\input{preamble}

\title{1 - 2 - TALL}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle



På skolen lærte du Newtons andre lov
$
F=ma.
$
Dette er en differensiallikning,
men på skolen ble du nok stort sett plaget med konstante krefter
og konstant akselerasjon.
Den generelle varianten 
sier at kraft er lik tidsendring av bevegelsesmengde:
\[
F=\frac{d}{dt}\left( m \dot x \right)
\]
Du tenker kanskje at det er rart å tidsderivere massen $m$,
men dersom du reiser rundt i en ting der drivstoffet er en betydelig del av totalvekten,
kan massen endre seg betraktelig med tiden.
Vi skal ikke plages med variabel masse, 
så derfor kan vi skrive Newtons andre lov slik:
\[
F=m\ddot{x}
\]
Her er et klassisk eksempel.
En kloss med masse $m$ sklir friksjonsfritt på underlaget,
og er festet til veggen med en fjær med fjærstivhet $k>0$.
Hookes fjærlov$^1$ 
sier at kraften $F(x$) fra fjæren på klossen er proporsjonal 
med avstanden $x$ fjæren er strukket:
\[
F(x)=-kx
\]
\begin{minipage}{90mm}
Dersom $x(t)$ er klossens posisjon, er klossens akselerasjon gitt ved $\ddot{x}(t)$,
og Newtons andre lov gir
\[
-kx(t)=m\ddot x(t).
\]
Vi rydder litt
og setter $k/m=1$,
og får
\[
\ddot x(t)+ x(t)=0.
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{70mm}
\hspace{7mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/Hooke.pdf}
\end{center}
\end{minipage}

Dette er også et LTI-system, 
og er det noe du bør ha i ryggmargen, 
er det at man bør sjekke ut løsninger på formen
\begin{align*}
    x(t) = e^{\lambda t}.
\end{align*}

\begin{oppgave}{0}
    Hva må $\lambda$ være for at denne skal passe i likningen?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/L1000977}
\end{center}

$^1$\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law}

\clearpage

Setter du
$x(t) = e^{\lambda t}$ 
inn i $\ddot x(t)+ x(t)=0$ og deler ut $e^{\lambda t}$,
får du
\begin{align*}
    \lambda^2 + 1 = 0.
\end{align*}
Hvis du nå har gått på norsk gymnas og lært at denne likningen ikke har løsning, 
vil du kanskje konkludere med at $x(t) = e^{\lambda t}$ ikke 
er en løsning av $\ddot x(t)+ x(t)=0$,
men dette er feil, 
og dette motiverer de
\textbf{komplekse tallene} $\mathbb C$. 
La oss gå noen knepp bakover i historien.
På Gløshaugen og andre steder opererer vi stort sett med seks \textbf{tallmengder}:
\[
\mathbb N\subset \mathbb Z\subset \mathbb Q\subset \mathbb R\subset \mathbb C\subset \mathbb H
\]
Den innerste tallmengden, $\mathbb N$, 
kalles \textbf{de naturlige tallene}, 
og det er disse du bruker når du teller:
\[
\mathbb N=\left\{1, 2, 3, 4...\right\}
\]
De første sikre arkeologiske tegn på menneskelig bruk 
av tall er et fem tusen år gammelt bokføringssystem fra Mesopotamia,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_ancient_numeral_systems}}
og noen dyr har rudimentær tallforståelse.\footnote{\url{https://link.springer.com/article/10.1007/s10071-006-0034-7}}
Mennesket har funnet opp noen tall som ikke dyrene har bruk for;
det er for eksempel ikke nødvendig for en bavian å vite noe om negative tall.
Den neste tallmengden, $\mathbb Z$, kalles \textbf{de hele tallene}. 
Disse består av de naturlige tallene samt de negative heltallene og null:
\[
\mathbb Z=\left\{0,1,-1, 2, -2...\right\}
\]
De negative tallene ble oppfunnet av en kineser omtrent 200 AD, 
selv om vi i vesten liker å si at de ble oppfunnet av Rene Descartes på 1600-tallet.
Null er en litt eldre oppfinnelse, 
her snakker vi Egypt nesten to tusen år Kristus.
Den egyptiske hieroglyfen for null, nfr, betyr noe sånt som \say{vakker}. 
Mayaindianerne oppdaget også null, 
men det var mye senere, 
omtrent år null. 

En bavian trenger heller ikke vite hvordan
man trekker tre fiken fra fem eller deler tre fiken på fem individer,
for bavianen lever i voldelige mannsdominerte hierarkier, 
og den som er høyest i hierarkiet spiser alltid opp alle fiknene om han er sulten. 
De \textbf{rasjonale tallene} $\mathbb Q$, 
er alle brøker:
\[
\mathbb Q=\left\{\frac{a}{b}\hspace{5mm} \text{der}\hspace{5mm} a,b \in \mathbb Z,\; b\neq 0  \right\}
\]
De første sikre skriftlige kilder om rasjonale tall er fra noen hundre år før Kristus,
Euklids Elementer er kanskje den mest kjente.
De rasjonale tallene har noen problemer - 
det er mange nyttige tall som ikke kan skrives som en brøk.
Dette har vært kjent i India siden omtrent 700 år før Kristus,
og på lunsjrommet vårt fortelles stadig røverhistorien om Hippasos som ble 
kastet på havet av Pytagoras da han oppdaget dette.
Oppdagelsen var pinlig for Pytagoras, 
som hele livet hadde påstått at alle tall kunne skrives som brøk.

\begin{oppgave}{1}
    Vis at  $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007196}
\end{center}

\clearpage

Det er noe litt uforløst over å ha et tallsystem der det ikke finnes noe tall for diagonalen 
i et kvadrat med sidekant 1,
så derfor har vi funnet opp tallet 
\[
\sqrt{2}\approx 1.4142\dots,
\]
og en svær haug med liknende problemer har ledet oss til å finne opp \textbf{reelle tallene} $\mathbb R$. 
De reelle tallene kan defineres på mange måter;
det er en ganske teknisk jobb å gjøre dette ordentlig.
Richard Dedekind påsto selv at han skrev 
ned den første presise definisjonen %den 24. november 
i 1858,
men Georg Cantor var først ute med å publisere en ekvivalent definisjon i 1871. 
Dedekind gjorde det omtrent slik:
\[
\mathbb R= \left\{ \text{alle regler for å klippe de rasjonale tallene i to deler}\right\}
\]
For eksempel identifiserer vi $\sqrt[3]{2}$ med mengden av alle rasjonale tall $p$ slik at $p^3<2$.

Et grundig studium av de reelle tall er nok mest interessant for matematikere,
og Isaac Newton fant ut av differensialregning lenge 
før noen skjønte hva de reelle tallene var.
Hvis du skjønner at ikke alt kan skrives som en brøk, 
har du kommet lenger enn Pytagoras.
\footnote{Antagelig er røverhistorien over ikke sann. 
Historikerne vet lite om Pytagoras.}
Det som er viktig for å forstå rotasjon, 
elektro og kvantemekanikk er
\textbf{de komplekse tallene} $\mathbb{C}$. 
Moderne teknologi er utenkelig uten disse.
Den første som begynte å fikle med 
komplekse tall
var Girolamo Cardano i 1545, 
i forbindelse med løsninger av polynomlikninger.
Man kan tenke som følger. 
Likningen 
\[
\lambda+2=0
\]
har ingen positiv løsning,
og derfor har vi funnet opp $\mathbb{Z}$.
Likningen 
\[
3\lambda-2=0
\]
har ingen heltallig løsning,
og derfor har vi funnet opp $\mathbb{Q}$.
Likningen 
\[
\lambda^2-2=0
\]
har ingen rasjonal løsning,
og derfor har vi funnet opp $\mathbb{R}$.
Likeledes har likningen 
\[
\lambda^2+1=0
\]
ingen reell løsning, 
så vi kan like gjerne finne opp et tall til. 
Det kalles den \textbf{imaginære enheten}, 
skrives $i$, 
og tilfredsstiller
\[
i^2=-1.
\]

\begin{oppgave}{2}
Hva må du gange med seg selv for å få -4?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.13]{../figurer/L1007073-Pano}
\end{center}

\clearpage


Den imaginære enheten er 
fysisk sett akkurat like uunværlig som kvadratroten av to,
du må bare kunne litt mer avansert fysikk før dette blir klart.\footnote{\url{https://www.scientificamerican.com/article/quantum-physics-falls-apart-without-imaginary-numbers/}}
Hvis man skal skrive opp definisjonen av de komplekse tallene, 
kan det være lurt å ta følgende oppgave først. 

\begin{oppgave}{3}
Finn alle løsninger av likningen
$x^2+2x+2=0$,
bruk $i$ til å skrive opp svaret på en fornuftig måte,
og faktoriser polynomet
$
p(x)=x^2+2x+2.
$
\end{oppgave}

Oppgavene over inspirerer oss til å definere komplekse tall på kartesisk form:
\[
\mathbb C = \left\{z=a+bi\hspace{3mm} \hspace{3mm} \text{der}\hspace{3mm} a,b \in \mathbb R \right\}
\]
\begin{minipage}{95mm}
De reelle tallene $a$ og $b$ 
kalles \textbf{realdelen} og {\textbf{imaginærdelen}} til $z$.
Alternativ notasjon er $a=\text{Re}(z)$ og $b=\text{Im}(z)$. 
Et komplekst tall likner på mange måter en vektor i $\mathbb R^2$. 
Vi kan tenke at $a$ og $b$ er komponenter i en slik vektor,
og avmerke $z$ i \textbf{det komplekse planet}.
Det komplekse planet er faktisk oppfunnet av 
broren til Johan Herman Wessel.
%norsk landmåler, Caspar Wessel, 

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[->] (0,-1) -- (0,4);
\node[anchor=east] at (9.8,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,3.8) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-1,1,2,3}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (2,3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=2+3i$};
%\filldraw (2,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$\overline z=2-3i$};
%\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$w=4+5i$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

Regneregler for komplekse tall følger regnereglene for reelle tall, 
men du må huske at $i^2=-1$.
La $z=a+bi$ og $w=c+di$.
Vi har\\
\begin{minipage}{80mm}
\begin{align*}
z+w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}a+c+(b+d)i \\[4pt]
z-w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}a-c+(b-d)i \\[4pt]
z\cdot w\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}ac-bd+(bc+ad)i\\[4pt]
\frac{z}{w}\hspace{1mm}&=\hspace{1mm}\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\vspace{2mm}
\[
i^k=
\begin{cases}
\hspace{4mm}1 & k = 0,4,8\dots \\[3mm]
\hspace{4mm}i & k = 1,5,9\dots \\[3mm]
\hspace{1mm}-1 & k = 2,6,10\dots \\[3mm]
\hspace{1mm}-i & k = 3,7,11\dots 
\end{cases}
\]
\end{minipage}

Komplekse tall legges sammen komponentvis akkurat som vektorene du lærte om på gymnaset.
Multiplikasjon og divisjon har ingen tilsvarende operasjoner i gymnasvektorregningen.

\begin{oppgave}{4}
La $z=2+3i$ og $w=4+5i$. 
Regn ut $z+w$, $z-w$, $z\cdot w$, $z/w$,
$z^2$ og $z^3$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Utled regnereglene.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1007147-Pano}
\end{center}

Regneregelen for $z/w$ er kanskje ikke helt triviell.
Når vi deler et komplekst tall på $z=a+bi$, 
ganger vi oppe og nede med \textbf{$z$ konjugert}:
\[
\overline z =a-bi
\]
Dette er fordi $z\overline z=a^2+b^2$ er et reelt tall. 


\begin{minipage}{20mm}
\begin{oppgave}{6}
Vis at:
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{130mm}
\vspace{-4mm}
\begin{align*}
\overline{z+w}&=\overline{z} + \overline{w} \hspace{17mm} 
\overline{z\cdot w}=\overline{z} \cdot \overline{w} \hspace{13mm} 
z+\overline{z}=2a  \\[1mm]
\overline{z-w}&=\overline{z} - \overline{w} \hspace{18mm} 
\overline{z/ w}=\overline{z} / \overline{w} \hspace{14mm} 
z-\overline{z}=2bi  
\end{align*}
\end{minipage}
\vspace{-1mm}

\begin{minipage}{80mm}
Avstanden $r$ fra det komplekse tallet ${z=a+bi}$ til origo, 
og vinkelen $\theta$ med den reelle aksen,
kalles $z$ sine  \textbf{polare koordinater},
og alle barn i barnehagen ser lett at 
\begin{align*}
a= r\cos \theta \\
b= r\sin \theta 
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-5,0) -- (8,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,6);
\node[anchor=west] at (9,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,6) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=a+bi$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
\draw[-] (0,0) to (4,5);
\node[anchor=south] at (2,3) {\footnotesize $r$};
\draw (3,0) arc (0:51:3);
\node[anchor=south] at (3.3,1.1) {\footnotesize $\theta$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

og vi skriver
 \[|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}\]
 for avstanden fra $z$ til origo. 
 Dette tallet kalles \textbf{absoluttverdi} eller \textbf{modulus} til $z$. 
 Vinkelen 
 $\theta= \arg z$
 kalles \textbf{vinkelen} eller \textbf{argumentet}. 
Geometrien til de komplekse tallene er litt annerledes enn du kanskje er vant til.

\begin{minipage}{40mm}
\begin{oppgave}{7}
Vis at $\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{\overline z}{|z|^2}$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{120mm}
\begin{oppgave}{8}
Velg et komplekst tall $z$ og
tegn $z$, $iz$, $i^2 z$ og $i^3 z$. Hva ser du?
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{9}
La $z = 1 + \sqrt{3}i$.
Regn ut $z/|z|$ og
tegn $\left(z/|z|\right)^k $ for alle $k \in \mathbb Z$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
La $\displaystyle z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ og $w=1+i$.
Tegn $z^kw $ for alle $k \in \mathbb Z$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{11}
Vis at $|z|^2=|z^2|$. Er $|z|^3=|z^3|$?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1007153}
\end{center}

\clearpage

Hvis vi setter $\lambda =i$ og løser differensiallikningen
	\[
		\dot x = ix
	\]
	og antar at vi har lov til å herje som vanlig,
	får vi
	\[
		x(t) = ce^{it}
	\]
der $c$ er en vilkårlig konstant.

\begin{oppgave}{12}
	Men sjekk at også
	\[
		y(t) = \cos t + i \sin t
	\]
	passer i likningen.
	Hvis jeg sier at det ikke finnes andre løsninger enn de på formen
	\[
		x(t) = ce^{it},
	\]
	hva slags konsekvenser har dette?
\end{oppgave}

Oppgaven over utleder \textbf{Eulers formel}
\[
e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta 
\]
Denne er fryktelig viktig, 
og Richard Feynman kalte den bare \say{vår juvel}.

\begin{oppgave}{13}
Du kan også utlede den ved å derivere funksjonen
\[
f\left(\theta\right) = \frac{\cos \theta + i\sin \theta }{e^{i\theta}}
\]
og så se hva som skjer når $\theta = 0$. \\
(Derivasjonsreglene du kjenner fra gymnaset også funker når det står en $i$ her og der.)
\end{oppgave}

Hvis du ikke liker utledninger basert seg på komplisert teori du ikke har lært ennå,
kan du ta Eulers formel som definisjon på $e^{i\theta}$
og så sjekke de vanlige regnereglene for eksponensialfunksjonen.

\begin{oppgave}{14}
    Den som er viktig å sjekke, 
    er 
    \[
        e^{i(\alpha + \theta)} =    
        e^{i\alpha}
        e^{i\theta} 
    \]
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.38]{../figurer/L1001032}
\end{center}

\clearpage

\begin{minipage}{90mm}
\say{Vår juvel} regnes for øvrig for å være særdeles vakker,
og den berømte formelen 
\begin{align*}
    e^{i\pi} = - 1
\end{align*}
er et spesialtilfelle.
Med Eulers formel kan vi skrive:
\[
z=r(\cos \theta+i\sin \theta)=re^{i\theta}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-5,0) -- (8,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,6);
\node[anchor=west] at (9,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,7) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=re^{i\theta}$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
\draw[-] (0,0) to (4,5);
\node[anchor=south] at (2,3) {\footnotesize $r$};
\draw (3,0) arc (0:51:3);
\node[anchor=south] at (3.3,1.1) {\footnotesize $\theta$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

Følgende oppgave passer egentlig best i første klasse på gymnaset,
men vi tar den med allikevel.

\begin{oppgave}{15}
Skriv $z=1+i$ og $w=1+\sqrt{3}i$ på polar form.
\end{oppgave}

Nå er det ikke innlysende at vanlige regneregler for
eksponensialfunksjonen gjelder når det står en $i$ i eksponenten,
men de gjør det.
La
\[
z=1+i=\sqrt{2}e^{\pi i/4}
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
w=1+\sqrt{3}i=2e^{\pi i/3}.
\]

\begin{oppgave}{16}
Anta vanlige regneregler for eksponensialfunksjonen,
og beregn
\[
z\cdot w
\quad \text{og}\quad
\frac{z}{w}
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{17}
Finn $e^{ \pi i/2 }$, $e^{\pi i}$, $e^{3\pi i/2 }$ og $e^{2 \pi i}$.
\end{oppgave}

Det er først med den imaginære enheten at sammenhengen mellom 
eksponensialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene 
kommer til syne. 
Vis at

\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{18}
$e^{-i\theta}=\cos \theta - i\sin \theta$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{19}
$\cos \theta = \frac{1}{2}\left( e^{i\theta}+e^{-i\theta} \right) $
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{oppgave}{20}
$\sin \theta = \frac{1}{2i}\left( e^{i\theta}-e^{-i\theta} \right)$
\end{oppgave}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{21}
    Med disse formlene blir integralet i den siste oppgaven i forrige økt mye enklere. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{22}
    La $z= re^{i\theta}$. Hva blir ${\overline z}$?
\end{oppgave}

Husk ellers cosinus og sinus hyperbolicus diabolicus
\[
\cosh \theta =\frac{e^\theta+e^{-\theta}}{2}
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\sinh \theta =\frac{e^\theta-e^{-\theta}}{2}.
\]

\begin{oppgave}{23}
Vis at
\[
\cosh(i\theta)=\cos \theta
\hspace{10mm}
\text{og}
\hspace{10mm}
\sinh(i\theta)=i\sin \theta
\]
og bruk det til å vise at
\begin{align*}
\cos{(a+bi)}&=\cos a \cosh b - i \sin a \sinh b \\
\sin{(a+bi)}&=\sin a \cosh b + i \cos a \sinh b
\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1007168}
\end{center}

\clearpage

Fordelen med komplekse tall er at polynomlikninger alltid har løsning. 
Dette kalles \textbf{algebraens fundamentalteorem}, 
og vi sier at de komplekse tallene er en algebraisk lukket tallmengde.

\begin{oppgave}{24}
Likningen 
\[
z^n = w
\]
der $w$ er et gitt komplekst tall har alltid $n$ forskjellige løsninger. 
Finn alle løsninger til 
\[
z^5 = -1.
\]
(Hint: Bruk Eulers formel. 
Du har lov til å bruke vanlige regneregler for potenser. 
Se også oppgave 9 og 10 over for inspirasjon.)
\end{oppgave}


Dersom $p$ er et polynom og $p(z)=0$,
sier vi at $z$ er et av polynomets \textbf{røtter}.


\begin{oppgave}{25}
Vis at dersom et polynom har reelle koeffisienter, 
kommer røttene i komplekskonjugerte par.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{26}
    Faktoriser polynomet
    $
        p(x) = x^3 + x^2 + x - 3.
    $
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{27}
    Enn
    $
        p(x) = x^3 + x^2 - 2?
    $
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.45]{../figurer/img913}
\end{center}


\clearpage 

Til slutt:
Vi definerer
$\mathbb{R}^n$ som  alle vektorer
\[
\V x=
\left( \; \begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix} \; \right)
\]
der $x_k \in \mathbb{R}$,
og
$\mathbb{C}^n$
som alle vektorer
\[
\V z=
\left( \; \begin{matrix}
z_1 \\
z_2 \\
\vdots \\
z_n
\end{matrix} \; \right)
\]
der $z_k \in \mathbb{C}$.
Hvorfor vi skriver disse vektorene på høykant
og ikke liggende som du er vant til,
kommer vi tilbake til.
Vi skal etterhvert skrive vektorer både på høykant og lavkant.
Vi ganger vektorer med skalarer slik:
\begin{align*}
a\V x=
\left( \; \begin{matrix}
ax_1 \\
ax_2 \\
\vdots \\
ax_n
\end{matrix} \; \right)
\end{align*}
og legger vektorer sammen slik:
\begin{align*}
\V x + \V y=
\left( \; \begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix} \; \right)
+
\left( \; \begin{matrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{matrix} \; \right)
=
\left( \; \begin{matrix}
x_1 + y_1 \\
x_2 + y_2 \\
\vdots \\
x_n + y_n
\end{matrix} \; \right)
\end{align*}
Kombinerer vi disse operasjonene, 
får vi noe som kalles en \textbf{lineærkombinasjon} av 
$\V x$ og $\V y$:
\begin{align*}
a\V x + b\V y=
\left( \; \begin{matrix}
ax_1 \\
ax_2 \\
\vdots \\
ax_n
\end{matrix} \; \right)
+
\left( \; \begin{matrix}
by_1 \\
by_2 \\
\vdots \\
by_n
\end{matrix} \; \right)
=
\left( \; \begin{matrix}
ax_1 + by_1 \\
ax_2 + by_2 \\
\vdots \\
ax_n + by_n
\end{matrix} \; \right)
\end{align*}
Skalarene $a$ og $b$ kalles \textbf{vektene}.

\begin{oppgave}{27}
Beregn $2\V x +3\V y$ når
\begin{align*}
\V x =
\left( \; \begin{matrix}
1+i \\
3-i
\end{matrix} \; \right)
\hspace*{10mm}
\text{og}
\hspace*{10mm}
\V y =
\left( \; \begin{matrix}
1-2i \\
3i
\end{matrix} \; \right).
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1000947}
\end{center}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}

For dere som går MTTK og skal styre satelitter og slikt,
er antagelig \textbf{kvaternionene} $\mathbb H$
vel så viktige;
man bruker dem til å holde styr på et legemes orientering i rommet.
De ble oppdaget av 
W. D. Hamilton i 1843,
og er en utvidelse av de komplekse tallene.
Utvidelsen består i at man legger til to nye imaginære enheter $j$ og $k$, 
definert av relasjonene
\[
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1.
\]
Hamilton fikk den sentrale aha-opplevelsen på tur over en steinbro midt i Dublin,
og skrapte likningen umiddelbart inn i rekkverket på broen med en brevåpner han hadde i lommen. 
Inksripsjonen er dessverre vekk. 
Et kvaternion ser slik ut:
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k
\]
Her er $z_0$, $z_1$, $z_2$ og $z_3$ reelle tall. 
Realdelen $z_0$ kalles \textbf{skalardelen},
mens imaginærdelen $z_1i + z_2j + z_3k$ kalles \textbf{vektordelen}.
Den viktigste forskjellen fra det meste du har lært så langt i livet, 
er at multiplikasjon ikke er \textbf{kommutativt}.

\begin{oppgave}{1}
    Vær nøye med om du ganger inn $i$, $j$ og $k$ fra venstre eller høyre, 
    og utled regnereglene
    \[
        ij=-ji=k \hspace{10mm}
        jk=-kj=i \hspace{10mm}
        ki=-ik=j \hspace{10mm}
    \]
    Likner dette på noe du har lært på gymnaset?\\
    (Hint: Kryssproduktet og høyrehåndsregelen.)
\end{oppgave}


Dette med ikkekommutativitet litt rart i begynnelsen.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property}
}
Det er viktig å venne seg til at enkelte ting ikke er kommutativt, 
for kommutering ligger i bånn for Heisenbergs usikkerhetsprinsipp.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle}
}

\begin{oppgave}{2}
Regn ut 
\[
zw=
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
\]
og 
\[
wz=
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
\]
samt \textbf{kommutatoren} $zw-wz$. 
Kan du lage en formel for kommutatoren?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1007208}
\end{center}

Vi konjugerer kvaternioner akkurat som vi konjugerer komplekse tall:
\[
\overline z = z^* = 
z_0 - z_1i - z_2j - z_3k
\]

\begin{oppgave}{3}
Akkurat $z$ og $\overline z$ kommuterer faktisk med hensyn på multiplikasjon. 
Regn ut $z\overline z$ og $\overline z z$.
\end{oppgave}

Dette kan brukes til å definere absoluttverdi $\sqrt{\overline{z}z}$,
samt finne invers. 

\begin{oppgave}{4}
La 
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k
\hspace{10mm}
\text{og }
\hspace{10mm}
z^{-1}=\frac{1}{|z|^2}(z_0 - z_1i - z_2j - z_3k)
\]
Vis at $zz^{-1}=z^{-1}z=1$.
\end{oppgave}




Jeg foretrekker vanligvis å begynne indeksering fra en og ikke null,
men akkurat for kvaternioner er det en fordel å begynne på null.
\footnote{
Det er et mysterium hvorfor 
alle programmeringsspråk insisterer på å 
indeksere fra 0 istedet for 1. 
Hvis du har en vektor med tre elementer, 
er det mer naturlig å kalle dem 
$x[1]$, $x[2]$ og $x[3]$
enn 
$x[0]$, $x[1]$ og $x[2]$,
og skriver du for i in range(n) i python 
må du huske på at denne går fra 0 til n-1,
ikke fra 1 til n:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Off-by-one_error}
}
Grunnen er at man i anvendelser ofte er interessert 
i å tenke på imaginærdelen som et punkt i $\mathbb R^3$.
Regnereglene for de imaginære enhetene $i$, $j$ og $k$ 
illustrerer nemlig hvorfor vi i gamle dager skrev
\[
\V i = 
\left( \; \begin{matrix}
1 \\
0\\
0
\end{matrix} \; \right)
\hspace{10mm}
\V j = 
\left( \; \begin{matrix}
0 \\
1\\
0
\end{matrix} \; \right)
\hspace{10mm}
\V k = 
\left( \; \begin{matrix}
0 \\
0\\
1
\end{matrix} \; \right)
\hspace{10mm}
\]
for standardbasisen i $\mathbb R^3$, 
og 
\[
\V z
=
z_1 \V i+ 
z_2 \V j+ 
z_3 \V k
\]
for vektorer i $\mathbb R^3$.
Denne notasjonen er nå gått av moten,
og det er i bunn og grunn synd, 
for hvis man skriver alt slik,
kan man bruke høyrehåndsregelen til å 
huske formelen for kryssprodukt. 

\begin{oppgave}{5}
La 
\[
z=
z_1i + z_2j + z_3k
\]
og 
\[
w=
w_1i + w_2j + w_3k
\]
og regn ut $\overline z w$ og se om det ser kjent ut. 
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1007194}
\end{center}








\end{document}
