\input{preamble}

\title{1 - 3 - DIFFERENSIALLIKNINGER II}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

I forrige økt ba jeg deg om å lete etter løsninger til kloss-og-fjærlikningen
\[
\ddot x(t)+\frac{k}{m}x(t)=0,
\]
men jeg sa aldri hva de var - 
vi må nemlig ha komplekse tall for å håndtere løsningene på en fornuftig måte. 
Før vi lærer den generelle løsningsteknikken, 
skal vi introdusere en kraft til. 
\textbf{Friksjonskraft} er som regel avhengig av farten $\dot x$, 
og hele tiden rettet mot fartsretningen. 
Friksjon er komplisert,\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Friction}
} 
men det er ikke uvanlig å anta at friksjonskraften er proporsjonal med $\dot x$: 
\begin{align*}
	F(\dot x) = -\mu \dot x	
\end{align*}
Dette er i mange systemer en rimelig antagelse dersom hastigheten er lav,
og uansett det eneste som er banalt nok til at vi kan håndtere det her og nå. 
Newtons andre lov $F=m\ddot x$ blir 
\begin{align*}
	m\ddot x(t) = - kx(t) - \mu\dot x(t),
\end{align*}
dersom klossen opplever en slik friksjon i tillegg til fjærkraften. Vi rydder og skriver 
\begin{align*}
	\ddot x(t) + \frac{\mu}{m}\dot x(t) + \frac{k}{m}x(t) = 0.
\end{align*}

\vspace*{-5mm}
\begin{minipage}{110mm}
\begin{oppgave}{1}
	Hvis du nå tror at du kun studerer kloss og fjær ved å løse denne likningen,
	kan du prøve å bruke Kirchhoffs spenningslov på denne kretsen.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw  (-1,3) to [C=$C$] (-1,1.4);
\draw  (-1,3) to [R=$R$]  (2,3) to [cute inductor=$L$] (2,1.4) to  (-1,1.4);
\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1020494}
\end{center}

\clearpage




Det bør altså være klart at én og samme differensiallikning
kan ha mange mange bruksområder.\footnote{
	\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_21.html}
}
Vidt forskjellige fysiske fenomener kan oppføre 
seg dønn likt matematisk sett.
Nå skal vi se på hvordan vi finner løsningene 
på de foregående likningene. 
Det er litt mer kjelkete med andre ordens likninger,
så la oss sette $m=L=1$, 
$\mu=R = 3$ og $k=1/C = 2$, 
slik at vi får likningen 
\begin{align*}
	\ddot x(t) + 3\dot x(t) + 2x(t) = 0.
\end{align*}
Det første vi gjør er å observere at siden 
\begin{align*}
	\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 
	\left( \lambda + 1 \right)
	\left( \lambda + 2 \right)
\end{align*} 
kan vi 
\say{faktorisere} likningen slik:
\begin{align*}
	\left( \frac{d}{dt} + 1\right)
	\left( \frac{d}{dt} + 2\right)
	x(t) = 0
\end{align*}
La nå oss nå innføre en hjelpevariabel
\begin{align*}
	y(t) = 
	\left( \frac{d}{dt} + 2\right)
	x(t) = 
	\dot x(t)+2x(t).
\end{align*}
Denne tilfredssstiller 
\begin{align*}
	0 = 
	\left( \frac{d}{dt} + 1\right)
	y(t) = 
	\dot y(t)+y(t),
\end{align*}
som impliserer at 
\begin{align*}
	y(t) = c_1 e^{-t}.
\end{align*}
Men i så fall må 
\begin{align*}
	\dot x(t)+2x(t) = 
	c_1 e^{-t}
\end{align*}
slik at 
\begin{align*}
	x(t) &= c_2e^{-2t} + c_1\int^t e^{2(s-t)}e^{-s} ds \\
	&=  
	c_2e^{-2t} + c_1\int^t e^{s-2t} ds =  
	c_2e^{-2t} - c_1 e^{-t}.
\end{align*}
Siden $c_1$ bare er en integrasjonskonstant, 
kan vi bytte fortegn 
og skrive løsningen litt penere:
\begin{align*}
	x(t) =
	c_1e^{-t} + c_2 e^{-2t}.
\end{align*}
Hvis du nå studerer dette litt nøye,
vil du se at det er ingenting spesielt med likningen 
\begin{align*}
	\ddot x(t) + 3\dot x(t) + 2x(t) = 0.
\end{align*}
Hadde vi prøvd å løse
\begin{align*}
	a_2\ddot x(t) + a_1 \dot x(t) + a_0 x(t) = 0
\end{align*}
kunne vi gått frem på samme måte, 
og funnet at  
\begin{align*}
	x(t) =
	c_1e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}
\end{align*}
der $\lambda_1$ og $\lambda_2$ er røttene til 
likningens \textbf{karakteristiske polynom}
\begin{align*}
	a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0 = 
	a_2\left( \lambda - \lambda_1 \right)
	\left( \lambda - \lambda_2 \right).
\end{align*}
Denne strategien produserer korrekte løsninger
så lenge $\lambda_1 \neq \lambda_2$. 
Dersom $\lambda_1 = \lambda_2$ blir det litt annerledes,
men dette tilfellet er en matematisk abstraksjon som 
sjelden inntreffer i virkelige anvendelser.
Det er av mange grunner mest praktisk å dele ut $a_2$ eller sette $a_2=1$,
for hvis $a_2$ skulle slumpe til å bli null,
blir det rot i systemet siden likningen ikke lenger er av andre orden.
Derfor skriver vi 
\[
	\ddot x + a_1 \dot x + a_0 x = 0
\]
som er en 
\textbf{homogen andre ordens lineær differensiallikning med konstante koeffisienter}.
La
\[
	\delta = - \frac{a_1}{2}
	\hspace{10mm}
	\text{og}
	\hspace{10mm}
	\omega_0 = \left| \frac{\sqrt {a_1^2-4a_0}}{2} \right|.
\]
Løsningen klassifiseres i tre forskjellige tilfeller
alt etter fortegnet på $a_1^2-4a_0$:
\begin{itemize}
	\item[\textbf{1:}] Dersom $a_1^2-4a_0>0$ blir det enkelt,
	da finnes det to reelle røtter
	\[
		\lambda = \delta \pm \omega_0
	\]
	\vspace{-5mm}
	slik at
	\begin{align*}
		x(t)&=\hspace{1mm}c_1e^{\left( \delta + \omega_0 \right)t} + c_2e^{\left( \delta - \omega_0 \right)t} \\[2mm]
		    &=\hspace{1mm}e^{\delta t}\left( c_1e^{\omega_0 t} + c_2e^{ - \omega_0 t} \right).
	\end{align*}


	\item[\textbf{2:}] Dersom $a_1^2-4a_0=0$,
	finnes det en dobbel rot $\lambda = \delta$,
	og løsningen blir
	\[
		x(t)=c_1e^{\delta t}+c_2te^{\delta t}.
	\]
	\vspace{-5mm}
	\item[\textbf{3:}] Dersom $a_1^2-4a_0<0$,
	er løsningen til den karakteristiske likningen
	\[
		\lambda = \frac{-a_1 \pm \sqrt {a_1^2-4a_0}}{2} = -\frac{a_1 }{2} \pm i\frac{\sqrt {4a_0-a_1^2}}{2} = \delta \pm i\omega_0
	\]
	\vspace{-5mm}
	slik at

	\begin{minipage}{80mm}
		\begin{align*}
			x(t)=&\hspace{1mm}c_1e^{\left( \delta + i\omega_0 \right)t} + c_2e^{\left( \delta - i\omega_0 \right)t}\\[2mm]
		 	   =&\hspace{1mm}e^{\delta t}\left( c_1e^{i\omega_0 t} + c_2e^{ - i\omega_0 t} \right) \\[2mm]
		  	  =&\hspace{1mm}e^{\delta t}\left( d_1\cos\left( \omega_0 t \right) + d_2\sin\left( \omega_0 t \right) \right).
		\end{align*}
	\end{minipage}
	\begin{minipage}{80mm}
\begin{align*}
		 %\text{husk at} &\; e^{it} = \cos t + i \sin t: \\
	d_1 &= \hspace{4mm} c_1 + c_2 \\
	d_2 &= \hspace{1mm} i\left( c_1 - c_2 \right)
\end{align*}
\end{minipage}
\end{itemize}

Skriv opp løsningen når

\begin{minipage}{37mm}
	\begin{oppgave}{2}
		$a_1=a_0=1$. 
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{37mm}
	\begin{oppgave}{3}
		$a_1=2$, $a_0=1$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{37mm}
	\begin{oppgave}{4}
		$a_1=0$, $a_0=1$
	\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{37mm}
	\begin{oppgave}{5}
		$a_1=3$, $a_0=1$
	\end{oppgave}
\end{minipage}


\clearpage

Løsningen til 
\[
\ddot x(t)+\frac{k}{m}x(t)=0,
\]
er
\[
x(t)=c_1 \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t \right)+ c_2 \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t\right).
\]
der $c_1$ og $c_2$ er vilkårlige konstanter.
Dette systemet kalles en harmonisk oscillator,
og løsningen er en bevegelse som aldri stopper opp.
Hvis vi skal beregne en faktisk løsningstrajektorie,
må vi vite noe om både startposisjon og startfart.
Finn $x$ dersom

\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{6}
	 $x(0)=1$ og $\dot x(0)=0$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{7}
	 $x(0)=0$ og $\dot x(0)=1$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{8}
	 $x(0)=x_0$ og $\dot x(0)=v_0$.
\end{oppgave}
\end{minipage}

%\begin{center}
%$\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1000685}
%\end{center}


Kirchhoffs spenningslov sier at spenningsfallet over en
lukket sløyfe i en elektrisk krets alltid må være null.
I likhet med Newtons andre lov,
er dette også en differensiallikning dersom du har spoler eller kondensatorer i kretsen.
Det har man alltid,
for alle kretser har bittelitt tilsiktet eller utilsiktet kapasitans og induktans.
Kirchhoffs spenningslov på kretsen til høyre gir
\\[1mm]
\begin{minipage}{9cm}
\[
L\dot i(t)+\frac{1}{C}\int_0^t i(s)\; ds=0
\]
og deriverer vi hele greia,
får vi
\[
L\ddot i(t)+\frac{1}{C}i(t)=0,
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw  (-1,3) to [C=$C$] (-1,1);
\draw  (-1,3) to  (2,3) to [cute inductor=$L$] (2,1) to  (-1,1);
\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}

som har løsning 
\[
i(t)=c_1 \cos \left( \frac{1}{\sqrt{LC}} t\right) + c_2 \sin \left(\frac{1}{\sqrt{LC}} t\right).
\]
Dette systemet er også en harmonisk oscillator,
og matematisk identisk med fjæren og klossen.
Om du bare fikk løsningstrajektorien i et plot og ingen informasjon om
hva det var for noe,
er det ikke mulig å gjette om løsningen kommer fra en spole og kondensator
eller en fjær og en kloss.


Spenningen over kondensatoren er proporsjonal med hvor mye ladning som er kjørt inn på den:
\[
v(t)=v(0)+\frac{1}{C}\int_0^t i(s)\; ds
\]
Med andre ord ka vi lade den opp med et
batteri først og så koble av batteriet og så koble kondensatoren
i sløyfe med noe annet mens det er spenning på den.
Da vil strømmen begynne å gå i kretsen,
og denne vil oppføre seg etter differensiallikningen over.
Finn $i(t)$ dersom

\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{9}
	 $i(0)=1$ og $\dot i(0)=0$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{10}
	 $i(0)=0$ og $\dot i(0)=1$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{11}
	 $i(0)=i_0$ og $\dot i(0)=v_0$.
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1006043}
\end{center}

\clearpage

Det går an å lage en formel for løsningen til likning med påtrykt kraft $f$:
\[
	\ddot x(t) + a_1 \dot x(t) + a_0 x(t) = f(t) 
	\hspace*{10mm}
	x(0) = x_0
	\hspace*{10mm}
	\dot x(0) = v_0
\]
men denne er temmelig hårete. 
Til våren skal vi lære noen pene triks for å 
løse denne likningen for de viktigste klassene av påtrykte krefter.
I dette semesteret skal vi begrense oss til 
\begin{align*}
	f(t) = e^{i\omega t}
\end{align*}
for man kommer langt med bare denne. 
Husk at løsningen til 
\[
	\dot x(t) + \lambda x(t) = f(t) 
	\hspace*{10mm}
	x(0) = x_0
\]
er 
\begin{align*}
x(t)& = x_0e^{-\lambda t} + \int_0^t f(s)e^{-\lambda(t-s)}\; ds \\[3mm]
&=x_h(t) + x_p(t)  
\end{align*}
der $x_h$ står for \textbf{homogen løsning},
og $x_p$ for \textbf{partikulær løsning}. 
Løsningen til den andre ordens likningen følger det samme systemet. 
Den homogene løsningen $x_h$ er den vi fant på de foregående sidene,
altså løsningen til 
\[
	\ddot x_h(t) + a_1 \dot x_h(t) + a_0 x_h(t) = 0.
\]
Dersom $f(t) = e^{i\omega t}$,
er 
\begin{align*}
	x_p(t) = H(\omega) e^{i\omega t}
\end{align*}
der $H$ er en funksjon som kalles 
\textbf{frekvensresponsen} til differensiallikningen.


\begin{oppgave}{12}
	Denne kan du finne ved å sette $x_p(t) = H(\omega) e^{i\omega t}$ inn i likningen og sammenlikne høyre og venstre side.
    Løs initialverdiproblemene
    \[
        \ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) = e^{i\omega t} \hspace{10mm} x(0)=\dot x(0)=0
    \]
	og
	\[
        \ddot x(t) + \dot x(t) + x(t) = \cos\left(\omega t \right) \hspace{10mm} x(0)=\dot x(0)=0.
    \]
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1019717}
\end{center}

\clearpage

\begin{minipage}{100mm}
	Dersom $\omega = 0$, 
	blir blir $f(t)=1$ og $x_p(t) = H(0)$, 
	som er konstant. 
	Dette er et viktig spesialtilfelle. 
	Et fysisk eksempel som er lett å huske,
	er Newtons andre lov anvendt på støtdemperen på en bil.
	En masse $m$ med vertikal posisjon $x$ hviler på en fjær med fjærstivhet $k$.
	Massen blir trukket nedover av tyngdekraften $mg$,
	og inni fjæren sitter en støtdemper som for enkelhets 
	skyld bidrar med en friksjonskraft som er proporsjonal med $\dot x$.
	Newtons andre lov sier at masse ganger akselerasjon skal være lik summen av disse tre kreftene,
	og setter vi positiv $x$-retning nedover,
	får vi
		\[
			m\ddot{x}=-kx - \mu \dot{x} + mg.
		\]
	\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\hspace{4mm}
\includegraphics[scale=.6]{../figurer/demper}\\[-2mm]
\begin{center}
	Kilde: howstuffworks.com
\end{center}
\end{minipage}

Hvis vi nå sorterer alt etter konvensjonen,
med alle ledd som involverer den ukjente på den ene siden og alt annet på den andre siden,
får vi
\[
	m\ddot{x}+ \mu\dot{x} +kx  = mg.
\]
Nå deler vi på $m$,
og får
\[
	\ddot{x}+ \frac{\mu}{m}\dot{x} +\frac{k}{m}x  = g
\]
slik at $a_1=\mu/m$, $a_0=k/m$ og $f(t)=g$.
Den partikulære løsningen 
%\[
%	x_p = H(0) = \frac{mg}{k}.
%\]
kalles i dette tilfellet \textbf{likevektsløsningen},
for det er den konsante $x$-verdien
der systemet \say{helst vil være}.
Hvis du har en stor masse på en svak fjær,
vil likevektsposisjonen ligge lavt,
og omvendt.\footnote{
Det er viktig at fjæren er tilpasset massen som skal hvile på den,
men det er litt slingrinsmonn;
lastebiler har luftfjæring,
slik at man kompensere for den store vektforskjellen mellom med og uten last,
og en moderne SUV har gjerne luftfjæring for å kunne regulere bakkeklaringen.
}

\begin{oppgave}{13}
	Finn den partikulære løsningen $x_p$. 
\end{oppgave}


I en moderne bil er fjærstivheten $k$ er tilpasset vekten $m$ på akslingen,
men dempingen $\mu$ endres etterhvert som demperen slites.
La oss for enkelhets skyld si at $k=m=1$,
slik at 
\[
	\ddot{x}+ \mu\dot{x} +x  = g.
\]

\begin{oppgave}{14}
	Regn ut løsningen og plott den for $\mu = 3$, $\mu = 2$ og $\mu = 1$.
	Bruk initialkrav $x(0) = \dot x(0) = 0$.
	Etterpå kan du slå opp i kapittel 2.4 i Kreyszig.\\
\end{oppgave}

\begin{minipage}{32mm}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/IMG_0244}
\end{minipage}
\begin{minipage}{32mm}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/IMG_0315}
\end{minipage}
\begin{minipage}{32mm}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/IMG_0382}
\end{minipage}
\begin{minipage}{32mm}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/IMG_0678}
\end{minipage}
\begin{minipage}{32mm}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/IMG_0935}
\end{minipage}

\clearpage

Initialkravene $x(0) = \dot x(0) = 0$ betyr at vi setter i gang systemet
fra den posisjonen der fjæren hverken er komprimert eller strukket.
Du kan tenke at vi jekker opp bilen til det punktet det ikke er noen vekt på fjæren,
og så sjekker vi hvordan systemet reagerer
ved å slippe den raskt ned igjen,
for eksempel ved å ta jekken brått vekk.
Her er plot av løsninger for $\mu=1/2$ (blå),
$\mu=1$ (oransje),
$\mu=3/2$ (grønn),
$\mu=2$ (rød),
$\mu=5/2$ (lilla)
og
$\mu=3$ (brun):



\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/demperplot}
\end{center}

Det er vanlig å kalle de tre tilfellene $\mu < 2$, $\mu = 2$  og $\mu > 2$ for
\textbf{underkritisk dempet},
\textbf{kritisk dempet} og
\textbf{overkritisk dempet},
henholdsvis.
Dette korresponderer til de tre løsningsvariantene.

\begin{oppgave}{15}
Omtrent hvilken verdi for $\mu$ tror du EU-kontrolløren vil ha for å godkjenne demperen?
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1019719}
\end{center}

\clearpage

Fordelen med å kjenne til et slikt fysisk eksempel som demperen over,
er at historien kan gjenbrukes.
Har du skjønt spole,
kondensator og motstand og Kirchhoffs spenningslov,
skjønner du at dersom du plukker ut en hver fra skuffen din og
kobler dem i serie med et batteri slik:

\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/rlc-krets}
\end{center}

så er dette det samme som å løse initivalverdiproblemet
\[
	L\ddot v(t) + R\dot v(t) + \frac{1}{C} v(t) = 9.81.
\]
Hele analysen kan altså gjenbrukes uten modifikasjon,
man må bare skjønne at induktansen $L$ korresponderer til massen $m$,
den omvendte kapasitansen $1/C$ til fjærstivheten,
og motstandsverdien $R$ til dempingen.
Alt dette forklarer forresten ideen bak en \textit{analog datamaskin}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Analog_computer}
}
Istedet for å bygge mange dyre fjærer og dempere og sette dem sammen for å teste,
kan du sette sammen en ekvivalent RCL-krets og gjøre empirisk testing på den.
Hvis du vil teste noen endringer i et eller annet,
finner du bare ut hvordan RCL-kretsen må endres og så tester du den istedet.
I gamle dager var dette et viktig ledd i arbeid med prototyper,
spesielt innen luftfart, der alle komponenter er dyre å produsere.

\begin{oppgave}{16}
	Sett sammen RCL-kretsen over,
	og se om du greier å reprodusere plottet på forrige side med et oscilloskop.
	Spoler er ikke så lett å få tak i, 
	men let på OV. 
	Jeg har et par på kontoret.
	Har også en analog datamaskin tilgjengelig.
\end{oppgave}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.21]{../figurer/L1002713}
\end{center}


\section*{UKENS NØTTER}




Vanligvis i reguleringsteknikk er man interessert i å styre et system mot en bestemt verdi.
En av de grunnleggende måtene å gjøre dette på,
kalles PID-regulator, se kap. 6 i Gravdahls kompendium.
En PID-regulator funker slik at man måler avstanden $r$ mellom
en måling $y$ av den ukjente $x$ og en ønsket referanseverdi $r$,
og så legger man på tre forskjellige pådrag basert på dette.
Nå skal vi studere dette litt med penn og papir,
så da setter vi $y=x$ for enkelhets skyld.

De tre heter P-regulator (P for \say{proporsjonal}):
\[
u_P(t)=K_P(r-x)
\]
I-regulator (I for \say{integral}):
\[
u_I(t)=K_I\int_0^t r-x
\]
og D-regulator (D for \say{derivert}):
\begin{align*}
u_D(t)=K_D(\dot r-\dot x)
% (&=-K_D\dot{x} \; \text{om $r$ er konstant})
\end{align*}
Alle regulatorene har hver sin unike respons på avviket,
og systemets totale pådrag er summen av regulatorene:
\[
u(t)=u_P(t)+u_I(t)+u_D(t)
\]
Denne skal inn på høyresiden i differensiallikningen:
\[
\ddot x + b \dot x + c x = u
\]
Man styrer systemet ved å sette $K_P$, $K_I$ og $K_D$
slik at $x$ styres mot  $r$ raskest mulig,
men uten å sette regulatoren under for høyt press:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/PID_controller}

Når likningen er lineær og $r$ er konstant,
går det helt fint med penn og papir å regne ut hva $x$ blir om
man bestemmer seg for $r$.
Skriv opp løsningen til

\begin{oppgave}{1}
$
\dot x + b x  = u_P
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
$
\dot x + b x  = u_P + u_D
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
$
\dot x + b x  = u_P + u_D + u_I
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
$
\ddot x + b \dot x + c x = u_P
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
$
\ddot x + b \dot x + c x = u_P + u_D
$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
$
\ddot x + b \dot x + c x = u_P + u_I + u_D \quad \text{(denne klarer du nok ikke, men du kan jo alltids prøve)}
$
\end{oppgave}

Ziegler-Nichols' metode er en sjalabaismetode for å tune PID-regulatorer.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ziegler-Nichols_method}
}
Den består i å først sette $K_I=K_D=0$ og så sette $K_P$ slik at man får stabile oscillasjoner.
Så skrur man opp $K_I$ og $K_D$ til det ser bra ut.

\begin{oppgave}{7}
Sett $K_I=K_D=0$ og finn $K_P$ slik at
$
\ddot x + b \dot x + c x = u_P
$
har stabile oscillasjoner.
\end{oppgave}


\end{document}
