\input{preamble}

\title{1 - 8 - LINEÆRALGEBRA III}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle



Velkommen til den tørreste uken i semesteret.
Når vi balanserte reaksjonslikningen 
\[
x_1\ce{NO}+x_2\ce{O2} \to x_3\ce{NO2}
\]
endte vi opp med det lineære systemet
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & -1 \\
		1 & 2 & -2
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3
	\end{pmatrix}
	&= 
	\begin{pmatrix}
		0 \\
		0
	\end{pmatrix}.
\end{align*}
Løsningene kalles nullrommet til matrisen, 
og består av alle vektorer på formen
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3
	\end{pmatrix}
	&=
	s  
	\begin{pmatrix}
		2 \\
		1 \\
		2
	\end{pmatrix}
\end{align*}
der $s$ er en vilkårlig konstant. 
Når vi analyserte C-14-metoden,
løste vi differensiallikningen
\begin{align*}
	\dot x(t) + \lambda x(t) = 0.
\end{align*}
Løsningene til denne 
er nullrommet til differensialoperatoren
\begin{align*}
	D(x) =  \left( \frac{d}{dt} + \lambda \right)x = \dot x + \lambda x 
\end{align*}
og gitt ved alle funksjoner
\begin{align*}
	x(t) = ce^{-\lambda t}
\end{align*}
der $c$ en vilkårlig konstant. 
Løsningene til 
\begin{align*}
	\dot \V x = A\V x
\end{align*}
er nullrommet til differensialoperatoren 
\begin{align*}
	D(\V x) = \left( \frac{d}{dt} - A \right) \V x
\end{align*}
og gitt ved alle funksjoner på formen 
\begin{align*}
	\V x(t) 
	=
	a_1
	e^{(-3-\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1-\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right)
	+
	a_2e^{(-3+\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1+\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
Disse tre problemene er forskjellige, 
men har to viktige fellestrekk. 
Det ene likhetstrekket er at begge problemene er \textbf{lineære},\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map}
}
og det andre er at 
mengden av alle løsninger danner et 
\textbf{vektorrom}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space}
}




\clearpage

Det finnes aksiomer for vektorrom. 
Disse er ikke så viktige for en ingeniør, 
men du finner dem i ukens nøtter om du er interessert. 
De fleste av dem handler om å formalisere reglene for vektorregning.
Hvis du er en litt folkelig type, 
kan du tenke på et vektorrom som 
\begin{center}
	\textit{Alle lineærkombinasjoner av en vektormengde.}
\end{center}
Dersom vektorene i vektormengden er lineært uavhengige, 
kalles de en \textbf{basis}, 
og dersom basisen inneholder $n$ vektorer sier 
vi at vektorrommet er $n$-\textbf{dimensjonalt}. 
\begin{comment}
Vektorene 
\begin{align*}
	\{\V v_1, \V v_2 \dots \V v_n\}
\end{align*}
er lineært uavhengige dersom
\[
c_1\V v_1+c_2\V v_2 +\cdots +c_n\V v_n=\V 0
\hspace*{10mm}
\text{impliserer}
\hspace*{10mm}
c_1=c_2=\cdots=c_n= 0.
\]
\end{comment}
For eksempel er det todimensjonale vektorrommet $\mathbb{R}^2$ 
mengden av alle lineærkombinasjoner på formen
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2
	\end{pmatrix}
	=
	x_1
	\begin{pmatrix}
	1 \\
	0
	\end{pmatrix}
	+x_2
	\begin{pmatrix}
	0 \\
	1 
	\end{pmatrix}.
\end{align*}
Vektormengden 
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\]
kalles \textbf{standardbasisen},
mens vektormengden
\[
\left\{
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\right\}
\]
er en basis for $\mathbb R^2$ som ikke har noe spesielt navn. 
Det finnes alltid mange basiser, 
og det går an å vise at to basiser for ett og 
samme vektorrom må ha like mange elementer. 

\begin{oppgave}{1}
	Hvordan ser vi at vektormengdene over er basiser for $\mathbb{R}^2$?
	Er
	\[
		\left\{
		\begin{pmatrix}
		2 \\
		1
		\end{pmatrix},
		\begin{pmatrix}
		4 \\
		2
		\end{pmatrix}
		\right\}
	\]
	en basis for $\mathbb{R}^2$?
\end{oppgave}


Det femdimensjonale $\mathbb{R}^5$ er
mengden av alle lineærkombinasjoner på formen
\[
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3 \\
		x_4 \\
		x_5
	\end{pmatrix}
	=
	x_1
	\begin{pmatrix}
	1 \\
	0 \\
	0 \\
	0 \\
	0
	\end{pmatrix}
	+x_2
	\begin{pmatrix}
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	0 \\
	0
	\end{pmatrix}
	+x_3
	\begin{pmatrix}
	0 \\
	0 \\
	1 \\
	0 \\
	0
	\end{pmatrix}
	+x_4
	\begin{pmatrix}
	0 \\
	0 \\
	0 \\
	1 \\
	0
	\end{pmatrix}
	+x_5
	\begin{pmatrix}
	0 \\
	0 \\
	0 \\
	0 \\
	1
	\end{pmatrix}.
\]

\begin{oppgave}{2}
	Finn en annen basis for $\mathbb{R}^5$.
\end{oppgave}

Det naturlig å lure på om 
en valgt vektormengde er 
en basis for et vektorrom.

\begin{oppgave}{3}
	Er kolonnene i matrisen
    \[
    \begin{pmatrix}
        2&1&1&2\\
        1&0&1&1\\
        1&-2&1&-1\\
        0&1&0&1
    \end{pmatrix}
    \]
	en basis for noe? Hva med radene?
\end{oppgave}


\clearpage 

%introdusere vekting via inclusive fitness og haldanes 'die for two brothers or eight cousins' sapolsky s 336

Kolonnnene i matrisen i oppgave 4 er lineært avhengige, 
og følgelig ikke en basis for noe som helst, 
men alle lineærkombinasjoner av dem er fremdeles et vektorrom.
Vi sier at kolonnene
\textbf{spenner ut et underrom} av $\mathbb{R}^4$. 
Et underrom av et vektorrom er en delmengde som 
i seg selv er et vektorrom, 
se ukens nøtter. 

\begin{oppgave}{4}
	Kolonnene i matrisen 
	\begin{align*}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				1 & 2 & 3 & 4 \\
				2 & 3 & 4 & 5 \\
				3 & 4 & 5 & 6 \\
				4 & 5 & 6 & 7 
			\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
	spenner også ut et underrom av $\mathbb{R}^4$.
	Hvor mange dimensjoner har dette underrommet?
\end{oppgave}


Det er for øvrig slik at antallet lineært uavhenige rader og 
kolonner i en matrise alltid er det samme. 
Dette tallet kalles matrisens \textbf{rang}.\footnote{text
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra)}
}

\begin{oppgave}{5}
    Dobbeltsjekk at antall lineært uavhengige rader og kolonner er det samme for
    \[
        \left(\;
        \begin{matrix}
        1 & 2 & 3 & 4 \\  
        2 & 3 & 4 & 5\\  
        3 & 4 & 5 & 6\\  
        \end{matrix}
        \;\right).
    \]
	Hva er rangen? 
	Finn rangen til alle matriser i økt 1-5 og 1-6. 
\end{oppgave}

Dersom en matrise $A$ har dimensjon $m \times n$ og rang $r$, 
er \textbf{kolonnerommet} det $r$-dimensjonale underrommet 
av $\mathbb R^m$ utspent av kolonnene til $A$, 
altså alle vektorer på formen 
\begin{align*}
	A\V x
\end{align*}
der $\V x \in \mathbb R^n$. 
\textbf{Nullrommet} er  alle løsninger av 
\begin{align*}
	A\V x = \V 0 
\end{align*}
og dette er et $n-r$-dimensjonalt underrom av $\mathbb{R}^n$. 


\begin{oppgave}{6}
	Finn basiser for kolonnerommet og nullrommet til matrisene i oppgave 4 og 5. 
\end{oppgave}

Alle egenvektorer til en egenverdi $\lambda$ er ikke et vektorrom, 
for et vektorrom må alltid inneholde nullvektoren, 
og denne klassifiserer ikke som egenvektor. 
Men mengden av alle egenvektorene til $\lambda$ og nullvektoren er et 
vektorrom som kalles \textbf{egenrommet} til $\lambda$. 

\begin{oppgave}{7}
	Finn egenrommene til egenverdiene til 
	\begin{align*}
		\left( \; 
		\begin{matrix}
			2 & 1 & 1 \\
			1 & 2 & 1 \\
			1 & 1 & 2 
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
	Matrisen i oppgave 4 har en egenverdi som er null. 
	Finn en basis for egenrommet til denne. 
\end{oppgave}



\clearpage

En av grunnene til at vi må kunne lineær uavhengighet og ikke bare determinanter,
er at det finnes andre eksempler på vektorrom enn $\mathbb{R}^n$ og $\mathbb{C}^n$. 

\begin{oppgave}{9}
	Hvor mange dimensjoner har løsningsrommet til differensiallikningen 
	\begin{align*}
		\ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) = 0 ?
	\end{align*}
	Skriv opp to forskjellige basiser.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
	Hva med rommet av alle polynomer på formen 
	\begin{align*}
		p(x) = a_2 x^2 + a_1x + a_0\; ?
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
	Hva med $\mathbb{C}$, er det et vektorrom?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Hvor mange dimensjoner har vektorrommet av alle lineærkombinasjoner på formen
\[
c_1\cos 2 t
+c_2\sin 2 t
+c_3\quad ?
\]
Hva med alt på formen
$
c_1\cos^2 t
+c_2\sin^2 t
+c_3?
$
\end{oppgave}




Dersom du har en basis 
$\left\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots \mathbf{v}_n\right\}$
for et vektorrom og 
\[
 \mathbf{w}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+...+c_n\mathbf{v}_n
\]
kalles $c_1, c_2,\cdots,c_n$ \textbf{koordinatene} til $\V w$. 
Koordinatskift er å bytte til en annen basis for det samme rommet.
Du er vant til standardbasisen for $\mathbb{R}^n$, 
og i denne er vektene i lineærkomboen de tallene som står i søylevektoren.

\begin{oppgave}{13}
	Finn punktet $(3,1)$ sine koordinater i basisen
	\[
		\left\{
		\begin{pmatrix}
		2 \\
		1
		\end{pmatrix},
		\begin{pmatrix}
		1 \\
		2
		\end{pmatrix}
		\right\}.
	\]
	Hva er standardbasiskoordinatene til punktet $(1,1)$ i denne basisen?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
	To basiser for løsningene til 
	\begin{align*}
		\ddot x(t) + 2\dot x(t) + 2x(t) = 0 
	\end{align*}
	er 
	\begin{align*}
	\{e^{-t}\cos t,e^{-t}\sin t\}
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\{e^{(-1+i)t},e^{(-1-i)t}\}.
	\end{align*}
	Finn koordinatene til 
	\begin{align*}
		x(t) = e^{-t}\left( \cos t + \sin t \right)
	\end{align*}
	i hver av dem.
\end{oppgave}

\begin{comment}
Men det er andre ting som også har dimensjoner.
Løsningene til
\[
\ddot{x}+2\dot{x}+2x=0
\]
er et vektorrom med to dimensjoner:
\[
x(t)=c_1e^{-t}\cos t+c_2e^{-t}\sin t
\]
Det er to vektorer i lineærkombinasjonen,
og to ubestemte koeffisienter.
Komplekse tall er likeledes alle lineærkombinasjoner av to ting,
real- og imaginærdel
\[
z=a+bi
\]
mens $\mathbb R^2$ er alle lineærkombinasjoner av to ting
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
x_2
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Alle lineærkombinasjoner på formen
\[
y_1
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}
+
y_2
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}
\]
er bare $\mathbb R^2$ skrevet litt annerledes.
Alle polynomer av maksimal grad en
er også et todimensjonalt vektorrom:
\[
p(x)=a\cdot x + b \cdot 1,
\]
så man kan i bunn og grunn tenke at
\end{comment}

\clearpage 

Og så det andre vesentlige fellestrekket:
\textit{En lineæroperator $T$ er en funksjon som tilfredsstiller
\begin{align*}
T(a\mathbf x+a\mathbf y)&=aT(\mathbf x)+bT(\mathbf y) 
\end{align*}
for alle vektorer $\mathbf x$ og $\mathbf y$ og alle skalarer $a$ og $b$.}

De enkleste modelleringsproblemene i anvendelser er som regel \textbf{lineære}.
Å gange en vektor inn i en matrise er en lineæroperator. 
Her er et par oppgaver som illustrerer poenget.
La 
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 7
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad \mathbf x=
\begin{pmatrix}
1 \\
2  \\
3 
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
\mathbf y=
\begin{pmatrix}
4 \\
5  \\
6 
\end{pmatrix}
\]
og beregn:

\begin{minipage}{17mm}
\begin{oppgave}{15}
$A\mathbf x$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{17mm}
\begin{oppgave}{16}
 $A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{17}
$A(\mathbf x+\mathbf y)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{18}
$A\mathbf x+A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{19}
$A(2\mathbf x+3\mathbf y)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{20}
$2A\mathbf x+ 3A\mathbf y$
\end{oppgave}
\end{minipage}






Kjært barn har mange navn,
og lineæroperator har et par synonymer,
\textbf{lineærtransform},
\textbf{lineærtransformasjon}
og \textbf{lineæravbildning}.
Jeg har vendt meg til å si lineæroperator
fordi det er det de fleste ikkematematikere sier.
Du har brukt lineæroperatorer i mange år -
derivasjonsoperatoren er for eksempel lineær.
La
\[
D(x)=
\dot x
\quad \text{og} \quad
y(t)=t^2
\quad \text{og} \quad
z(t)=t
\]
og beregn

\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{15}
$\dot y$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{16}
$\dot z$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{17}
$\frac{d}{dt}(y+z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{29mm}
\begin{oppgave}{18}
$\dot y+\dot z$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{19}
$\frac{d}{dt}(2y+3z)$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{35mm}
\begin{oppgave}{20}
$2\dot y+3\dot z$
\end{oppgave}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{21}
Fikk du deja vú nå?
I så fall er du inne på noe.
\end{oppgave}



Det bestemte integralet er også en lineæroperator.
La $f: [0,\pi] \to \mathbb{R}$ være gitt ved 
\[f(t)=\sin t\]
og $g: [0,\pi] \to \mathbb{R}$ være gitt ved 
\[f(t) = \cos \left(t/2\right)\]
og finn de bestemte integralene

\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{15}
$\int f$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{19mm}
\begin{oppgave}{16}
$\int g$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{27mm}
\begin{oppgave}{17}
$\int g + f$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{29mm}
\begin{oppgave}{18}
$\int g + \int f$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{oppgave}{19}
$\int 2g + 3f$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{35mm}
\begin{oppgave}{20}
$2\int g + 3\int f$
\end{oppgave}
\end{minipage}


\begin{oppgave}{21}
Fikk du deja vú nå?
I så fall er du inne på noe.
\end{oppgave}




Lineæroperatorer er \textbf{superposisjonsprinsippets}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle}
} 
mest vesentlige ingrediens. 
Linæeroperatorer er for superposisjonsprinsippet omtrent som kanel i en kanelbolle,
humle i øl eller hele pepperkorn i fårikål.
Kanelbolle er meningsløst uten kanel,
men man merker kanelsmaken
først når den uteblir.
\footnote{Kanel smaker faktisk ingenting.
Prøv å spise en kanelbolle eller en porsjon risengrynsgrøt mens du holder deg for nesen.}
Superposisjonsprinsippet kan formuleres omtrent som følger:
\begin{center}
\textit{Dersom $L$ er en lineæroperator
og $Lx=f$ og $Ly=g$, er $L(x+y) = f+g$.}
\end{center}

\begin{oppgave}{22}
	Dette prinsippet har vi allerede brukt ganske mye dette semesteret. Finn ut hvor.
\end{oppgave}

\clearpage 

Vi sier at en differensiallikning er lineær dersom
operatoren der du \say{putter inn løsningen} i likningen er lineær.
For eksempel er
$
\dot x + \lambda x = 0
$
en lineær likning siden
\[
D(x)=\dot x + \lambda x =
\left( \frac{d}{dt} + \lambda \right) x
\]
er en lineæroperator.
Superposisjonsprinsippet sier at dersom
\[
	\dot x + \lambda x = f
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\dot y + \lambda y = g
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	z = x + y
	\hspace*{10mm}
	\text{er}
	\hspace*{10mm}
	\dot z + \lambda z = f + g.
\]
Så hva er den praktiske nytten?
Her er to RC-kretser:\\
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.32]{../figurer/rc-krets-3.png}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/rc-krets-6.png}
\end{center}
\end{minipage}

Differensiallikningen til den til venstre er 
\[
	\dot v(t) + \frac{1}{RC}v(t) = 9
\]
med løsning
\begin{align*}
	v(t) = 9\left( 1-e^{t/RC} \right)
\end{align*}
gitt at $v(0)=0$.
I den til høyre er det koblet to batterier i serie,
og ifølge Kirchhoff må vi løse 
\[
	RC \dot v(t) + v(t) = 9 + 9 = 18. 
\]

\begin{oppgave}{23}
	Anta $v(0)=0$ og løs 
	med superposisjonsprinsippet.
\end{oppgave}

Har du skjønt at derivasjonsoperatoren er lineær, 
kan du også forstå hvorfor vi alltid gjetter på 
eksponensialfunksjonen når vi løser lineære differensiallikninger. 

\begin{oppgave}{24}
Finn egenvektorene til derivasjonsoperatoren
$
D(x)=\dot x.
$
\end{oppgave}



Systemet med å kombinere homogen og inhomogen løsning 
når vi løste differensiallikninger, 
går igjen i alle lineære problemer. 


\begin{oppgave}{25}
Løs
	\[
\begin{amatrix}{3}
1&2&3&0\\
2&3&4&1\\
3&4&5&2\\
4&5&6&3
\end{amatrix}
\quad
\text{og}
\quad
\begin{amatrix}{3}
8&-7&0&-3\\
-8&-7&3&-7\\
-4&5&-8&-3\\
-6&6&-4&0
\end{amatrix}
\]
Hva er homogen og hva er inhomogen løsning?
\end{oppgave}

Trenger du flere oppgaver, 
er disse relevante:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving05.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving06.pdf}\\
Løsningsforslag finner du her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving05-lf.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving06-lf.pdf}\\





\clearpage








Det finnes selvfølgelig aksiomer for vektorrom.
De fleste av dem går med til å definere hvordan en lineærkombinasjon funker,
og dette kan du i bunn og grunn allerede fra gymnaset.
La $\mathbf V$ være en (ikke tom) mengde med vektorer
som kan adderes og skalarmultipliseres
og som er lukket under lineærkombinasjoner.
Vi sier at mengden $\mathbf V$ er et vektorrom over $\mathbb C$ dersom følgende er tilfredsstilt for alle $\V u, \V v, \V w \in V$, $a, b\in \mathbb{C}$.
Du kan også ha vektorrom over $\mathbb{R}$,
eller en hvilken som helst annen kropp. 

Det skal finnes en vektor, kalt $\V 0$, slik at
\[
\V v + \V 0 = \V v
\]
Addisjonen skal være assosiativ
\[
(\V u +\V v) +\V w =\V u + (\V v +\V w)
\]
og kommutativ
\[
\V u +\V v =\V v + \V u.
\]
Skalarmultiplikasjonen skal være assosiativ
\[
a(b\V v)= (ab)\V v
\]
og distributiv både med hensyn på addisjon av skalarer
\[
(a+b)\V v=a\V v+b\V v
\]
og vektorer
\[
a\left(\V v+\V w\right)=a\V v+a\V w.
\]
Vi krever dessuten
\[
1\V v=\V v
\]
og
\[
0\V v=\V 0.
\]


En anonym mtelsys-student ble en gang i evalueringsskjema spurt om det var noe
vedkommende skulle ønske vedkommende hadde lært mer om,
og da uttrykte vedkommende:
\begin{center}
\say{Vektor-rom. Trodde det var kjempe teit men det er faktisk ikke så dumt}
\end{center}

\begin{oppgave}{26}
	Vis at en delmengde av et vektorrom er et underrom hvis og bare hvis det 
	er lukket under lineærkombinasjoner og inneholder nullvektoren.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{27}
Vis at to parallelle vektorer
er en lineært avhengig vektormengde.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{28}
La $A\mathbf x=\mathbf y$ være et lineært likningssystem.
Utgjør $\mathbf x$ et vektorrom?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{29}
	Spis en teskje med kanel.
	Det er overraskende vanskelig.\\
	(Og ikke så bra for leveren din: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cinnamon#Toxicity})
\end{oppgave}

%moduler vektorrom over ikke kropp og hamburgermeny

\end{document}
