\input{preamble}

\title{1 - 1 - DIFFERENSIALLIKNINGER I}

%sirkulære

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%lamberts lov
%https://en.wikipedia.org/wiki/Rate_equation

I middelalderen trodde de at lus var bra for helsen siden syke folk har få lus.
Dette er et klassisk eksempel på sammenblanding av korrelasjon og kausalitet;
den korrekte mekanismen går motsatt vei.
Syke folk får ofte feber før de får andre symptomer,
og lusen liker ikke høy kroppstemperatur,
så de forlater verten før andre symptomer oppstår.
Hvis du ikke kan måle feber\footnote{Pålitelige termometere ble ikke oppfunnet før på 1700-tallet: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Thermometer}},
vil det derfor se ut som om lusen forlater verten \textit{før}
verten blir syk,\footnote{\url{https://www.ecdc.europa.eu/en/all-topics-z/disease-vectors/facts/factsheet-lice-phthiraptera}}
men dette er altså feil. 
I moderne kvantitativ vitenskap er man fullstendig opphengt i dette med å finne den korrekte 
\textbf{mekanismen}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_method}}

Et av standardverktøyene for å kvantifisere den korrekte mekanismen når man først har funnet den,
kalles \textbf{differensiallikninger}.
Differensiallikninger er uunværlige for å modellere alle slags tidsavhengige prosesser i fysikk, kjemi, og biologi.
I tidsavhengige prosesser bruker vi gjerne $x$ (eller en annen passelig bokstav) for størrelsen som modelleres,
$t$ for tiden,
og en spesiell notasjon for den tidsderiverte,
oppfunnet av Isaac Newton:
\[
\dot{x}(t) = x'(t)
\]
Differensiallikninger er subtile greier,
og det er lurt å studere de enkleste av dem ganske nøye.

Her er den aller enkleste.
Prokaryoter og mange typer sopp (for eksempel ølgjær)
deler seg ved såkalt avsnøring;
dette betyr at de kloner seg selv fra tid til annen.\footnote{\url{https://snl.no/celledeling}}
\textit{E. Coli} deler seg for eksempel omtrent hvert tjuende minutt
ved vår kroppstemperatur 310 K.
La $x(t)$ være antall bakterier ved tiden $t$.
Dersom bakteriene alltid deler seg i to etter det samme tidsintervallet, 
er \textit{den endringen $\dot x(t)$ proporsjonal med antall bakterier $x(t)$}:
\[
\dot{x}(t)=\lambda x(t)
\]
Det er en spesiell grunn for å kalle proporsjonalitetskonstanten $\lambda$;
dette vil bli klart litt lenger ut i semesteret. 
I biologi kalles $\lambda$ \textbf{vekstraten}.

\begin{oppgave}{1}
Dersom $\lambda=1$,
er likningen så enkel at selv barn i barnehagen kan løse den:
\[
\dot{x}(t)=x(t)
\]
Finn en løsning.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../figurer/IMG760}
\end{center}

Hvis du slår opp i en tabell over derivasjonsregler,
finner du nok regelen
\[
	\frac{d}{dt}e^t=e^t
\]
og hvis du ser nøye etter,
ser du vel at dette i bunn og grunn er det samme som $\dot{x}=x$.
Med andre ord passer $x(t)=e^t$ i likningen.
Men det gjør også
\[
	x(t) = ce^t
\]
der $c$ er en vilkårlig konstant.

\begin{oppgave}{2}
	Dobbeltsjekk dette.
\end{oppgave}


Vi har altså en hel familie av løsninger.
Dette kan vi utnytte som følger.
Dersom man har en petriskål full av bakterier
og ønsker å spå hvor stor kulturen er etter
så og så lang tid,
må man starte med en kultur på en gitt størrelse.
I matematikk kalles dette en \textbf{initialbetingelse} eller et \textbf{initialkrav}:
\[
x(0)=x_0.
\]
Kombinasjonen av en differensiallikning og en 
initialbetingelse kalles et \textbf{initialverdiproblem}.

\begin{oppgave}{3}
Finn løsningen til initialverdiproblemet
$\dot{x}=x$, $x(0)=2$.
\end{oppgave}

Som sagt deler \textit{E. Coli} seg omtrent hvert 20. minutt ved vanlig kroppstemperatur,
og
\[
\dot{x}=\lambda x \qquad x(0)=x_0
\]
er en enkel modell for veksten. 
En bestemt verdi $x(t)$ kan du tenke på som totalt antall bakterier i et bestemt volum
eller totalt antall bakterier per liter 
eller arealet bakteriene dekker i en petriskål eller noe annet i den dur. 
Alt er lov så lenge det er korrekt, 
og du er konsistent. 
%Dersom $x_0$ er totalt antall bakterier, 
%er også $x(t)$ det.

\begin{oppgave}{4}
Finn løsningen til $\dot{x}=\lambda x$, $x(0)=x_0$.
\end{oppgave}

Verdien til vekstraten $\lambda$ 
avhenger av hva vi måler $t$ i.
Finn $\lambda$ for \textit{E. Coli} dersom $t$ måles i

\begin{minipage}{20mm}
\begin{oppgave}{5}
timer
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{25mm}
\begin{oppgave}{6}
minutter
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{25mm}
\begin{oppgave}{7}
sekunder
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{90mm}
\begin{oppgave}{8}
20-minutters inkrementer (denne blir pen)
\end{oppgave}
\end{minipage}

Hvis du synes alt dette er litt corny,
kan du ta i betraktning denne videoen av bakterievekst:\\
\url{https://www.youtube.com/watch?v=gEwzDydciWc}

\begin{oppgave}{5678}
Stopp videoen om lag en gang i sekundet og tell antall bakterier på skjermen.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1020013} 
\end{center}

Fra gymnaset sitter du antagelig igjen med følgende leveregel:
\[
    \text{INTEGRASJON} = \text{ANTIDERIVASJON}
\]
Dette er feil,
men en naturlig konklusjon å trekke etter gymnaset.
At man sitter igjen med et slikt inntrykk,
skyldes \textbf{analysens fundamentalteorem}:
\[
  \int_a^b f'(t)\; dt = f(b) - f(a)
\]
Denne,
sammen med \textbf{kjerneregelen} eller \textbf{integrasjon ved substitusjon}:
\[
  f\left( g\left( b \right) \right) - f\left( g\left( a \right) \right) =
  \int_a^b \frac{d}{dt}\left( f\left( g(t) \right) \right) \; dt =
  \int_a^b f'\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right)\; dt
\]
og \textbf{produktregelen} eller \textbf{delvis integrasjon}:
\[
  f(b)g(b) - f(a)g(a) =
  \int_a^b \frac{d}{dt}\left( f(t)g(t) \right) \; dt =
  \int_a^b f'(t)g(t)\; dt + \int_a^b f(t)g'(t)\; dt
\]
er det man fokuserer mest på på gymnaset,
for det er så enkelt lage eksamensoppgaver om det.

Det finnes empirisk evidens for at
Homo Sapiens' store styrke er å følge oppskrift.
\footnote{\url{https://www.eva.mpg.de/documents/Springer/Call_Copying_AnimCog_2005_1555317.pdf}\\
\url{https://www.eva.mpg.de/documents/Wiley-Blackwell/Tennie_Push_Ethology_2006_1555112.pdf}}
Nå skal du få en oppskrift
for å løse differensiallikninger:

\begin{itemize}
    \item[1:] Herj litt med likningen. Gang eller del med noen greier.
    \item[2:] Integrer med en av reglene over. Gjør du steg 1 riktig, får du det til,
    men det trengs gjerne litt erfaring får å finne korrekt steg 1.
\end{itemize}

Oppskriften funker stort sett på alle difflikninger dersom de faktisk kan løses med penn og papir. 
Jeg skal nå illustrere med et eksempel,
la oss løse 
\[
    \dot x(t) = \lambda x(t) \hspace{10mm} x(0)=x_0.
\]
Steg 1 er å skrive alt på én side
\[
    \dot x(t) - \lambda x(t) = 0
\]
gange likningen med $e^{-\lambda t}$,
og så observere at
\[
	0 = e^{-\lambda t}\Big(  \dot x(t) - \lambda x(t) \Big) = \frac{d}{dt} \Big( e^{-\lambda t} x(t)\Big).
\]
Hvis vi nå bruker analysens fundamentalteorem
med $f(t) = e^{-\lambda t}x(t)$,
$a=0$ og $b=t$,
får vi
\[
    e^{-\lambda t}x(t) - x(0) = 0,
\]
og bruker vi $x(0)=x_0$ og løser for $x(t)$,
sitter vi til slutt igjen med
\[
    x(t) = x_{0}e^{\lambda t}.
\]
Nå har jeg brukt bestemt integral,
og da blir det ikke noen integrasjonskonstant.
Resonnementet funker fint med ubestemt integral óg;
dette er mest smak og behag.

\clearpage

%https://www.ntnu.no/museum/karbondatering
%https://en.wikipedia.org/wiki/Shroud_of_Turin
%https://snl.no/halveringstid 

Styrken til differensiallikninger
er at en og samme differensiallikning kan modellere vidt forskjellige fysiske prosesser.
Dette hjelper oss til å klassifisere fysiske fenomener etter \textit{oppførsel istedet for innpakning}. 
Nå tar vi en helt annen modell som leder til nøyaktig samme differensiallikning.

Første Mosebok påstår at jorden er omtrent seks tusen år gammel. 
Hvis dette er sant, 
er det noe galt med vår forståelse av grunnstoffet karbon. 
Karbon forekommer i de tre isotopene C-12, C-13 og C-14.
C-14 er et ustabilt isotop, 
og halveringstiden er på omtrent 5700 år,
men C-14-konsentrasjonen i atmosfæren ligger allikevel 
nogenlunde stabilta
på grunn av kosmisk stråling og 
et par atombombeprøvesprengninger.
Når du puster utveksler du karbon med atmosfæren,
og derfor er C-14-konsetrasjonen i kroppen din og i atmosfæren omtrent den samme. 
Når du dør
blir du avskåret fra denne utvekslingen, 
og etter 5700 år vil C-14-andelen i kroppen din være omtrent halvert.
Siden det finnes fossiler som har vesentlig lavere C-14-andel enn femti prosent, 
er jorden pent nødt til å være mye eldre enn 6000 år.
Med andre ord: om du tror at jorden er 6000 år gammel, 
kan du ikke samtidig tro på kjernefysikk.
Du er pent nødt til å velge en av dem.\footnote{Jorden er faktisk ganske gammel: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Uranium–lead_dating}}
\footnote{\url{https://www.nature.com/articles/s41586-021-03972-8}}

Radiokarbondatering modelleres av akkurat den samme likningen som \textit{E. Coli}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Radiocarbon_dating}}
Dersom $t$ måles i år og 
$x(t)$ er C-14-konsentrasjonen,
tilfredsstiller $x$ likningen
\[
\dot x(t) = - \frac{\ln 2}{5700} x(t)
\]
der $\lambda = \ln (2)/5700$ kalles \textbf{desintegrasjonsskonstanten} eller \textbf{nedbrytningskonstanten}.

\begin{oppgave}{9}
En død \textit{Felis silvestris lybica}\footnote{\textit{Felis silvestris lybica} er den ancestrale huskatten: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/African_wildcat}} 
inneholder omtrent en tiendedel av min C-14-konsentrasjon. (Jeg lever ennå.)
Finn ut omtrent når dyret avgikk med døden.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Tritium\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_hydrogen}} har halveringstid på 12 år og 3 måneder. 
Finn desintegrasjonskonstanten.
\end{oppgave}

\begin{center}
	\includegraphics[scale=.29]{../figurer/M1011083}
\end{center}

\clearpage



I kjemi er det vanlig å skrive
\[
\frac{d[A]}{dt}=-k[A]
\]
der $[A]$ er konsentrasjonen av stoffet som halveres,
så egentlig burde den ukjente i forrige eksempel hete $\left[ \ce{_6^{14}C} \right]$ og ikke $x$.
Men hvis du så din første differensiallikning i dag og så måtte dechiffrere likningen
\[
\frac{d}{dt}\left[ \ce{_6^{14}C} \right] = - \frac{\ln 2}{5700} \left[ \ce{_6^{14}C} \right]
\]
kan det tenkes du ikke ville skjønne noe som helst bare fordi den ukjente hadde
et rart navn du ikke var vant til.
\footnote{Det går rykter om at det en gang var en instituttstyrer som satt ut et helt
totimersmøte og trodde at diskusjonen handlet om auditoriet R2 i realfagsbygget,
mens det i realiteten handlet som om faget R2 i videregående skole.}
Nå skal vi se på enda en helt annen situasjon som gir opphav til den samme differensiallikningen,
og da støter vi på et uungåelig notasjonsproblem.

La oss finne ut hvordan trykket varierer med høyden i en høy og tynn sylinder
dersom den er fylt av en ideell gass.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
Nå er du blitt vant til at den ukjente størrelsen i en differensiallikning heter $x(t)$,
men nå skal jeg sette opp en differensiallikning for trykket som funksjon av høyden,
og du er antagelig vant til at trykket heter $p$ og at høyden $h$,
så da får det nesten bli $p(h)$ og ikke $x(t)$.
Jeg skal bruke den ideelle gasslov\footnote{Jeg skriver NTk istedet for NkT. Det er lettere å huske siden det rimer på \say{NTH}}
\[
	pV = NTk
\]
og dersom jeg hadde skrevet den
\[
	xV = NTk
\]
samt brukt $t$ istedet for $h$ for høyden,
hadde noen garantert blitt forvirret av dette også.

Så da får det bli $p(h)$.
Hvis vi antar at trykkforskjellen mellom $h$ og $h+dh$ kun skyldes vekten
av gassen mellom disse to høydene,
kan vi skrive (trykket er naturligvis høyere ved $h$ enn ved $h+dh$)
\[
	p(h)-p(h+dh) = \frac{mgN}{V} dh
\]
der $N$ er antall gassmolekyler mellom $h$ og $h+dh$,
$m$ er massen til hvert molekyl,
og $g$ er tyngdeakselerasjonen.
Jeg har også brukt at arealet av tverrsnittet kan skrives $V/dh$,
der $V$ er volumet mellom $h$ og $h+dh$.
La oss nå bruke den ideelle gasslov,
og dele på $dh$:

\begin{minipage}{130mm}
\[
	\frac{p(h+dh)-p(h)}{dh} = -\frac{mgp}{Tk}
\]
Dersom vi lar $dh \to 0$ og antar at $T$ er konstant,
får vi differensiallikningen
\[
	p'\left( h \right) = -\frac{mg}{Tk}p(h).
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{30mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/trykk}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{65mm}
\begin{oppgave}{11}
	Anta at dette er en modell for trykket i atmosfæren, 
	finn trykket som funksjon av høyden over havet,
	og sammenlikne med faktiske kurven. (Søk på nett.)
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{110mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/L1000787}
\end{center}
\end{minipage}

\clearpage

Dersom vi nå bare kompliserer ecoliradiokarbondateringatmosfæretrykksdifferensiallikningen litt
og slenger på en konstant $\beta$:
\[
	\dot x = \lambda x + \beta
\]
får vi en modell for et par helt andre ting.

\begin{oppgave}{12}
	Vis at løsningen er 
	\[
		x(t) = ce^{\lambda t}-\beta/\lambda
	\]
	der $c$ er en vilkårlig konstant.\\
	(Du kan kopiere resonnementet på side 2.)
\end{oppgave}


Den første modellen vi får er Newtons avkjølingslov:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_law_of_cooling}\\
La oss si at vi har en kokt elgtunge med temperatur $T(t)$
som ved tiden $t=0$ har temperaturen $T_0$,
og så setter vi den inn i et kjøleskap med temperatur $T_k$.
Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen $\dot T(t)$
er proporsjonal med temperaturforskjellen mellom kjøleskapet og elgtungen:
\[
\dot{T}(t)=\alpha \left(T_K-T(t)\right) \qquad T(0)=T_0
\]
Proporsjonalitetskonstanten $\alpha > 0$ inneholder all informasjon om hvor fort
varmeflyten går mellom elgtungen og omgivelsene,
og varmekapasiteten til elgtungen og så videre.
Det er lurt å holde tungen beint i munnen,
sortere alt slik vi pleier, 
og se at dette er en likning på formen over. 

\begin{oppgave}{13}
	Hva er $\lambda$ og $\beta$, 
	og hva er løsningen?\\
	(Hint: Har du $\lambda$ og $\beta$, 
	har du også løsningen, jf. forrige oppgave.)
%T(t) = T_K + (T_0-T_K)e^{- \alpha t}.
\end{oppgave}

Jeg har brukt Newtons avkjølingslov med hell et par ganger når jeg skulle brygge øl og ikke hadde spiralkjøler.
Vørteren må kjøles fra 373 til 298 K (da skal gjæren oppi),
og dette tar noen timer.
Dersom du måler temperaturen på minst to forskjellige tidspunkt,
kan du estimere $\alpha$ og så gjøre et anslag på når temperaturen er riktig.
Dette er gunstig,
for da kan man gjøre noe annet i mellomtiden.
Hvis du også vil lære å gjøre dette,
kan du løse følgende gamle eksamensoppgaver i TMA4100.

\begin{oppgave}{14}
En elgtunge med temperatur $6^\circ$C
settes på kjøkkenbenken.
Etter to timer er temperaturen steget til $13^\circ$C,
og lufttemperaturen i kjøkkenet var $20^\circ$C. 
Finn $\alpha$ og lag et plot av temperaturen.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{15}
Da temperaturen var $15^\circ$C, 
ble elgtungen satt inn igjen i kjøleskapet. 
En time senere var temperaturen i tungen sunket til $12^\circ$C. 
Hva var temperaturen i kjøleskapet?
Anta samme $\alpha$ som i forrige oppgave.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{Klassiker!}
Oppgave 7 herfra:\\[1mm] \url{https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/eksamen/tma4100_2013h.pdf}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/L1009688-Pano}
\end{center}

Hvis du ikke tror på at Newtons avkjølingslov har noe for seg,
kan du studere dette plottet av målte temperaturer (blå) i en liten rektangulær boks med vann som
jeg lot avkjøle på kjøkkenbenken en tidlig morgen her i Vallegata 8 i Norges hippeste strøk St. Hanshaugen.
Den første temperaturmålingen var 57.4 grader,
og temperaturen i rommet var stort sett 21.8.
De små uregelmessighetene i kurven skyldes det dårlige termometeret mitt og
unøyaktige tidspunkt for målingene.
I tillegg ser det ut til at formen på Newtons avkjølingslov
bommer litt på stigningen på begynnelsen.
Antagelig har det med fordampning å gjøre;
Newtons avkjølingslov tar ikke høyde for det,
og vann fordamper raskest ved høy temperatur.


\begin{oppgave}{Mer realistisk 15}
	Finn ut omtrent hva $\alpha$ er i dette tilfellet.\\
	(Dette kan gjøres på flere måter; 
	til våren skal vi lære å gjøre det ordentlig.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{../figurer/vannet}
\end{center}

\clearpage

James Clerk Maxwell publiserte på 1860-tallet den første komplette modellen av elektromagnetisme.
Han formulerte dette som noen og tyve ymse empiriske regler,
og Oliver Heaviside kondenserte alt ned til fire likninger,
som kan skrives enten\\[-2mm]
\begin{minipage}{60mm}
	\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\  
\nabla \cdot \mathbf B &= 0 \\  
\nabla \times \mathbf E &=- \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\
c^2\nabla \times \mathbf B &= \frac{\mathbf J}{\epsilon_0}+\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{20mm}
	eller
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{align*}
\iint_{\partial \Omega} \mathbf E\cdot dS &= \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_{\Omega} \rho\; d\mathbf x \\
\iint_{\partial \Omega} \mathbf B\cdot d S &= 0 \\
\int_{\partial \Sigma} \mathbf E\cdot ds &=- \frac{d}{d t} \iint_{\Sigma} \mathbf B\cdot d S\\
c^2\int_{\partial \Sigma} \mathbf B\cdot ds &=  \frac{1}{\epsilon_0} \iint_{\Sigma} \mathbf J\cdot d S + \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf E\cdot d S
\end{align*}
\end{minipage}

Likningene kalles henholdsvis Gauss' lov,
Faradays induksjonslov, 
Gauss' lov for magnetisme og Amperes lov.
Dette er et koblet sett med partielle differensiallikninger,
der

\begin{minipage}{80mm}
\begin{itemize}
\item  $\mathbf E$ er det elektriske feltet
\item  $\mathbf B$ er det magnetiske feltet
\item  $c$ er lyshastigheten i vakuum
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{itemize}
\item  $\rho$ er en gitt ladningstetthet
\item  $\mathbf J$ er en gitt strømtetthet
\item  $\epsilon_0$ er permittiviteten i vakuum
\end{itemize}
\end{minipage}

Kraften mellom to punktladninger $q_1$ og $q_2$ i tomt rom
er gitt ved \textbf{Coloumbs lov}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb's_law}
}
\[
	F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}
\]
der $r$ er avstanden mellom ladningene.
Loven kan utledes fra Maxwells første likning,
og det skal vi gjøre neste år.
Denne loven ble oppdaget eksperimentelt av forskjellige personer på 1700-tallet,
men Charles-Augustin de Coloumb skrev den ned korrekt som førstemann i 1785.
Et elektron har ladning på omtrent $1.60217663 \cdot 10^{-19}$ C,
så kraften mellom to elektroner på én meters avstand er
på om lag $10^{-27}$ N.
Til sammenlikning er gravitasjonskraften mellom de samme elektronene på om lag $10^{-73}$ N.
Når du setter deg på en stol er 
det de sterke elektriske kreftene mellom molekylene som 
hindrer den i å knekke sammen under vekten din.
Maxwells lover beskriver disse kreftene kvantitativt.

\vspace*{-5mm}
\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-4}}[7mm]
\begin{oppgave}{16}
	For å illustrere hvor vanskelig det er å huske noe man ikke forstår, 
	kan du nå nipugge Maxwells lover i 
	to minutter nå og så sjekke om du greier å skrive dem opp imorgen. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1009649}
\end{center}

\clearpage

Vi må en tur innom en av Maxwells lovers viktigste forenklinger,
nemlig \textbf{kretsteori}.
Siden det finnes kraft mellom ladde partikler,
finnes det også potensiell energi mellom ladde partikler.
Det foretrukne målet er joule per coloumb
eller \textbf{volt} som vi gjerne sier,
og størrelsen kalles \textbf{spenning}.
Dette tallet forteller hvor mange J potensiell energi en ladning på
1 C (tenk på en klump med $10^{19}$ elektroner) har i forhold til et annet punkt i rommet.
Et 9 volts batteri har spenning på om lag 9 volt mellom terminalene,
men dette endrer seg litt etterhvert som batteriet blir utladet.


En \textbf{krets} er noen \textbf{kretselementer} koblet sammen med ledning.
Et kretselement er en dings der det finnes en relasjon
mellom strømmen $i(t)$ gjennom dingsen og spenningen $v(t)$ over den.
Relasjonene kalles \textbf{elementlover},
og her er de tre viktigste.

\begin{center}
\begin{minipage}{45mm}
\[
\textbf{MOTSTAND} 
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\[
v(t) = R i(t)
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
	\vspace*{-4mm}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,0) to [ R=$R$] (1,0);
%		\draw  (0,0) to [ R=$\hspace{30mm}R\;\textit{=\;motstandsverdi}$] (1,0);
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

Dette kan du tenke på som en gammeldags lyspære som lyser og avgir varme.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Resistor}}
\textbf{Motstandsverdien} $R$ forteller noe om spenningsfallet som en funksjon av strømmen gjennom motstanden.
%\textbf{spole}:

\vspace*{4mm}
\begin{center}
\begin{minipage}{45mm}
\[
\textbf{SPOLE} 
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\[
v(t) = Li'(t)
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\begin{center}
	\vspace*{-4mm}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,1) to [ cute inductor =$L$] (1,1);
%		\draw  (0,0) to [ cute inductor =$\hspace{20mm}L\;\textit{=\;induktans}$] (1,0);
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

Dette er en strømledning som er lagt i spiral; trafoen oppe i gaten din er full av disse.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Inductor}}
\textbf{Induktansen} $L$ avhenger av spolens lengde og geometri og om det ligger spikre inni spiralen og så videre. 
%og \textbf{kondensator}:

\begin{center}
\begin{minipage}{45mm}
\[
\textbf{KONDENSATOR} 
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\[
v(t)-v(0) = \frac{1}{C} \int_0^t i(s)\, ds
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,0) to [ C=$C$] (1,0);
		%\draw  (0,0) to [ C=$\hspace{23mm}C\;\textit{=\;kapasitans}$] (1,0);
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}

En kondensator er en ting som kan lagre elektrisk energi og slippe den ut igjen,
ikke helt ulikt et batteri, 
men bygget på litt andre prinsipper og 
med litt annen oppførsel.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Capacitor}\\
Kondensatorer kan faktisk være et godt alternativ til batteri i noen anvendelser:\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Supercapacitor}}
\textbf{Kapasitansen} $C$ måles i coloumb per volt,
og avhenger av størrelsen på kondensatorplatene,
hva de er laget av,
hvor langt de står fra hverandre,
hva slags materiale som ligger mellom dem og så videre.
Den enkleste formen for kondensator er to plater som er fysisk adskilte,
men laget av et metall som kan fylles opp med eller tappes for elektroner.
Myelinlaget utenpå nervetrådene dine har litt kapasitans,
og sørger for at innsiden og utsiden av nervecellen fungerer som en kondensator - 
ved multippel sklerose degenereres myelinlaget 
og så blir kapasitansen for høy og så går ikke nervesignalene som de skal.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Hodgkin–Huxley_model}
}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/L1020585}
\end{center}


\clearpage

Kretsteori er anvendelig i andre fagfelt enn kretsteknikk - 
i elektrokjemi er det uunværlig, 
og det finnes en egen forskningsretning som studerer 
forholdet mellom kretsteori og kjemiske reaksjoner.\footnote{
	\url{https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.13.021041}
}
La oss nå sette en motstand og en spole i serie slik:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rl-krets-1}
\end{center}
Så må vi bestemme oss for nullnivået for spenning.
Dette kalles \textit{jord},
og indikeres slik:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rl-krets-2}
\end{center}
Hvis vi nå kobler et batteri
vil det begynne å gå strøm:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rl-krets-3}
\end{center}
Dette kalles en \textit{RL-krets},
og vi kan finne strømmen $i(t)$ ved å sette opp en differensiallikning.
Spenningen mellom de to lilla punktene er 9 volt,
og det spiller ingen rolle om vi går via batteriet eller de to seriekoblede kretselementene. 
Dette kalles \textbf{Kirchhoffs spenningslov},
og gir at 
\[
	Li'(t) + Ri(t) = 9
\]

\begin{oppgave}{17}
	Finn strømmen $i$. (Du kan anta at $i(0)=0$.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.36]{../figurer/img819}
\end{center}

\clearpage

Vi kan gjøre det samme med en kondensator:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rc-krets-1}
\end{center}
Setter vi på et 9 volts batteri,
vil det også nå gå strøm i kretsen:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rc-krets-2}
\end{center}
Dette kalles en RC-krets,
og på samme måte som for RL-kretsen,
kan vi sette opp en likning ved å kreve at spenningen mellom de to lilla punktene er det samme
over batteriet som over seriekoblingen av elementene:
\[
	 Ri(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(s)\, ds = 9.
\]
Huff og huff, integrallikninger har vi ikke lært å løse.
Det er nok best å gjøre litt om her og sette kondensatorspenningen opp som ukjent istedet:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rc-krets-3}
\end{center}
Dersom vi antar $v(0)=0$,
er den ukjente gitt ved
\[
	v(t) = \frac{1}{C} \int_0^t i(s)\, ds
\]
og følgelig er
\[
	\dot v(t) = \frac{1}{C} i(t)
\]
slik at differensiallikningen blir
\[
	RC \dot v(t) + v(t) = 9.
\]

\begin{oppgave}{18}
	Finn $v(t)$. (Husk at $v(0)=0$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
	Modellerer uten prediktiv kraft er verdt null og niks.
	Finn en person med elsyskoffert og få vedkommende til å koble opp denne kretsen.
	Regn og mål og dobbeltsjekk at det er sånn omtrent riktig.
	\textit{Den svarte pinnen på multimeteret skal på jord,
	og den røde på $v(t)$.}
\end{oppgave}

RC- og RL-kretsen modelleres av nøyaktig
samme differensiallikning som Newtons avkjølingslov og E. Coli og radioaktiv nedbrytning.
På de foregående ti sidene har du grunnen til å lære matematikk i et nøtteskall -
ett og samme initialverdiproblem
\[
	\dot x(t) = \lambda x(t) + \beta \hspace{10mm} x(0) = x_0
\]
med løsning
\[
	x(t) =  \left( x_0+\frac{\beta}{\lambda} \right)e^{\lambda t} - \frac{\beta}{\lambda}
\]
er en modell for så mange forskjellige ting at det er galskap å 
bli ingeniør uten å lære seg det.

\begin{minipage}{90mm}
Matematikere foretrekker av ymse grunner å bytte fortegn på $a$ og
sortere likningen slik at alt som involverer den ukjente $x$ står på den ene siden av likningen:
\[
	\dot x(t) + \lambda x(t) = \beta
\]
Løsningen blir da
\[
	x(t) =  \left( x_0-\frac{\beta}{\lambda} \right)e^{-\lambda t} + \frac{\beta}{\lambda}
\]
istedet.
Til høyre er et generisk plot.
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.29]{../figurer/lti-1}
\end{center}
\end{minipage}

Vi kaller $1/\lambda$ \textbf{tidskonstanten} til 
differensiallikningen.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Time_constant}}
Siden $1/e \approx 0.36787944117$,
ser vi at ved $t=1/\lambda$,
har $x$ nådd om lag 63 prosent av veien fra $x_0$ til $\beta/\lambda$.
Dette initialverdiproblemet er forresten et eksempel på et \textbf{
lineært tidsinvariant system}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_system}}
og hvis du sier til en gammel ingeniør at du har et LTI-system med tidskonstant sånn og sånn,
vil figuren over umiddelbart dukke opp på vedkommendes hjernebark.
Til og med leger bruker dette; naboen min er nukleærmedisiner.\footnote{\url{https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-4012-3}}
%I radioaktiv nedbrytning kalles tidskonstanten \textit{nedbrytningskonstanten}.

\begin{oppgave}{20}
	Finn tidskonstantene til alle problemene du har løst så langt.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.27]{../figurer/M1005515}
\end{center}

\clearpage



Stikkontakten i veggen har ikke likespenning, 
slik som et batteri. 
Spenningen er mere sinusoidal, 
for den er generert av en roterende turbin 
i et vannkraftverk.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_current}}
Dersom du bytter ut batteriet i RC-kretsen med en sinusoidal spenning
med vinkelfrekvens $\omega_0$, 
gir Kirchhoffs spenningslov
\[
	RC \dot v(t) + v(t) = \sin(\omega_0 t). 
\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/rc-krets-5}
\end{center}
Det går faktisk an å utlede en formel for løsningen til 
\begin{align*}
	\dot x(t) + \lambda x(t) = f(t)
	\hspace*{10mm}
	x(0) = x_0
\end{align*}
der $x$ er den ukjente 
og $f$ er en gitt funksjon, 
kalt \textbf{påtrykket}. 
Påtrykket er noe som leverer en påvirkning av systemet som er 
\textit{uavhengig av oppførselen til $x$}. 
Vi har behandlet spesialtilfellet $f(t) = \beta$, 
men nå kan altså $f$ få være hva som helst. 
Trikset er å gjette på en løsning på formen
\begin{align*}
	x(t) = c(t)e^{-\lambda t}.
\end{align*}
Det er lettere å forstå hvor denne ideen kommer fra 
når man studerer systemer av differensiallikninger,
så det skal vi komme tilbake til et annet semester,
men la oss nå teste ut hva som skjer. 
Dersom vi setter $c(t)e^{-\lambda t}$ inn i likningen,
får vi en pen kansellering, 
og så står vi igjen med
%\dot c(t) e^{-at} - c(t) a e^{-at} + ac(t)e^{-at}= f(t)
\[
\dot c(t) e^{-\lambda t} = f(t).
\]
Vi kan nå gange opp med $e^{\lambda t}$ og integrere:
\[
c(t)  =
\int_0^t f(s)e^{\lambda s}\;ds
\]
Vi har nå en funksjon
\begin{align*}
	x(t) = c(t)e^{-\lambda t} = e^{-\lambda t}  \int_0^t f(s)e^{\lambda s}\; ds
\end{align*}
som løser initialverdiproblemet
\begin{align*}
	\dot x(t) + \lambda x(t) = f(t)
	\hspace*{10mm}
	x(0) = 0.
\end{align*}
Å finne en løsning som tilfredsstiller $x(0) = x_0$ er nå lett - 
vi bare legger til $x_0e^{-\lambda t}$ 
(dette går bra siden den kansellerer på venstresiden av differensiallikningen),
og får
\begin{align*}
x(t)& =x_0 e^{-\lambda t}+e^{-\lambda t}\int_0^t f(s)e^{\lambda s}\; ds \\[3mm]
&= x_0e^{-\lambda t} + \int_0^t f(s)e^{-\lambda (t-s)}\; ds \\[3mm]
&=x_h(t) + x_p(t)  
\end{align*}
der $x_h$ står for \textbf{homogen løsning}
og $x_p$ for \textbf{partikulær løsning}. 
Uttrykket
\begin{align*}
	\int_0^t f(s)e^{-\lambda (t-s)}\; ds
\end{align*} 
kalles en \textbf{folding} 
eller 
\textbf{konvolusjon}.
Hvis du har lest en mer avansert bok om differensiallikninger 
vet du at dette er den eneste løsningen du noensinne kommer til å finne.

\begin{oppgave}{21}
	Denne utledningen kan du bli spurt om på eksamen. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{22}
	Løs
	$
		RC \dot v(t) + v(t) = \sin(\omega_0 t) 
		\hspace*{10mm}
		v(0) = v_0.
	$
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.43]{../figurer/L1003198}
\end{center}

\clearpage 

\section*{UKENS NØTTER}


Da jeg var student,
syntes jeg alt dette var litt irriterende,
for jeg skjønte ikke hvordan man kunne være sikker på at det ikke fantes noen andre løsninger.
Løsningen til
\[
\dot{x}+ax=0 \qquad x(0)=x_0
\]
er
\[
x(t)=x_0e^{-at}.
\]
og dette er faktisk den eneste løsningen.

\begin{oppgave}{2}
	Vis dette. 
\end{oppgave}

\begin{comment}
Dette ser man som følger.
Anta at du har en annen løsning $y$
som tilfredsstiller det samme initialverdiproblemet.
Dersom vi deriverer $e^{at}y(t)$,
får vi
\[
\frac{d}{dt}e^{at}y(t)=ae^{at}y(t)+e^{at}\dot{y}(t)=e^{at}\left(ay(t)+\dot{y}(t)\right)=0
\]
slik at $e^{at}y(t)$ en konstant funksjon:
\[
e^{at}y(t)=K
\]
Altså er
\[
y(t)=Ke^{-at}.
\]
Siden $y(0)=x_0$,
må $K=x_0$,
og vi ser nå at $y(t)=x_0e^{-at}=x(t)$.
Med andre ord kan det ikke finnes en annen funksjon som tilfredsstiller det samme initialverdiproblemet,
og vi sier at løsningen er entydig.
Det er ikke alltid at løsningen til en differensiallikning er entydig.
\end{comment}

\begin{oppgave}{3}
Initialverdiproblemet 
\[
\dot{x}-\sqrt{x}=0 \qquad x(0)=0
\]
har flere løsninger. 
Finn to av dem.
\end{oppgave}

Det er andre differensiallikninger enn de vi har studert i denne økten 
som lar seg løse analytisk. 
Trikset er det samme - 
gang eller del med et eller annet og integrer. 

\begin{oppgave}{4}
Fallskjermlikningen
\[
\dot{v}=1-v^2
\] 
er en separabel likning som modellerer farten til en fallskjermhopper.
Løs likningen med forskjellige initialkrav,
plott løsningene oppå hverandre,
og forklar hva som skjer.
\end{oppgave}


Differensiallikninger har i noen tilfeller enorm prediktiv kraft.
Hvis du skal sende en rakett til månen,
må du løse en haug med differensiallikninger bygget på Newtons gravitasjonslov.
Men realistisk modellering er fryktelig komplisert -
noen av de enkle modellene vi studerer her passer greit til måledata (for eksempel RC-kretsen),
mens noen er håpløst inadekvate (for eksempel atmosfæretrykkmodellen).
Vi må allikevel gjennom dem,
for det er umulig å forstå kompliserte modeller uten å først forstå enklere modeller.
Ecolimodellen 
\[
	\dot x = ax \hspace{10mm} x(0) = x_0 \hspace{10mm} a > 0
\]
spår eksponensiell vekst for all fremtid.
Men som David Attenborough i 2013 uttalte under et foredrag i The Royal Geographical Society:\\
\say{Anyone who thinks that you can have infinite growth in a finite environment is either a madman or an economist.}
\footnote{Sitatets opprinnelse er noe usikker. Det var nok ikke han som fant det på.}\\
Dyr som formerer seg kan sjelden fortsette med det uten å før
eller siden oppleve noen som helst form for begrensning i veksten.
De må jo ha mat.
Maurkolonier og sjimpanseflokker dreper hverandre. \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gombe_Chimpanzee_War}}
Den enkleste utvidelsen for å inkorporere dette i modellen vi startet med,
er å erstatte $a$ med en positiv funksjon  som har et nullpunkt i den
bestanden $x$ som maksimalt kan opprettholdes på området.
Hvis vi gjør det enkelt og sier at denne funksjonen skal være en rett linje,
får vi det \textbf{logistiske problemet}\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function}}
\[
\dot{x}=a\left( 1-x/k \right)x \hspace{10mm} x(0) = x_0 \hspace{10mm} a >0,\; k > 0
\]
der $k$ er en konstant som kalles \textbf{bærekapasiteten}.
Hvis du ser nøye på likningen,
vil du nok se at når $x$ stiger mot $k$,
vil vekstraten synke mot null,
slik at dyrene formerer seg saktere og saktere.
Denne likningen kan løses,
men det er ikke trivielt.
\[
x(t)=\frac{kx_0e^{at}}{k-x_0+x_0e^{at}}.
\]


\begin{oppgave}{5}
	Løs og plott i python for forskjellige $a$, $k$ og $x_0$.\\
	(Søk opp \say{separable equation}.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Likningen
\[
\dot{x}(t)+p(t)x(t)=q(t)
\]
løses på samme måte som Balchens foldingstriks; 
det er bare litt mer hårete. Prøv.
\end{oppgave}



Kjemiske reaksjoner kan gå fort og langsomt,
og det finnes differensiallikninger som modellerer reaksjonshastighet. 
Reaksjonshastighet er viktig,
for noen reaksjoner bør helst gå fort (for eksempel forbrenning)
mens andre bør gå sakte (for eksempel korrosjon).
Atmosfæren består av 78 prosent nitrogen og 21 prosent oksygen. 
Ved vanlig trykk og temperatur reagerer ikke disse, 
men ved for eksempel lynnedslag eller forbrenning 
i dieselmotorer eller skogbrann blir det mer fart i dem,
og så kombinerer de til nitrogenoksider ($\ce{NO_x}$).
Det er disse som gir Los Angeles sin berømte smog:\\
\url{https://www.latimes.com/local/la-me-air-pollution-0428-pictures-photogallery.html}

I atmosfæren er det mange forskjellige reaksjoner mellom nitrogenoksider og oksygen.
En av dem er at nitrogendioksid splitter i nitrogenmonoksid og oksygen:
\[
2\ce{NO2(g)} \to 2\ce{NO(g)}+\ce{O2(g)}.
\]
I noen tilfeller av denne går visst reaksjonsratene som kvadratet av konsentrasjonene
\[
\frac{d[A]}{dt}=-k[A]^2
\]
der \textbf{reaksjonshastigheten} $k$ er en empirisk konstant som 
avhenger av trykk og temperatur og de støkiometriske koeffisientene og så videre.

\begin{oppgave}{7}
Det ryktes på internett at
$k=0.54$ per mol per sek for reaksjonen over ved 300 grader celsius.
Løs likningen 
\[
\frac{d[\ce{NO2}]}{dt}=-k[\ce{NO2}]^2.
\]
\end{oppgave}

\begin{minipage}{100mm}
\begin{oppgave}{13}
    Bildet til høyre viser en ammonitt.\\
    Finn bredden på kamrene som funksjon av vinkelen.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{40mm}
    \includegraphics*[scale=.1]{../figurer/ammonitt.png}
\end{minipage}

\begin{comment}

\begin{oppgave}{7}
I kretsen under er det en spole med variabel induktans: \\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Inductor#Variable_inductor} \\
Spenningskilden er også variabel.
Laurentius Lie dreier på knappen til spolen slik at $L(t)=t$ og på spenningskilden slik at $V(t)=t$.
Finn strømmen i kretsen,
gitt at det ikke går strøm ved $t=1$.
\begin{center}
	\begin{circuitikz}
		\draw  (0,3) to [R=1$\Omega$ ] (4,3) to [cute inductor=$L(t)$] (4,1) to  (0,1);
		\draw  (0,3) to [V=$V(t)$]  (0,1);
	\end{circuitikz}
\end{center}
\end{oppgave}



\section*{GAMLE EKSAMENSOPPGAVER MED LØSNINGSFORSLAG}

\begin{oppgave}{1}
Vis at
\[
x(t)=x_0e^{-at}
\]
er den eneste kontinuerlig deriverbare løsningen til initialverdiproblemet
\[
\dot{x}+ax=0 \qquad x(0)=x_0.
\]
	\textbf{Løsning:} La oss anta at det finnes en annen løsning $h(t)$.
Dersom vi deriverer produktet $e^{at}h(t)$,
får vi
\[
\frac{d}{dt}e^{at}h(t)=e^{at}\dot{h}(t)+ae^{-at}h(t)=x_0e^{at}\left(\dot{h}(t)+ah(t)\right)=0
\]
så med andre ord må
\[
e^{at}h(t)=c
\]
slik at
\[
h(t)=ce^{-at}
\]
og bruker vi initialkravet $h(0)=x_0$,
ser vi til og med at
\[
h(t)=x_0e^{-at}=x(t).
\]
Med andre ord har problemet
\[
\dot{x}+ax=0 \qquad x(0)=x_0
\]
kun en løsning.
\end{oppgave}
\end{comment}
\end{document}