\input{../preamble}

\title{PIPAREN}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

%leyland 17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193 

Balthasar van der Pol var en nederlandsk fysiker som jobbet med radiorør 
i Phillips på 1920-tallet og oppdaget noe som i dag kalles van der Pols likning:
\[
\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot x+x=0
\]
Dette er en likning som brukes til å modellere alt mulig fra radiorør til 
hjerterytme og gnisninger mellom kontinalplater. 
For å skjønne noe av den må man ha god forståelse
for lineære andreordens differensiallikninger:
\[
a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0
\]
så la oss repetere disse litt. 

\begin{oppgave}{17}
Forklar svigermoren din hva $a$, $b$ og $c$ betyr i likningen over,
ved å bruke enten en mekanisk eller elektrisk modell.
Tegn opp en RLC-krets eller en kloss og en fjær med støtdemper eller noe slikt.
\end{oppgave}

Det som er essensielt når man skal forstå van der Pols likning,
er at man har god forståelse av parameteren $b$ i den lineære andreordens differensiallikningen.

\begin{oppgave}{593}
Forklar spesielt nøye at dersom $b>0$ er leddet $b\dot x$ et ledd som tapper det fysiske systemet for energi. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{32993}
Den eneste forskjellen mellom van der Pols likning og den lineære likningen,
er nettopp faktoren som er ganget med $\dot x$.
Bruk din forståelse av $b\dot x$ til å gjøre rede for leddet $\mu(x^2-1)\dot x$ i van der Pols likning.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2097593}
Skriv van der Pols likning om til et første ordens system, 
løs numerisk med symplektisk Euler,
og plott løsningen i faseplanet.
\end{oppgave} 

%\begin{center}
%\begin{circuitikz}
%\draw  (0,3) to (0,1);
%\draw  (2,3) to (2,4);
%\draw  (2,3) to (2,6);
%\draw  (4,3) to (4,6);
%\draw (2,4) to [R]  (4,4);
%\draw (4,5) to [D]  (2,5);
%\draw (2,6) to [D]  (4,6);
%\draw (0,3)to [R] (2,3);
%\end{circuitikz}
%\end{center}


Her et bilde av piparen (fra unge lovende studass Kallands designnotat):

\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../../figurer/277294865_521270166113189_5004046257353444784_n}
\end{center}

Det kan vises at denne modelleres av differensiallikningen
\[
\ddot{y}+\frac{R_0}{L}\left(1-g'(y)\right)\dot{y}+\frac{1}{LC}y=0
\]
der $g$ er en funksjon som beskriver den ikkelineære forsterkerens virkemåte.
Det er ikke så lett å finne et uttrykk for $g$, 
men den ser omtrent slik ut (den blå kurven, nok en gang Kalland):
\begin{center}
\includegraphics[scale=.11]{../../figurer/276133934_298406969101313_1436609428951428358_n}
\end{center}
og det går an å vise at dersom opampene er i lineært område, 
er (spør Kalland eller Lundheim)
\[
y=g^{-1}(z)=Az+B\sinh{\left(z/nV_T\right)}
\]
der $A$ og $B$ avhenger av motstandene $R_1$, $R_2$ og $R_3$ samt diodenes reversstrøm 
(vi antar at diodene er av samme type),
og $nV_T$ kommer fra Shockleys diodelov.
I modelleringen blir du altså nødt til å huske hva en invers funksjon er
og hvordan man bruker Newtons metode for likningsløsning.
Formelen 
\[
\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
\]
kan også være nyttig.
Du kan finne $g$ for din krets på flere måter,
enten ved et kretsteoretisk argument eller ved å måle med oscilloskopet og prøve å sette $A$ og $B$ ved regresjon (omtrent slik du har lært i TMA4245). 
Det finnes også andre måter, alt er lov.

\begin{oppgave}{8589935681}
Løs piparlikningen med symplektisk Euler,
og skriv en rapport om hva du har gjort og hva du har tenkt. 
Faseplottet bør likne så mye som mulig på oscilloskopplottet.
\end{oppgave} 


\begin{center}
\includegraphics[scale=.24]{../../figurer/L1019168}
\end{center}
\end{document}


%59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193 

