\input{preamble}

\title{2 - 10 - KOMPLEKSE INDREPRODUKTROM}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}






\maketitle

Transponeringsoperasjonen bytter om på rader og kolonner i en matrise.
Dersom tallene i matrisen er komplekse,
viser det seg at det er lurt å komplekskonjugere alt i tillegg til å transponere.  
La
\[
A =
\left(\;\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{matrix}\;\right).
\]
Den \textbf{adjungerte}\footnote{
    Ikke forveksle med \textbf{adjugatet}, 
    som er noe annet. 
    Jeg har møtt store vitenskapsmenn (over 187 på sokkelesten) som blander sammen disse to fordi navnene er så like. 
} 
av~$A$ er
$n \times m$-matrisen
\[
A^* =
\left(\;\begin{matrix}
\overline{a_{11}} & \overline{a_{21}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\
a\overline{_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & \overline{a_{m2}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a\overline{_{1n}} & \overline{a_{2n}} & \cdots & \overline{a_{mn}}
\end{matrix}\;\right).
\]

\begin{oppgave}{1}
Finn den adjungerte til 
$
\displaystyle
\begin{pmatrix}
1+i & 1-i \\
2 & -i \\
2-i & 1+i 
\end{pmatrix}
$.
\end{oppgave}

Merk at nå har vi en ny notasjon for $\overline z$, nemlig $z^*$. 
Du lurer sikkert på hvorfor vi komplekskonjugerer i tillegg til å transponere.  
Det er fordi
de kartesiske koordinatene til $z^* w$ har en mer interessant
geometrisk tolking enn de kartesiske koordinatene til $zw$. 


\begin{oppgave}{2}
La $z$ og $w$ være komplekse tall, 
med $|w|=1$. 
Tegn dem inn i det komplekse planet, 
skriv det komplekse tallet
\[
w^*z
\]
på kartesisk form,
og se veldig nøye på resultatet. 
Ser du noen projeksjoner?\\
(Hint: Dette er en slags kompleks mashup av oppgave 3 og 6 i økt 2 - 4.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1000751}
\end{center}

Siden $\overline z w$ inneholder informasjon om 
projeksjonen av $w$ på $z$,
og lengden av et komplekst tall er
\[
|z|=\sqrt{z^* z},
\]
definerer vi \textbf{det komplekse skalarproduktet}
mellom komplekse kolonnevektorer $\V z$ og $\V w$ 
som 
\[
\mathbf z^* \mathbf w = 
\begin{pmatrix}
\overline z_1&
\overline z_2&
\cdots&
\overline z_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 w_1\\
 w_2\\
\vdots\\
 w_n
\end{pmatrix}
=
\overline z_1 w_1 + \overline z_2 w_2 + \cdots +\overline z_n w_n
\]
Vi sier at vektorer i  $\mathbb C^n$ er 
ortogonale dersom det komplekse skalarproduktet mellom dem er null,
og lengden til en kompleks vektor $\V z$ defineres som
\[
\|\V z\|=
\sqrt{\mathbf z^*  \mathbf z }
\]

Det komplekse skalarproduktet er noe mer
kompliserte å forholde seg til enn det reelle.
Den første forskjellen er at Pytagoras' setning
kun har enveis implikasjon:

\begin{minipage}{30mm}
\includegraphics[scale=.05]{../figurer/L1030108-5}
\end{minipage}
\begin{minipage}{107mm}
hvis $\V z$ og $\V w$ er ortogonale, er
$
\|\V z+\V w\|^2=\|\V z\|^2+\|\V w\|^2
$
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\includegraphics[scale=.05]{../figurer/L1030108}
\end{minipage}

Beregningen 
\[
\|\V z+\V w \|^2=(\V z+\V w)\cdot(\V z+\V w) =\|\V z\|^2 +\V z^*\V w+\V w^*\V z+\|\V w\|^2.
\]
er fremdeles gyldig,
men siden vi ikke uten videre kan bytte plass 
på faktorene i det komplekse skalarproduktet,
kan vi ikke slå sammen de to midterste leddene,
og disse kan kansellere på andre måter enn at $\V z$ og $\V w$ er ortogonale.

\begin{oppgave}{3}
Finn et eksempel på $\V z$ og $\V w$ slik at 
\[
\V z^*\V w+\V w^*\V z = 0
\]
uten at $\V z^*\V w=0$.
\end{oppgave}

Dersom $\V z^* \V w=0$ er også $\V w^* \V z=0$,

\begin{oppgave}{4}
vis dette
\end{oppgave}

og dette betyr at dersom $\V z^* \V w=0$, får vi
\[
\|\V z+\V w\|^2=\|\V z\|^2+\|\V w\|^2.
\]

\begin{oppgave}{5}
Denne kommer på eksamen.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.26]{../figurer/L1000834}
\end{center}


Cauchy-Schwarz og trekantulikheten gjelder 
også i det komplekse tilfellet,
men jeg skal ikke plage deg med bevisene.
Det jeg derimot må plage deg med,
er 
\[
x(t)=
\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
c_n = 
\frac{1}{2\pi} 
\int_{-\pi}^\pi x(t) e^{-int}\; dt 
\]
Du lurte forhåpentligvis på hvor minusen i eksponensialfunksjonen kom fra. 
Forhåpentligvis skjønner du også nå at formelen for fourierkoeffisientene $c_n$ 
er et indreprodukt, 
men den er altså et \textbf{komplekst indreprodukt}.
Her er aksiomene. 
Et komplekst indreproduktet er konjugert symmetrisk:
\[
(\V z, \V w)=\overline{(\V w, \V z)}
\]
positivt definitt:
\[
(\V z, \V z)>0 \quad \text{dersom} \quad   \V z\neq \V 0,
\]
og lineært i enten første eller andre faktor,
altså enten 
\begin{align*}
(a\V z+b\V v,\V w )= a (\V z, \V w)+ b (\V v, \V w) 
\qquad \text{eller} \qquad 
(\V z,a\V v+b\V w )=a(\V z, \V v)+b(\V z, \V w) 
\end{align*}

\begin{oppgave}{6}
Sjekk at det komplekse skalarproduktet er et indreprodukt,
lineært i andre faktor.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Sjekk at 
\[
(x,y)=\int_{-\pi}^{\pi}x(t)\overline{y(t)}\; dt
\]
er det indreprodukt,
lineært i første faktor.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Sjekk at dersom et komplekst indreprodukt er 
lineært i den ene faktoren,
er det \textbf{antilineært} i den andre. 
Altså at dersom for eksempel
\begin{align*}
(a\V z+b\V v,\V w )= a (\V z, \V w)+ b (\V v, \V w) 
\qquad \text{er} \qquad 
(\V z,a\V v+b\V w )=\overline a(\V z, \V v)+\overline b(\V z, \V w) 
\end{align*}
\end{oppgave}


Tidligere i ditt liv har du \say{utledet} koeffisentene 
\[
c_n = 
\frac{1}{2\pi} 
\int_{-\pi}^\pi x(t) e^{-int}\; dt \\[3mm]
\]
ved å observere at de komplekse eksponensialfunksjonene er ortogonale,
og så bruke semesterets store generiske argument.  

\begin{oppgave}{9}
Nå er det antagelig lurt å gjøre dette resonnementet på nytt,
for det er viktig, og kan komme på eksamen.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1000691}
\end{center}

Ved første øyekast virker det kronglete med
ubestemmeligheten angående hvorvidt indreproduktet skal være
lineært i første eller andre faktor. 
Men det finnes mange indreprodukter,
og i forskjellige fagfelt opererer man med forskjellige konvensjoner,
så det er like greit å venne seg til begge varianter.
Komplekse vektorer kan være ortonormale på samme måte som reelle vektorer,
men en matrise med ortonormale kolonner kalles \textbf{unitær},
ikke ortogonal.

\begin{oppgave}{10}
Vis at for en unitær matrise $Q$ er 
\[
Q^*Q=I=QQ^*
\]
og sjekk at denne matrisen er unitær:
\[
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1 \\
1&-i&-1&i \\
1&-1&1& -1\\
1&i&-1& -i
\end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

Det er et viktig tilfelle der egenvektorer automatisk er ortogonale.
De tre neste oppgavene leder frem til dette.
En kompleks matrise er \textbf{hermittisk} dersom $A=A^*$. 
\footnote{Men man kunne like gjerne sagt \say{symmetrisk}.
Det er ingen som noensinne transponerer en kompleks matrise uten å komplekskonjugere innmaten.}

\begin{oppgave}{11}
    Er matrisen over hermittisk?
\end{oppgave}

Uttrykket
\[
\V x^* A \V x
\]
kalles en \textbf{kvadratisk form}. 
Disse ser ikke så spennende ut, 
men dukker stadig opp i anvendelser, 
for eksempel i statistikk. 

\begin{oppgave}{12}
Vis at dersom  $A$ er hermittisk, er
$
\V x^* A \V x
$
reell.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{13}
Vis at en hermittisk matrise har reelle egenverdier.\\
(Hint: La $\V v$ være en normalisert egenvektor og se på $\V v^* A \V v$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
Vis at egenvektorene til to distinkte egenverdier er ortogonale for hermittiske matriser.
\end{oppgave}

%husk motivasjon av adjungert via abstrakt def av transponert operator

Dersom $T$ er en abstrakt lineæroperator og $(\cdot,\cdot)$ er et komplekst indreprodukt,
defineres den \textbf{adjungerte operatoren} $T^*$ som noe som tilfredsstiller
\[
(x,Ty)=(T^*x,y),
\]
og en hermittisk operator som noe som tilfredsstiller
\[
(x,Ty)=(Tx,y).
\]
Dette er kvantefysikk.
Den kvadratiske formen $(x,Tx)$ kalles \textbf{forventningen} til $T$ i 
tilstanden $x$.


\begin{oppgave}{15}
    Jeg vet ikke hvordan du gjorde 
    oppgave 12-14 over,
    men om du skrev ut alt på komponentform, 
    kan du prøve å ta 
    tar utgangspunkt i abstrakte indreprodukter 
    og hermittiske lineæroperatorer istedet.
    Det blir mye enklere.\\
    (Hint: Ta utgangspunkt i likningen 
    \[
        Tx=\lambda x
    \]
    og ta indreproduktet med $x$ og bruk at $T=T^*$ samt det andre aksiomet for indreprodukt.)
\end{oppgave}

\clearpage

Parsevals sats gjelder også i komplekse indreproduktrom,
og beviset er så og si identisk.

\begin{oppgave}{16}
Vis at dersom $\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots, \mathbf v_n\}$ 
er en ortonormal vektormengde og
\[
\mathbf z = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf v_k 
\hspace{10mm}
\text{er}
\hspace{10mm}
(\mathbf z, \mathbf z)=\sum_{k=1}^n |c_k|^2=\sum_{k=1}^n c_k\overline{c_k}.
\]
\end{oppgave}

Faktisk kan vi klare enda bedre:

\begin{oppgave}{17}
Vis at dersom $\{\mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots, \mathbf v_n\}$ 
er en ortonormal vektormengde og
\[
\mathbf z = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf v_k 
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\mathbf w = \sum_{k=1}^n d_k \mathbf v_k 
\hspace{10mm}
\text{er}
\hspace{10mm}
(\mathbf z, \mathbf w)=\sum_{k=1}^n c_k\overline{d_k}.
\]
\end{oppgave}

Parsevals sats gjelder også for fourierrekker,
men akkurat som for utledningen av formelen for koeffisientene,
må vi nøye oss med heuristisk utledning. 
Den er basert på samme triks som i oppgave 16, 
men vi må gjøre noen bytter av uendelig sum og integraltegn som vi strengt tatt
ikke vet om går bra, 
og derfor skal vi nøye oss med selve resultatet. 
Dersom et signal kan skrives 
\[
x(t)=
\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{2\pi int/T}\\[3mm]
\hspace{10mm}
\text{med}
\hspace{10mm}
c_n = 
\frac{1}{T} 
\int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-2\pi int/T}\; dt
\]
er 
\[
\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x^2(t)\; dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2 
\]
Vi trenger faktisk ikke noe mer enn at $x$ er riemannintegrerbar
for at dette skal være sant.

\begin{oppgave}{18}
    Jeg kunne bedt deg skrive ut detaljene i resonnementet,
    men det blir på en måte litt teit, 
    for det hadde blitt å gjøre oppgave 16 om igjen, 
    bare med $\infty$ istedet for $n$ oppå summen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1000585}
\end{center}

\clearpage








\section*{UKENS NØTTER}


Ekte mannfolk bruker kvaternioner når de skal holde styr på rotasjoner:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation}\\
og dette er standardmåten å gjøre det på i moderne robotstyringsalgoritmer.
Dersom du ønsker å rotere $x \in \mathbb R^3$ om $y$ der $\|y\|=1$,
kan du lage 
\[
x=x_1i+x_2j+x_3k
\]
og
\[
y=\cos \left(\frac{\theta}{ 2}\right) +  \left(y_1i+y_2j+y_3k\right) \sin \left(\frac{\theta}{ 2}\right)
\]
og beregne
$yxy^{-1}$;
imaginærdelene til denne gir deg den roterte vektoren. 



\begin{oppgave}{1}
Vis dette. \\
(Brett opp ermene og regn i vei. Tok meg om lag en uke, 
men jeg er heller ikke spesielt smart.)
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.28]{../figurer/Image0026}\end{center}







\end{document}
