0 \quad |t|\geq 1/2a
\end{cases}
$\\
Hva skjer  når $a\to \infty$?
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{100mm}
\begin{oppgave}{11}
$
x(t)=
\begin{cases}
&\pi - |t| \qquad |t| \leq \pi\\
&0 \qquad \qquad \; \pi<|t|
\end{cases}
$\\
(Hint: lettest om du skriver $e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$.)
\end{oppgave}
\end{minipage}

\vspace{4mm}

\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{12}
$\delta(t)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{13}
$f(t)=e^{-a|t|}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{14}
$
f(t)=\frac{1}{t^2+a^2}
$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{15}
$
f(t)=\frac{\sin t}{t}
$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\vspace{4mm}

Notasjonen $X(\omega)$ istedet for $\hat x(\omega)$ er innarbeidet i noen miljøer,
men er riktigere å skrive $X(i\omega)$.

\begin{oppgave}{16}
Hvorfor det? 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1019457}
\end{center}



Stemmer, 
fourieromvending er bare dobbeltsidig laplacetransform
\[
X(s)  =\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\;dt
\]
evaluert i $s=i\omega$. 
Av den grunn er det vanlig å skrive 
\[
s=\sigma + i\omega
\]
i laplacetransform,
og jeg kommer derfor av prinsipp til å skrive $\hat x(\omega)$ eller $X(i\omega)$ og ikke $X(\omega)$.
Den store forskjellen på fourier- og laplacomvending 
er hva du putter inn og hva det brukes til. 
Vi laplaceomvender stort sett bare signaler på formen 
\[
x(t)=
\begin{cases}
f(t)\hspace{10mm} &t\geq 0 \\
0\hspace{10mm} &t < 0 
\end{cases}
\]
og derfor skrives laplacetransform som regel 
\[
X(s)  =\int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st}\;dt.
\]
siden dette er underforstått.
Vi fourieromvender derimot signaler som kan være forskjellig fra 0 overalt,
men du kan ikke putte inn hva som helst.
Et signal fra den virkelige verden må både starte og stoppe, 
og derfor er det naturlig å kreve at 
\[
\lim_{t\to \pm \infty}x(t)=0
\]
for alle signaler du kommer til fourieromvende. 
Dersom vi skal være helt trygge på at
\[
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat x(\omega)e^{i\omega t}d\omega
=
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(i\omega)e^{i\omega t}d\omega
\]
bør $x$ være glatt og 
\[
\sup_{t \in \mathbb{R}}|t|^k\left|\frac{d^n}{dt^n}x(t)\right| < \infty
\]
for alle $k$ og $n$.
Funksjoner som tilfredsstiller dette kravet, 
utgjør et uendeligdimensjonalt vektorrom som kalles Schwartzrommet. 
Det går an å slakke på dette kravet, 
men da må alt baseres på en mer komplisert integrasjonsteori oppfunnet av Henri Lebesgue tidlig i det tyvende århundre. 
Vi har allerede fourieromvendt funksjoner som ikke tilhører Schwartzrommet. 
Det går nok bra.

Siden fourier er i slekt med laplace, 
er regnereglene like, 
men noen av dem blir litt annerledes siden vi putter inn signaler som
går mot null når $t\to \pm \infty$.
Prøv å utlede at 

\begin{minipage}{28mm}
\begin{oppgave}{17}
$\widehat{\dot{x}}=iw\hat x$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{44mm}
\begin{oppgave}{18}
$\widehat{x(t-\theta)}=e^{i\omega\theta}\hat x$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{47mm}
\begin{oppgave}{19}
$\widehat {e^{i\theta t} x(t)}=\hat x \left(\omega-\theta\right)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\begin{oppgave}{20}
$\widehat{x(at)}=\frac{1}{|a|}\hat x\left(\frac{\omega}{a}\right)$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.32]{../figurer/img20211104_11540873}
\end{center}

I sannsynlighetsregningen kalles laplacetransform for 
\textbf{momentgenererende funksjon},
mens invers fourieromvending kalles \textbf{karakteristisk funksjon}. 

\begin{oppgave}{21}
Finn fourieromvending og karakteristisk funksjon til normalfordelingen.\\
(Hint: Begynn med standardnormalfordelingen. Du må nesten vite at 
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\; dt = 1.
\]
Dette skal vi regne ut i neste semester.)
\end{oppgave}


Nå skal vi ta et gjensyn med Balchens foldingstriks
\[
x(t) = x(0)e^{-at} + \int_0^t f(s)e^{-a(t-s)}\; ds
\]
som løser initialverdiproblemet
$\dot x + ax = f$, $x(0)=x_0$.
Integralet på høyresiden dukker til stadighet opp i studiet av LTI-systemer
og det kalles \textbf{folding} eller \textbf{konvolusjon}.
Det er et slags produkt mellom funksjoner,
og den generelle definisjonen er 
\[
x \ast y = \int_{-\infty}^\infty x(s)y(t-s)\; ds.
\]
For signaler som er 0 når $t<0$ reduserer konvolusjonen til
\[
x \ast y = \int_{0}^t x(s)y(t-s)\; ds
\]
og derfor vil konvolusjon ofte være definert slik i et typisk 
kapittel om laplacetransform i en typisk lærebok i ingeniørmatematikk.
For å få en følelse av hva konvolusjon er, 
er det faktisk lurt å begynne med litt sannsynlighetsregning.
La oss kaste to terninger.

\begin{oppgave}{22}
Finn sannsynlighetsfordelingen til $Z= \{\text{summen av antall øyne på to terninger}\}$.
\end{oppgave}

Inspirert av dette kan vi gå litt videre. 
Anta at du har to uavhengige stokastiske variable $X$ og $Y$
med sannsynlighetstettheter $f(x)$ og $g(y)$. 

\begin{oppgave}{23}
Hva er sannsynlighetstettheten til $Z = X+Y$?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.35]{../figurer/3N5F6728}
\end{center}

Dersom $X$ tar verdien $v$ og $Y$ tar verdien $z-v$, 
tar $X+Y$ verdien $z$.
Med andre ord kan $X+Y$ ta verdien $z$ på mange forskjellige måter, 
og for å finne sannsynlighetstettheten til $X+Y$
må vi derfor summere opp bidraget fra alle alle måtene dette kan skje på, 
altså alle sannsynligheter på formen ${f(v)g(z-v)}$.
Men dette er jo innmaten i konvolusjonsoperatoren!
Sannsynlighetstettheten $h(z)$ til $X+Y$ blir derfor
\[
h(z)=f \ast g = \int_{-\infty}^{\infty} f(v) g(z-v)\; dv. 
\]

Det som gjør konvolusjon så praktisk i forhold til lineær systemteori,
kalles konvolusjonsteoremet.
Vi bruker varablelskiftet $u=t-v$, $v=v$, og beregner
\begin{align*}
\widehat{x \ast y} &= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(t-v)\; dv\;e^{-i\omega t}\; dt 
=\int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(t-v)\; e^{-i\omega t}\; dv\; dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(u)\; e^{-i\omega (u+v)}\; dv\; du 
= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(v)\; e^{-i\omega v}\; dv \;y(u) e^{-i\omega u}\; du \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} x(v)\; e^{-i\omega v}\; dv \int_{-\infty}^{\infty}  y(u) e^{-i\omega u}\;du = \hat x  \hat y
\end{align*}

\begin{oppgave}{24}
Kommer på eksamen det her.
\end{oppgave}

En liknende beregning gir \textbf{Plancherels identitet}
\begin{align*}
	\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\overline{y(t)}\; dt = 
	\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{x}(\omega)\overline{\hat y(\omega)}\; d\omega
\end{align*}
som er analog til Parseval.
Denne får vi bruk for til noen småting kommende uke, 
når vi skal fikle med litt kvantefysikk.
I likhet med Parseval er det ikke uvanlig å skrive opp spesialtilfellet
\begin{align*}
	\int_{-\infty}^{\infty} \|x(t)\|^2\; dt = 
	\frac{1}{2\pi}
	\int_{-\infty}^{\infty} \|\hat{x}(\omega)\|^2\; d\omega. 
\end{align*}

\begin{oppgave}{25}
Beviset er i bunn og grunn identisk med utledningen av Parseval.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1019135}
\end{center}

\clearpage 

Konvolusjonsteoremet gjelder for laplacetransform og, 
men utledningen er bittelitt annerledes siden signalene er 0 for $t<0$. 

\begin{oppgave}{26}
	Løs $\ddot x(t) + x(t) = \sin t$ med $x(0) = \dot x(0) = 0$.
\end{oppgave}

La oss avslutte med en litt heuristisk utgreining. 
La oss si at vi har løst systemet
\[
Lx=f \hspace{10mm} x(0)=0
\]
med laplacetransform og fått
\[
X(s)=H(s)F(s).
\] 
Konvolusjonsteoremet gir nå at 
\[
x=h \ast f
\]
så hvis vi kunne finne ut hvilket signal som har laplacetransform $H$, 
så er det bare å skrive opp løsningen $x$. 
Men dersom vi løser
\[
Lx=\delta
\]
med omvending får vi 
\[
X=H(s)\mathcal{L}(\delta) = H(s)
\]
så impulsresponsen er visst det ukjente signalet vårt. 

Dette er forklaringen på at impulsresponsen har fått bokstaven $h$;
det er det signalet som har laplacetransform $H$.
Diracpulsen er et viktig verktøy i signalbehandling,
for den er et signal som inneholder \say{like mye av alle frekvenskomponenter}. 
Det sies at Asbjørn Krogstad (legendarisk professor i akustikk på NTH) tok med seg 
startpistol og fyrte av et skudd inne i Nidarosdomen i forbindelse 
med et oppdrag der han skulle analysere akustikken i rommet. 
Jeg har en kamerat som heter Elsys Torjus og han klapper i 
mikrofonen når han skal teste filtrene han har skrevet. 
På elektroingeniørfolkemunne 
(der det kan være et litt diffust skille mellom laplace- og fourieromvending)
sier man gjerne at 

\begin{tcolorbox}	
Fourieromvendingen til impulsresponsen det samme som frekvensresponsen til systemet.
\end{tcolorbox}



\begin{oppgave}{27}
	Hvis du synes det var litt kjekt med diracpulsen og sånt, 
	kan du prøve å beregne 
	\[
		\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\; d\omega.
	\]
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1019045}
\end{center}

\clearpage









\section*{UKENS NØTTER}


\begin{oppgave}{1}
En amerikaner står og koser seg med å perforere en uendelig lang låvevegg
med maskingeværet sitt.
Han er ganske full og har det kjempekjekt,
og løpet peker i tilfeldige og uniformt fordelte vinkler mellom $\theta=-\pi/2$ og $\theta=\pi/2$.
(Når $\theta=0$ er løpet ortogonalt på veggen).
Finn sannsynlighetstettheten og den tilhørende karakteristiske funksjonen til treffpunktet $x$ på veggen.
Du finner LF på side 154 i Hardle og Simar:\\
\url{https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-26006-4}
\end{oppgave}








\begin{oppgave}{2}
	Fourieromvending er et viktig verktøy for å analysere frekvensinnholdet i signaler. 
	Men de fleste gamle NTH-ere husker det fra studietiden som en unødvendig
	knotete og vanskelig teknikk for å løse noen typer differensiallikninger. 
	Fourieromvend varmelikningen med hensyn på $x$ og bruk 
	$
	u(x,0)=f(x) 
	$
	til å forklare at (jeg har satt $\alpha = 1$ for å være grei)
	\[
	u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)e^{\frac{-(x-v)^2}{4t}}\;dv.
	\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
	La $x, y \in \mathbb C^n$.
	I diskret signalbehandling skriver de
	\[
	(x,y)=\sum_{k=0}^{N-1} 
	x(k)
	\overline{y(k)}
	\]
	som er det vanlige komplekse skalarproduktet,
	men med motsatt vei, 
	slik at det er lineært i første og ikke andre faktor. 
	Vis at 
	dersom
	\[
	X_n=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) e^{-2\pi i nk/N}
	\qquad
	\text{er}
	\qquad
	x(k)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} X_n e^{2\pi i nk/N}.
	\]
	Vektoren $X_n$ kalles den \textbf{diskrete fourieromvendingen} til $x$.
\end{oppgave}
	
\begin{oppgave}{4}
Sett $c_n=1$ for alle $n$ og plott partialsummene til den resulterende fourierrekken. 
Hva ser du?
\end{oppgave}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1019460}
\end{center}

\clearpage		

Dette semesteret har vi vært borti egenverdier 
og egenvektorer i forbindelse med LTI-systemer.
Egenvektoren til differensialoperatoren 
\[
\frac{d}{dt}
\]
er eksponensialfunksjonen $x(t)=e^{at}$.
Venstresiden i et LTI-system, slik som 
\[
\ddot x + 2\dot x + 2x
\]
er en lineærkombinasjon av differensialoperatorer,
og derfor er i retrospekt ikke så overraskende at 
eksponensialfunksjonen er lett å jobbe med;
egenvektorene er jo fremdeles $x(t)=e^{at}$,
men de korresponderende egenverdiene avhenger av differensialoperatoren.

\begin{oppgave}{5}
I høst brukte vi dette til å finne naturlig respons. 
Hvilken egenverdi korresponderer dette til?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
I januar fant vi frekvensresponsen. 
Hvilken egenverdi korresponderer dette til?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Hvis du tenker på konvolusjon med signalet $x$ som en lineæroperator
som tar inn et signal $y$:
\[
L(y)=x\ast y=
\int_{-\infty}^\infty
x(u)y(t-u)\; dt
\]
er funksjonen 
\[
g(s,t)=e^{st}
\]
er egenvektor til denne operatoren. 
Hva er egenverdien? 
\end{oppgave} 

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.4]{../figurer/L1019709}
\end{center}



\end{document}
