\input{preamble}

\title{1 - 7 - DIFFERENSIALLIKNINGER III}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%wronskideterminanten
%egenvektorbasis




Laurinda Lie tror på homeopati, 
og hun har lest at mot migrene er det lurt å drikke 
vann som har vært varmet opp og nedkjølt 
av en klump med \textit{spesiell homeopatisk masse}.
Laurentius Lie tror på mye rart, 
men ikke på homeopati. 
Han er imidlertid en grei fyr, 
og går med på å regne ut når det homeopatiske vannet 
har en passelig drikketemperatur. 

Den varme homeopatiske klumpen varmes opp og senkes så i et 
vannbad ute på verandaen, 
der det er null grader. 
I den homeopatiske tradisjon ristes 
alltid vannet på en nøye spesifisert måte,
og dette sørger for perfekt blanding.
Hvis vi antar Newtons avkjølingslov,
får vi differensiallikningene
\begin{align*}
	\dot x_1=&\; \alpha_1 \left( x_2 - x_1 \right)\\
	\dot x_2=&\; \alpha_1 \left( x_1 - x_2 \right) + \alpha_2 \left( 0 - x_2 \right)
\end{align*}
der $x_1$ er temperaturen i klumpen,
$x_2$ er temperaturen i vannet, 
$\alpha_1$ er varmeoverføringskoeffisienten mellom vannet og den homeopatiske klumpen 
og $\alpha_2$ er varmeoverføringskoeffisienten mellom vannet og luften på verandaen.

\begin{oppgave}{1}
	Høyresiden i dette likningssystemet er et matriseprodukt på formen $A\V x$. 
	Finn $A$.
\end{oppgave}

Dersom du bruker Kirchhoffs spenningslov på sløyfene i kretsen under, 
får du
\begin{align*}
	\dot x_1=&\; \Big(-\left(R_1 + R_3\right)x_1 + R_3x_2\Big)/L_1\\[2mm]
	\dot x_2=&\; \Big(R_2x_1 -  \left(R_2 + R_3\right)x_2\Big)/L_2
\end{align*}

\begin{oppgave}{2}
	Høyresiden i dette likningssystemet er et også matriseprodukt på formen $A\V x$. 
	Finn $A$.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.65]{../figurer/rl-krets-4.png}
\end{center}

\clearpage

Nå skal vi blande sammen lineæralgebra og differensiallikninger. 
Systemene på forrige side ser grisete ut, 
men det finnes en systematisk løsningsteknikk.
La oss sette $\alpha_1 = \alpha_2 = 1$
eller $L_1=L_2=1$, 
$R_2=R_3=1$ og
$R_1=0$,
slik at vi får et litt håndterlig system:\\[-6mm]
\begin{align*}
	\dot x_1=&\; -x_1 + x_2\\
	\dot x_2=&\; \hspace*{4.5mm} x_1 -  2x_2
\end{align*}
Dette kalles et 
\textbf{lineært og autonomt differensiallikningssystem med konstante koeffisienter}.
Det første vi må gjøre, 
er å sortere den ukjente i en søylevektor
\begin{align*}
        \mathbf{x}(t) =
        \left(\; \begin{matrix}
            x_1(t)\\
            x_2(t)
        \end{matrix} \; \right)\\[-8mm]
\end{align*}
slik at likningsystemet blir\\[-8mm] 
\begin{align*}
	\dot{\V x} =  A\V x 
	\hspace*{10mm}
	\text{der}	
	\hspace*{10mm}
	A=
    \left(\; \begin{matrix}
        -1 & 1\\
         1 & -2
    \end{matrix} \; \right).
\end{align*}
Alle differensialllikninger vi har løst til nå, 
har vi løst med eksponensialfunksjonen, 
så la oss 
	prøve gjetningene
	$x_1(t) = c_1e^{\lambda t}$ og
	$x_2(t) = c_2e^{\lambda t}$, 
	altså\\[-4mm]
	\begin{align*}
		\V x(t)
		=
		e^{\lambda t} \V c
		=
		e^{\lambda t}
		\left(\; \begin{matrix}
			c_1\\
			c_2
		\end{matrix} \; \right)
	\end{align*}
	og se hva som skjer.
Setter vi
$\V x$ inn i systemet, 
får vi 
\begin{align*}
	\dot {\V x}(t)
	=
	\lambda
	e^{\lambda t}
	\left(\; \begin{matrix}
		c_1\\
		c_2
	\end{matrix} \; \right)\\[-10mm]
\end{align*}
på den ene siden og 
\begin{align*}
	A\V x(t)
	=
	e^{\lambda t}
    \left(\; \begin{matrix}
        -1 & 1\\
         1 & -2
    \end{matrix} \; \right)
	\left(\; \begin{matrix}
		c_1\\
		c_2
	\end{matrix} \; \right)
\end{align*}
på den andre. 
Setter vi disse lik hverandre og deler ut $e^{\lambda t}$ som vi pleier, 
får vi 
\begin{align*}
	\lambda
	\left(\; \begin{matrix}
		c_1\\
		c_2
	\end{matrix} \; \right)
	=
	\left(\; \begin{matrix}
        -1 & 1\\
         1 & -2
    \end{matrix} \; \right)
	\left(\; \begin{matrix}
		c_1\\
		c_2
	\end{matrix} \; \right)\\[-12mm]
\end{align*}
eller 
\begin{align*}
\lambda \V c
=
A\V c
\end{align*}
om du vil. 
Med andre ord må $\V c$ være en av $A$ sine egenvektorer og $\lambda$ 
den korresponderende egenverdien om $\mathbf x$ som foreslått skal være en løsning. 

\begin{oppgave}{3}
	Finn alle løsningene til systemet. 
	Hvor mange forventer du?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1002333}
\end{center}

\clearpage 

\begin{comment}
Vi beregner
\begin{align*}
\det\left(A-\lambda I\right) &=
\det
\left(\;\begin{matrix}
-1-\lambda & 1\\
1 & -2-\lambda
\end{matrix}\;\right)
\\
&=(-1-\lambda)(-2-\lambda)-1\\
&=(1+\lambda)(2+\lambda)-1\\
&=1-3\lambda +\lambda^2
\end{align*}
Dette kalles matrisens \textbf{karakteristiske polynom},
og har røtter
\begin{align*}
	\lambda = 
	\frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.
\end{align*}


Å finne nullrommet til $A-\lambda I$ er å løse likningssettene
\begin{align*}
	\begin{amatrix}{2}
		-1-\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) & 1 & 0  \\
		1 & -2-\left( -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right) & 0 
	\end{amatrix}
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\begin{amatrix}{2}
		-1-\left(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) & 1 & 0  \\
		1 & -2-\left( -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right) & 0 
	\end{amatrix}
\end{align*}
Dette synes du sikkert ser helt forferdelig ut, 
men det å finne nullrommet til en $2\times 2$-matrise 
involverer heldigvis så og si ingen gausseliminering. 
Dersom matrisen ikke er inverterbar, 
er radene lineært uavhengige, 
og da er den ene raden en skalarmultippel av den andre.
Dersom vi nå har regnet ut korrekte egenverdier, 
vet vi jo at dette skal være tilfellet, 
så da koker alt ned til å finne alt som passer i likningen 
\begin{align*}
	\begin{amatrix}{2}
		-1-\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) & 1 & 0  
	\end{amatrix}
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\begin{amatrix}{2}
		-1-\left(-\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) & 1 & 0  
	\end{amatrix}
\end{align*}
eller, etter litt rydding,
\begin{align*}
	\begin{amatrix}{2}
		\frac{1-\sqrt{5}}{2} & 1 & 0  
	\end{amatrix}
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\begin{amatrix}{2}
		\frac{1+\sqrt{5}}{2} & 1 & 0  
	\end{amatrix}
\end{align*}
Løsningene til disse to likningene er alle skalarmultipler av henholdsvis
\begin{align*}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1-\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right)
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1+\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
Nå har vi funnet to løsninger av differensiallikningssystemet 
vi startet med, 
nemlig 
\begin{align*}
	\V x_1(t) 
	=
	e^{(-3-\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1-\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right)
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	\V x_2(t) 
	=
	e^{(-3+\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1+\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
og akkurat som i økten om andre ordens differensiallikninger, 
vil alle lineærkombinasjoner av disse to også 
være løsninger av systemet: 
\begin{align*}
	\V x(t) 
	=
	a_1
	e^{(-3-\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1-\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right)
	+
	a_2e^{(-3+\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1+\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
\end{comment}

Regna du riktig på oppgave 3, 
fikk du løsningene 
\begin{align*}
	\V x(t) 
	=
	a_1
	e^{(-3-\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1-\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right)
	+
	a_2e^{(-3+\sqrt{5})t/2}
	\left(\;
	\begin{matrix}
		-2 \\
		1+\sqrt{5}
	\end{matrix}
	\;\right).
\end{align*}
Nå går det an å vise at dette er alle løsninger du 
noensinne kommmer til å finne, 
men det er nok litt i tidligste laget for oss. 
Det var kanskje litt uheldig for din kognitive last at det første 
differensiallikningssystemet du løste hadde så grisete tall, 
så la oss prøve noen litt penere. 

\begin{oppgave}{4}
	Finn alle løsninger til systemene\\[-5mm]
	\begin{minipage}{50mm}
	\begin{align*}
		\dot z_1=& 2z_1 + z_2 \\
		\dot z_2=& z_1 + 2z_2 
	\end{align*}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{10mm}
	og
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{80mm}
	\begin{align*}
		\dot z_1=& z_1 + 2z_2 + 2z_3\\
		\dot z_2=& 2z_1 + 6z_2 + 2z_3 \\
		\dot z_3=& 2z_1 + 2z_2 + 6z_3
	\end{align*}
	\end{minipage}
\end{oppgave}

Det siste systemet over er valgt med omhu - 
den ene egenverdiene er null, 
og da er det trivielt å beregne egenverdiene til matrisen. 
Generelt er det ikke er trivielt å faktorisere et tredjegradspolynom. 
Eller jo, 
det er \say{trivielt} i den forstand at det finnes en formel,$^1$
men det er ikke trivielt å huske formelen.
Lars Onsager$^2$ greide visst å utlede den på egenhånd da han var tolv år gammel. 


\begin{oppgave}{5}
	Du kan prøve deg på\\[-8mm]
	\begin{align*}
		\dot z_1=& 2z_1 + z_2 + z_3\\
		\dot z_2=& z_1 + 2z_2 + z_3 \\
		\dot z_3=& z_1 + z_2 + 2z_3
	\end{align*}
	Bruk np.linalg.eig om du ikke greier å faktorisere det karakteristiske polynomet. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	Litt mengdetrening er sikkert bra.
	Løs $\dot \V x = A\V x$ der $A$ er matrisene i 10-25 i forrige økt. 
\end{oppgave}

Vi kan også minnes Jens Balchen.$^3$
Borte på ITK holder de balchenmesse hver fredag 
(de ofrer en hummer på et spesielt alter inne på lunsjrommet),
og noen av de ansatte har relikvier etter ham på kontorene sine. 
Han høres grei ut i Aftenposten, 
men høsten 1982 gikk visst studentene i fakkeltog rundt huset hans i protest 
mot en legendarisk vanskelig regtekeksamen.\\[-2mm]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.1]{../figurer/balchen}\\[-3mm]
\end{center}

$^1$
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#General_cubic_formula}\\
$^2$
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lars_Onsager}\\
$^3$
\url{https://www.ntnu.no/itk/om/historie/balchen/minneord}\\

\clearpage

På den siste siden skal vi ta med oss litt ymse.
I alle løsningene du fant over (hvis du gjorde det riktig),
satt det noen ubestemte konstanter.
Disse kan bestemmes ved å spesifisere initialkrav
\[
\mathbf x(0)=\mathbf x_0
\]
der $\mathbf x_0$ er en konstant vektor.

\begin{oppgave}{7}
Prøv noen forskjellige initialkrav på oppgave 4 og 5.
Du kan løse $2\times 2$-systemet med $\V x(0)$ lik 
\[
\left(\;\begin{matrix}
1\\
0
\;\end{matrix}\right)
\quad
\text{og}
\quad
\left(\;\begin{matrix}
0 \\
1
\;\end{matrix}\right)
\]
og $3\times 3$-systemene med $\V x(0)$ lik
\[
\left(\;\begin{matrix}
1\\
0\\
0
\;\end{matrix}\right)
\quad
\text{og}
\quad
\left(\;\begin{matrix}
0\\
1\\
0 
\;\end{matrix}\right)
\quad
\text{og}
\quad
\left(\;\begin{matrix}
	0\\
	0 \\
	1
\;\end{matrix}\right).
\]
\end{oppgave}

Av og til kan man støte på ymse problemer. 
Her er ett av dem:

\begin{oppgave}{8}
	Prøv å løse 
	\begin{align*}
		\dot x_1=& x_1+x_2\\
		\dot x_2=& \hspace*{9mm} x_2
	\end{align*}
	med initialkrav $x_1(0) = 0$ og $x_2(0) = 1$. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
Initialverdiproblemet
\begin{align*}
\dot z_1=& z_1+z_2 \hspace{12mm} z_1(0)=0\\
\dot z_2=& z_2 \hspace{20mm} z_2(0)=1
\end{align*}
 illustrerer en viktig ting.
Det karakteristiske polynomet til en $n \times n$-matrise kan alltid spaltes i $n$ lineære faktorer,
men det finnes ikke alltid $n$ lineært uavhengige egenvektorer.
I dette tilfellet sier vi at matrisen er \textbf{defekt}.
Differensiallikningessystemet i oppgaven har flere løsninger enn de du fant,
og derfor klarer du ikke tilfredsstille initialkravene.

Følgende oppgave illustrerer at selv enkle differensiallikningssystemer 
kan gi opphav til problemstillinger som er håpløse å finne ut av med penn og papir. 
Hvordan vi håndterer slikt skrømt kommer vi tilbake til i semesterets siste del. 
\end{comment}

Og her er et annet:

\begin{oppgave}{9}
	Den homeopatiske klumpen skal varmes opp til 88 grader celsius,\footnote[4]{
	Homeopatiens grunnlegger Samuel Hahnemann ble nemlig 88 år gammel:\\ \url{
		https://en.wikipedia.org/wiki/Samuel_Hahnemann
	}}
	og så senkes i vann fra springen,
	som holder 4 grader. 
	Når får vannet en passelig drikketemperatur på 13 grader?
\end{oppgave}

Dersom en $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ har $n$ lineært uavhengige 
egenvektorer sier vi at $A$ er \textbf{diagonaliserbar}. 
Dette er fordi det i så fall er mulig å skrive 
\begin{align*}
	A=V\Lambda V^{-1}
\end{align*} 
der $V$ har egenvektorene som kolonner og $\Lambda$ er diagonal.

\begin{oppgave}{10}
	Vis dette.
\end{oppgave}



Det går ellers an å takle likningen
$
\ddot{x}+a_1\dot{x}+a_0x=0
$
som et system. 
Vi lager noen nye variable:
\begin{align*}
z_1(t)=x(t) \\
z_2(t)=\dot{x}(t)
\end{align*}
Hvis du nå aksepterer at vi kan skrive
\[
\mathbf z(t)=
\left(\;\begin{matrix}
z_1(t) \\
z_2(t)
\;\end{matrix}\right)
=
\left(\;\begin{matrix}
x(t) \\
\dot x(t)
\;\end{matrix}\right)
\quad
\text{og}
\quad
\dot \mathbf z(t)=
\left(\;\begin{matrix}
\dot{z}_1(t) \\
\dot{z}_2(t)
\;\end{matrix}\right)
=
\left(\;\begin{matrix}
\dot x(t) \\
\ddot x(t)
\;\end{matrix}\right)
\]
går det an å skrive $\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$ på formen
\[
\dot \mathbf z = A\mathbf z.
\]



\begin{oppgave}{11}
Hva blir $A$?
Hva er $A$ sitt karakteristiske polynom?
Er $A$ diagonaliserbar?
Skriv om oppgave 2-5 i økt 1-3 til systemer og løs. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
\[
A=
\left(\;\begin{matrix}
0 & 1  \\
-c & -b
\;\end{matrix}\right)
\]





Du gjettet helt riktig:
\[
\mathbf x=\mathbf x_0 e^{At}
\]
Men hva gjør vi med $e^{At}$?
Dette skal vi svare på i aller siste undervisningsuke.


\begin{oppgave}{49}
Niglan litt på løsningen til $\dot x = ax$ og foreslå en løsning til $\dot \mathbf x = A\mathbf x$.
\end{oppgave}





\begin{oppgave}{2}
	Differensiallikningssystemene på side 1
	er identiske for noen valg av parametrene. 
	Hvilke?
\end{oppgave}

\end{comment}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}


\textbf{Boolsk algebra} er en algebraisk struktur som 
brukes til å modellere oppførselen til datamaskinen din.
En boolsk algebra har minst to elementer, 
og to operasjoner, $+$ og $\cdot$,
og følgende aksiomer:\\[-6mm]
%\begin{tcolorbox}[title=Aksiomer for $+$,colback=blue!10]
\begin{center}
\begin{itemize}
\item[1] $x+ y=y+ x$.
\item[2] Det finnes et elelement 0 slik at  $0+ x=x$.
\item[3] For hver $x$ finnes $y$ slik at $x+ y=1$.
\item[4] $x\cdot y=y\cdot x$.
\item[5] Det finnes et elelement 1 slik at  $1\cdot x=x$.
\item[6] For hver $x$ finnes $y$ slik at $x\cdot y=0$.
\item[7] $x \cdot ( y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.\\[.3cm]
\item[8] $x +y\cdot z=(x+y)\cdot(x+z)$.\\[.3cm]
\end{itemize}
\end{center}
%\end{tcolorbox}

Ved første øyekast kan aksiomene likne på aksiomene for kropp, 
men det er en noen ting som oppfører seg helt annerledes. 
Vi har \textbf{komplement} (aksiom 3 og 6) istedet for invers, 
og assosiatitivitet er ikke med fordi det kan utledes av de andre aksiomene.
Distributivitet kommer i to varianter, 
ikke bare i én som vi er vant til fra kropp. 
Regnereglene blir nå helt annerledes,
Utled

\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{1}
        $x+x=x$
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{2}
        $xx=x$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{3}
        $x+1=1$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
    \begin{oppgave}{4}
        $x\cdot 0=0$.
    \end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
    \begin{oppgave}{5}
        assosiativitet.
    \end{oppgave}
\end{minipage}

Alt dette blir selvfølgelig mindfuck i begynnelsen, 
men dette er en nyttig modell av digitallogikk,
og alt blir lettere å forstå om man sier \say{og} for $\cdot$ og \say{eller} for $+$.
Du kan tenke på $x$ som et utsagn som er enten sant eller usant.
Uttrykket\\[-4mm]
\[
x+x=x
\]
betyr at \say{$x$ eller $x$ har den samme sannhetsverdien som $x$}.

\begin{oppgave}{6}
    Oversett regnereglene i aksiomene og i oppgave 1-5 til dette språket. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1002309-2}
\end{center}

\clearpage 




\section*{REPETISJONSOPPGAVER}

Det har gått fort i svingene de siste tre ukene. 
Her er flere oppgaver.

\begin{oppgave}{1}
Løs\\[-10mm]
	\begin{align*}
\begin{amatrix}{3}
8&-7&0&-3\\
-8&-7&3&-7\\
-4&5&-8&-3\\
-6&6&-4&0
\end{amatrix}		
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{2}
La
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20
\end{pmatrix}
\quad
\text{og }
\quad
b=
\begin{pmatrix}
0 \\ 2 \\ 6 \\ 13
\end{pmatrix}
\]
Vis at kolonnene i $A$ er lineært uavhengige,
finn $A^{-1}$,
og løs likningssystemet $A\mathbf x = \mathbf b$. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
La
\[
A=
\begin{pmatrix}
13 & 20 \\ -10 & -17
\end{pmatrix}.
\]
Finn $P$ slik at $P^{-1}AP$ blir en diagonal matrise.
Løs initialverdiproblemet
\[
\dot{\mathbf x}=A\mathbf x \qquad \mathbf x(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn den inverse matrisen til
\[
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &2 &3 \\
1 &3 &6 \\
\end{pmatrix}
\]
og bruk den til å  løse systemet 
\[
\systeme{
x + y +z = 1,
x + 2y +3z = 2,
x + 3y +6z = 4
}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Beregn volumet til parallellepipedet utspent av kolonnene i matrisen
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 \\
1 &2 &3 \\
1 &3 &6 \\
\end{pmatrix}
\]
og bruk resultatet til å avgjøre om likningssystemet $A\mathbf x=\mathbf b$ har entydig løsning,
der
\[
\mathbf b=
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
5 \\
\end{pmatrix}.
\]
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{6}
Finn en løsning til
\begin{minipage}{40mm}
\begin{align*}
\dot{x}_1&=x_1+x_2 \\
\dot{x}_2&=x_2+x_3 \\
\dot{x}_3&=x_3 \\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
som tilfredsstiller
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
\begin{align*}
x_1(0)=1 \\
x_2(0)=0 \\
x_3(0)= 0\\
\end{align*}
\end{minipage}
\end{oppgave}

\end{document}
