\input{preamble}

\title{1 - 5 - LINEÆRALGEBRA I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


Å balansere en reaksjonslikning er enkelt når den er liten. 
For eksempel ser vi raskt at 
\[
x_1\ce{NO}+x_2\ce{O2} \to x_3\ce{NO2}
\]
tilfredsstilles av $x_1=2$, $x_2=1$ og $x_3=1$,
slik at 
\[
2\ce{NO}+\ce{O2} \to \ce{NO2}.
\]
Men vi kan late som om vi ikke visste det. 
I såfall gir
nitrogenet gir likningen
\[
x_1=x_3
\]
mens oksygenet gir likningen
\[
x_1+2x_2=2x_3.
\]
En matematiker ville stilt dette opp slik:
\begin{align*}
	x_1 + 0x_2 -\hspace{2mm} x_3 &= 0 \\ 
	x_1 + 2x_2 -2x_3 &= 0
\end{align*}
Dette problemet har uendelig mange løsninger;
vi kunne like gjerne skrevet 
\[
4\ce{NO}+2\ce{O2} \to 2\ce{NO2}
\]
eller 
\[
\ce{NO}+\frac{1}{2}\ce{O2} \to \frac{1}{2}\ce{NO2}.
\]

\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-4}}[7mm]
\begin{oppgave}{N}
Men det kan fort bli komplisert. 
Her en prosess for å lage metanol.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Methanol}}
\begin{align*}
a\ce{CO}+b\ce{H2} &\to c\ce{CH3OH} \\
d\ce{CO2}+e\ce{H2} &\to f\ce{CH3OH} + g\ce{H2O}
\end{align*}
Klarer du å balansere denne?
\end{oppgave}


Nå skal vi se på systematiske teknikker 
for å håndtere slikt skrømt.
Dette kalles \textbf{lineæralgebra}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=.19]{../figurer/L1020605-Pano}
\end{center}

\clearpage


Disse oppstår naturlig når man prøver å løse likninger. 
En likning kan fint ha mange løsninger.
En likning kan faktisk ha uendelig mange løsninger.
For eksempel er det uendelig mange punkter i $\mathbb{R}^2$ som passer i likningen
\[
	2x_1 + 3x_2 = 0,
\]
og de ligger alle sammen på en linje med normalvektor
\[
	\V n = 
	\begin{pmatrix}
		2\\
		3
	\end{pmatrix}.
\]
Det er lett å se at denne linjen går gjennom origo,
siden 
\[
	\V x = 
	\begin{pmatrix}
		x_1\\
		x_2
	\end{pmatrix}
	=
	\begin{pmatrix}
		0\\
		0
	\end{pmatrix}.
\]
passer i likningen. (Sjekk slutten av økt 1-2 om du ikke husker vektorer på høykant.)
\begin{comment}
For noen uker siden lurte vi på om funksjonen $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
gitt ved
\[
	f\left( \mathbf{x} \right)
	=
	2x_1 + 3x_2
\]
var injektiv,
og hvis du husker definisjonen av injektiv funksjon\footnote{$f\left( \mathbf{x} \right) = f\left( \mathbf{y} \right) \Rightarrow \mathbf{x} = \mathbf{y}$}
innså du kanskje at svaret er nei,
siden likningen
\[
	x_3 = 2x_1 + 3x_2
\]
nettopp har uendelig mange løsninger.
Funksjonen $\V f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$
gitt ved
\[
	\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)
	=
	\begin{pmatrix}
		2x_1 + 3x_2 \\
		4x_1 + 5x_2
	\end{pmatrix}
\]
er derimot injektiv,
og jeg lovte at dette på et eller annet tidspunkt skulle bli innlysende for deg.
\end{comment}

\begin{oppgave}{0}
	Løs likningssystemet
	\vspace{-6mm}
	\begin{align*}
		2x_1 + 3x_2 &= 0\\
		4x_1 + 5x_2 &= 1
	\end{align*}
	(Et bra stalltips er å gange den første likningen med 2 og så trekke likningene fra hverandre.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.33]{../figurer/L1020607}
\end{center}

\clearpage

Dersom du skjønte hvordan oppgave 0 skulle løses,
ganget du den første likningen med 2 og fikk
\[
	4x_1 + 6x_2 = 0
\]
og så trakk du likningene fra hverande og fikk
\[
	x_2 = -1
\]
og så er det bare å sette inn denne i en av likningene,
og så ser vi at
\[
	x_1 = 3/2.
\]
Det er altså bare en kombinasjon av $x_1$ og $x_2$ som passer i likningssystemet,
og jeg avsløre at uansett hva du hadde satt inn på høyresiden,
så ville det samme skjedd.
Likningssystemet
	\begin{align*}
		2x_1 + 3x_2 &= b_1\\
		4x_1 + 5x_2 &= b_2
	\end{align*}
løses med de samme stegene;
vi ganger den første likningen med 2 og
trekker dem fra hverandre:
\[
	x_2 = 2b_1 - b_2
\]
Så setter vi uttrykket for $x_2$ inn i en av likningene (velg og vrak), og får
\[
	x_1 = \left( b_1 - 3\left( 2b_1 - b_2 \right)  \right) /2 = \left( 3b_2 - 5b_1 \right)/2.
\]
Det spiller ingen rolle hva $b_1$ og $b_2$ er,
$x_1$ og $x_2$ blir entydig bestemt uansett.
Dette eksemplet var kanskje ikke så interessant,
men det å vite hvordan man håndterer \textbf{lineære likningssystemer}:
\begin{align*}
	a_{11} x_1 + \hspace{1mm} a_{12} x_2 + \cdots +\hspace{1mm} a_{1n} x_n &= b_1 \\
	a_{21} x_1 + \hspace{1mm} a_{22} x_2 + \cdots +\hspace{1mm} a_{2n} x_n &= b_2 \\
	&\vdots \\
	a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &= b_m
\end{align*}
er ekstremt viktig.
Lineære likningssystemer dukker opp i alle fagfelt uten unntak.


\begin{oppgave}{1}
	Her er et eksempel.
Et annengradspolynom er et polynom på formen
\[
p(x)=ax^2+bx+c
\]
Finn koeffisientene til et annengradspolynom som går gjennom punktene 
$(1,2)$, $(2,3)$ og $(3,1)$. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1003587}
\end{center}


Dersom du skjønte hvordan oppgave 1 skulle løses,
brukte du likningene $p(1)=2$, $p(2)=3$ og $p(3)=1$
til å sette opp likningssystemet
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
a   & + &   b   & + &      c  &  =   &  2 \\
4a   & + &  2a   & + &       c   &  =   &  3 \\
9a   &  + &    3b   &  + &   c   &  =   &  1 
\end{array}
\]

Realistiske modeller av fysiske problemer kan hoste opp
likningssystemer med så mange likninger og ukjente at det ikke er trivielt
å regne ut løsningen på rimelig tid,
selv med datamaskin.
Det er for eksempel ikke noe problem å lage et 
likningssystem med 10000 likninger
som laptopen min trenger flere sekunder på å løse,
og likningssystemer i anvendelser kan bli mye større enn som så.
Men:
\begin{tcolorbox}
If you can reduce a mathematical problem to a problem in linear algebra, 
you can most likely solve it, 
provided that you know enough linear algebra.
\begin{flushright}
- Peter D. Lax
\end{flushright}
\end{tcolorbox}

Hvis du lærte det samme som jeg (født i 1983) på ungdomsskolen,
lærte du å løse lineære likningssystemer med tre likninger og tre ukjente ved innsettingsmetoden.  
Det finnes tusenvis av forskjellige teknikker for å løse 
lineære likningssystemer, 
men metoden alle universitetskurs begynner med, 
kalles \textbf{gausseliminasjon}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination}
}
Dette er en kjedelig teknikk for å herje med likningssystemer.

\begin{oppgave}{2}
Les wikipediaartikkelen i fotnoten eller kapittel 1 og 2 i Skartsæterhagens kompendium 
eller kap. 7.1 og 7.2 i Arnes bok og regn ut $a$, $b$ og $c$ i systemet over ved gausseliminasjon.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1003601}
\end{center}

\clearpage

Gausseliminasjon ble 
oppfunnet av noen kinesere for omtrent to tusen år siden,
til tross for at det er oppkalt etter den hvite middelaldrende mannen Karl Friedrich Gauss. 
Selv om du antagelig ikke skal gausseliminere så mye etter du er ferdig å studere,
må du dessverre gausseliminere litt nå,
for det er ikke mulig å forstå lineær algebra uten å løse noen lineære likningssystemer.

\begin{oppgave}{3}
Løs likningssystemene:
\end{oppgave}
\vspace{-7mm}
\begin{minipage}{4cm}
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
2x   & + &   3y   & + &      4z  &  =   &  4 \\
3x   & + &  4y   & + &       5z   &  =   &  5 \\
4x   &  + &    5y   &  + &   7z   &  =   &  3 
\end{array}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrcrcl}
3x_1  &  - &   x_2    & - &   x_3   &  &      &   =   &  1  \\
-x_1 & + &   3x_2   &  &     & - &   x_4   &   =   &  0 \\
-x_1 &    &        & + &   3x_3  &  - &   x_4   &  =   &   0\\
&  - &   x_2   &  - &    x_3   &  + &   3x_4   &  =   &  0 
\end{array}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
2z   & + &   iw   & + &  (5-3i)u      &  =   &  10 \\
4z   & + &  2iw  & + &     (10+2i)u   &  =   &  20+16i \\
2iz   &  - &    w   &  + &   (4+6i)u   &  =   &  2+12i
\end{array}
\]
%	\begin{align*}
%		2z  +  i w +(5-3i)u   &= 10 \\
%		4z  + 2i w +(10+2i)u  &= 20+16i\\
%		2iz - w    +(4+6i)u   &= 2+12i
%	\end{align*}
\end{minipage}

En av de første tingene man gjør når man skal studere lineære likningssystemer,
er å gå lei av å skrive $+$ og $-$ og $=$ og $x_1$ og $x_2$. 
Derfor lager vi oss notasjon som er litt mer minimalistisk. 
Systemet
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
2x   & + &   3y   & + &      4z  &  =   &  4 \\
3x   & + &  4y   & + &       5z   &  =   &  5 \\
4x   &  + &    5y   &  + &   6z   &  =   &  3
\end{array}
\]
skriver vi kort og godt
\[
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &4 \\
3 & 4 & 5 &5 \\
4 & 5 & 7 &3
\end{amatrix}
\]


\begin{oppgave}{4}
Løs likningssystemene på nytt og nyt hvor mye mindre skriving det blir:
\end{oppgave}
\begin{minipage}{4cm}
\[
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &4 \\
3 & 4 & 5 &5 \\
4 & 5 & 7 &3
\end{amatrix}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\[
\begin{amatrix}{4}
3&-1&-1&0& 1 \\
-1&3&0&-1& 0 \\
-1&0&3&-1& 0 \\
0&-1&-1&3& 0 
\end{amatrix}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\[
\begin{amatrix}{3}
2 & i & 5-3i &10 \\
4 & 2i & 10+2i &20+16i \\
2i & -1 & 4+6i &2+12i
\end{amatrix}
\]
\end{minipage}



Hvis du nå har skjønt foran og bak på gausseliminasjon, 
kan vi begynne på det som er gøy.

\begin{oppgave}{5}
Prøv å løse systemene
\[
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &4 \\
3 & 4 & 5 &5 \\
4 & 5 & 6 &3
\end{amatrix}
\qquad
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &8 \\
3 & 4 & 5 &10 \\
4 & 5 & 6 &12
\end{amatrix}
\qquad
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &0 \\
3 & 4 & 5 &0 \\
4 & 5 & 7 &0
\end{amatrix}
\qquad
\begin{amatrix}{3}
2 & 3 & 4 &0 \\
3 & 4 & 5 &0 \\
4 & 5 & 6 &0
\end{amatrix}
\qquad
\begin{amatrix}{2}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 2 \\
4 & 5 & 3
\end{amatrix}
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1003600-2}
\end{center}

\clearpage

For å skjønne hva som skjer i alle disse systemene,
må man studere teorien som ligger i bånn for lineære likningssystemer. 
Les Skartsæterhagens kompendium kap. 3-6.

\begin{oppgave}{6}
Alle punkter $(x,y,z)$ som passer i likningen 
$ax+by+cz=d$
ligger på ett og samme plan i rommet.
Forklar hva som skjedde i oppgave 5.
\end{oppgave}



Antagelig har du nå oppdaget at et lineært system kan ha 
entydig løsning eller ingen løsning eller uendelig mange løsninger. 
Med tre likninger og tre ukjente er dette geometrisk innlysende - 
tre plan kan skjære hverandre i ett enkelt punkt eller 
i uendelig mange eller ikke i det hele tatt. 
Men geometriske ideer om plan i $\mathbb{R}^3$ hjelper oss ikke dersom
vi skal forstå hvorfor
\[
\begin{amatrix}{2}
i  & 1   & -1 \\
1 &i  & i
\end{amatrix}
\]
har entydig løsning, mens
\[
\begin{amatrix}{2}
i  & 1   & -1 \\
-1 &i  & i
\end{amatrix}
\]
ikke har løsning i det hele tatt. 
La oss gå tilbake til likningssystemet fra reaksjonsbalanseringen:
\begin{align*}
	x_1 + 0x_2 -\hspace{2mm} x_3 &= 0 \\ 
	x_1 + 2x_2 -2x_3 &= 0
\end{align*}
Om vi bare tar et lite typografisk grep og skriver
\[
	\begin{pmatrix}
		1 \\
		1
	\end{pmatrix}
	x_1 +
	\begin{pmatrix}
		0 \\
		2
	\end{pmatrix}
	x_2
	+
	\begin{pmatrix}
		-1 \\
		-2
	\end{pmatrix}
	x_3 
	=
	\begin{pmatrix}
		0 \\
		0
	\end{pmatrix}
\]
ser vi at systemet er en vektorlikning
\[
\V v_1 x_1+
\V v_2 x_2+
\V v_3 x_3
=\mathbf b
\]
der lineærkombinasjonen av 
\[
\V v_1=
\begin{pmatrix}
	1 \\
	1
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
\V v_2=
\begin{pmatrix}
	0 \\
	2
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
\V v_3=
\begin{pmatrix}
	-1 \\
	-2
\end{pmatrix}
\]
kreves å være lik 
\[
\mathbf b=
\begin{pmatrix}
	0 \\
	0
\end{pmatrix}.
\]
En viktig definisjon: 
Vi sier at vektorene $\V v_1$,
$\V v_2$,...,
$\V v_n$ er \textbf{lineært uavhengige} dersom
\begin{align*}
\V v_1 x_1+
\V v_2 x_2+ \dots +
\V v_n x_n = \mathbf{0}
\hspace*{10mm}
\Longrightarrow
\hspace*{10mm}
x_1=x_2=\dots=x_n=0.
\end{align*}
Har vi lineær uavhengighet,
har vi også entydig løsning.

\begin{oppgave}{7}
	Vis dette. \\
	(Det er kanskje ikke så lett å komme på, 
	men ikke så vanskelig å skjønne om man får det forklart. 
	Vi hadde det på eksamen i 2022 og det gikk helt fint.)
\begin{comment}
	Grunnen til at jeg plager deg litt med det, 
er at det er lett å hoppe til den konklusjon at om 
det er flere likninger enn ukjente, 
\textit{må} det være umulig å finne en løsning. 
Dette er ikke sant. 
\end{comment}
\end{oppgave}

Fordelen med lineær uavhengighet er at man kan analysere likningssett
som flere dimensjoner enn tre eller forskjellig antall likninger og ukjente. 


\begin{oppgave}{8}
	Hvilke av systemene så langt har lineært uavhengige vektorer på venstresiden?
	%LF: husk lineært uavhengige likninger
\end{oppgave}

\clearpage

Lineærkombinasjonen
\[
\V v_1 x_1+
\V v_2 x_2+
\V v_3 x_3
\]
likner mistenkelig på et skalarprodukt mellom \say{vektoren} 
$(\V v_1,\V v_2,\V v_3)$ og den ukjente $\mathbf x$.
Denne nye vektoren
kalles en \textbf{matrise}:
\[
A=
(\V v_1,\V v_2,\V v_3)
=
\begin{pmatrix}
	1 & 0 & -1 \\
	1 & 2 & -2 \\
\end{pmatrix}
\]
En matrise er et tableau med tall. 
Faktisk er også $\mathbf x$ en matrise:
\[
\mathbf x=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
og vi tenker på det store dyret på venstresiden
\begin{align*}
\left( \; 
	\begin{matrix}
		x_1 + 0x_2 -\hspace{2mm} x_3  \\ 
		x_1 + 2x_2 -2x_3 
	\end{matrix}
\; \right)
=&	
\begin{pmatrix}
		1 \\
		1
	\end{pmatrix}
	x_1 +
	\begin{pmatrix}
		0 \\
		2
	\end{pmatrix}
	x_2
	+
	\begin{pmatrix}
		-1 \\
		-2
	\end{pmatrix}
	x_3 \\[2mm]
=&\;
\V v_1 x_1+
\V v_2 x_2+
\V v_3 x_3 \\[2mm]
=&
\begin{pmatrix}
	1 & 0 & -1 \\
	1 & 2 & -2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
A\mathbf x
\end{align*}
som et produkt mellom den kjente matrisen $A$ 
og den ukjente matrisen $\mathbf x$.
Dette produktet er en generalisering av skalarproduktet 
og kalles et \textbf{matriseprodukt}.
Dette er det viktigste produktet du kommer til å lære noen gang,
så la oss ta unna definisjonen.
En matrise
\[
\left(\;\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{matrix}\;\right)
\]
har \textbf{dimensjon} $m\times n$.
Matrisens \textbf{kolonner} er
\[
\vvvv{a_{11}}{a_{21}}{\vdots}{a_{m1}}\qquad
\vvvv{a_{12}}{a_{22}}{\vdots}{a_{m2}}\qquad
\cdots\qquad
\vvvv{a_{1n}}{a_{2n}}{\vdots}{a_{mn}}\qquad
\]
og matrisens \textbf{rader} er
\begin{gather*}
\left(\;\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
\end{matrix}\;\right)
\\
\left(\;\begin{matrix}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\end{matrix}\;\right)
\\
\vdots
\\
\left(\;\begin{matrix}
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{matrix}\;\right)
\end{gather*}
og her er definisjonen på matriseprodukt:\\
\textit{Dersom $A$ og $B$ er matriser med dimensjoner ${m\times n}$ og $n \times p$,
er elementet $c_{ij}$ i produktet $C=AB$ gitt ved
skalarproduktet mellom rad nummer $i$ i $A$ og kolonne nummer $j$ i $B$.}


\begin{oppgave}{9}
	Les kapittel 4 i Skartsæterhagens lineæralgebrakompendium og 
	gang sammen matrisene
	\[
		\begin{pmatrix}
		2 & 3 & 4 \\
		3 & 4 & 5 \\
		4 & 5 & 7
		\end{pmatrix}
		\quad \text{og} \quad
		\begin{pmatrix}
		1 & 4 & 7 \\
		2 & 5 & 8 \\
		3 & 6 & 9
		\end{pmatrix}.
	\]
\end{oppgave}

Siden et matriseprodukt består av $m\times p$ skalarprodukter, 
bør det være klart at man ikke kan gange sammen matriser med vilkårlig dimensjon. 
La
\[
A =
\begin{pmatrix}
 0 & 1 &  5 \\
 2 & 3 & -1 \\
-8 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
B =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\]

\begin{oppgave}{10}
Regn ut 
$AB$, 
$BA$,
$A^2$,
$B^2$
og 
$A+B$
eller forklar hvorfor uttrykkene ikke gir mening.
\end{oppgave}


La nå
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 7
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
B=
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}
\]

\begin{oppgave}{11}
Regn ut $AI$, $IA$, $AB$ og $BA$.
Hva tror du dette kan brukes til?
Gang
\[
\mathbf b=
\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
3
\end{pmatrix}
\]
inn på høyre side av $B$ og ta en ny titt på det første systemet i oppgave 3.
\end{oppgave}


Matrisen $I$ kalles \textbf{identitetsmatrisen}. 
Matrisen $B$ kalles $A$ sin \textbf{inverse matrise},
og vi skriver $B=A^{-1}$.
Kvadratiske matriser (matriser med like mange rader som kolonner)
har invers hvis og bare hvis kolonnene er lineært uavhengige, 
og inversen kan beregnes på mange forskjellige måter:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix}

\begin{oppgave}{12}
	I praksis beregner man aldri den inverse matrisen, 
	for det koster for mange regneoperasjoner. 
	Men én invers må man beregne i sitt liv. 
	Regn ut $A^{-1}$ ($A$ som over) på en eller annen måte og 
	løs oppgave 4 og 5 på nytt med invers.
	Hvilke matriser i oppgave 5 har invers?
\end{oppgave}

Matrisemultiplikasjon tilfredsstiller ellers mange regneregler du er vant til,
men ikke kommutativitet, unntatt i noen spesialtilfeller.
Kommutativitet er at faktorenes orden er likegyldig.
La
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 7
\end{pmatrix}
\quad \text{og} \quad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}.
\]

\begin{oppgave}{14}
Regn ut $AB$ og $BA$.
Er det noen matriser i denne økten som kommuterer?
\end{oppgave}

En liten ting til slutt: 
Vi skriver $\mathbb{R}^{m\times n}$ for 
mengden av alle $m \times n$-matriser med reelle komponenter. 
Det er praktisk, 
for nå kan vi si 
$\mathbb{R}^{m\times 1}$ 
og 
$\mathbb{R}^{1\times n}$
dersom vi trenger å skille mellom rad- og kolonnevektorer. 
Det må vi etterhvert.

Trenger du flere oppgaver, 
er disse relevante:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving02.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving03.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving04.pdf}\\
Løsningsforslag finner du her:\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving02-lf.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving03-lf.pdf}\\
\url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4110/2024h/oving04-lf.pdf}\\

\clearpage

Dersom kolonnene i en matrise $A$ er lineært avhengige,
betyr dette at likningen
\[
A\mathbf x=\mathbf 0
\]
har ikketrivielle løsninger,
altså andre løsninger enn $\mathbf x = \mathbf 0$.
Disse løsningene kalles \textbf{nullrommet} til $A$.
Nullrommet til $A$ dukker opp naturlig 
når man vil balansere reaksjonslikninger.
Reaksjonslikningen på den første siden er
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & -1 \\
		1 & 2 & -2
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2 \\
		x_3
	\end{pmatrix}
	&= 
	\begin{pmatrix}
		0 \\
		0
	\end{pmatrix}
\end{align*}
på matriseform,
og matrisen 
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & -1 \\
		1 & 2 & -2
	\end{pmatrix}
\end{align*}
kalles
\textbf{atommatrisen}.



\begin{oppgave}{15}
Balanser reaksjonen
\[
a\ce{C6H14O4}+b\ce{O2} \to c\ce{CO2}+d\ce{H2O}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{16}
Hva med
\[
a\ce{KCrO4}+b\ce{AgNO3} \to c\ce{Ag2CrO4}+d\ce{KNO3} \quad ?
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
Man produserer acrylonitril fra propylen, ammoniakk og oksygen slik:  
\[
a\ce{C3H6}+b\ce{NH3}+ c\ce{O2} \to d\ce{C3H3N}+e\ce{H2O}  
\]
Se eksempel 3.2 i Sigurd Skogestads klassiker om prosessteknikk.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{18}
Vi kan kjøre på systemer av reaksjonslikninger og. 
Her en prosess for å lage metanol.
\begin{align*}
a\ce{CO}+b\ce{H2} &\to c\ce{CH3OH} \\
d\ce{CO2}+e\ce{H2} &\to f\ce{CH3OH} + g\ce{H2O}
\end{align*}
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Methanol#Production}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Eller hva med litt dehydrogenering av etan?
\begin{align*}
a\ce{C2H6} &\to b\ce{C2H4} +c\ce{H2} \\
d\ce{C2H6}+e\ce{H2} &\to f\ce{CH4} 
\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{20}
Eller kanskje litt aluminiumproduksjon fra aluminiumoksid:
\[
a\ce{Al2O3}+b\ce{C} \to c\ce{Al}+d\ce{CO2}  
\]
\end{oppgave}

Takk til Svein Sunde og Sigurd Skogestad for eksempler.

\clearpage 



Av og til er det slik at ting er lineæralgebra selv om det ser ut som noe helt annet.


\begin{oppgave}{21}
La
\begin{align*}
p(x)&=8x^3-8x^2-4x-6 \\
q(x)&=-7x^3-7x^2+5x+6 \\
r(x)&=3x^2-8x-4
\end{align*}
Finnes det konstanter $a$, $b$ og $c$ slik at
\[
a\cdot p(x)+b\cdot q(x)+c\cdot r(x)=-3x^3-7x^2-3x?
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{22}
La
\begin{align*}
p(x)&=-6x^3-4x^2-8x+8 \\
q(x)&=6x^3+5x^2-7x-7 \\
r(x)&=-4x^3-8x^2+3x
\end{align*}
Finnes det konstanter $a$, $b$ og $c$ slik at
\[
a\cdot p(x)+b\cdot q(x)+c\cdot r(x)=-3x^2-7x-3?
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{23}
	La 
	\begin{align*}
		z = 
		\begin{pmatrix}
			a & b \\
			-b & a
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	Mengden av alle matriser på denne formen oppfører seg nøyaktig som noe du allerede har sett. Hva?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{24}
La
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\quad
\text{og}
\quad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
\]
Er kolonnene i $AB$ lineært uavhengige?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{25}
Kan en lineært uavhengig vektormengde inneholde nullvektoren?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{26}
Vis at to vektorer er lineært avhengige hvis og bare hvis de er parallelle.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1003490}
\end{center}
\end{document}
