\input{kapittel}

\kapittel{2}{Funksjoner fra $\mathbb R^m$ til $\mathbb R^n$}

Nå skal vi  studere funksjoner fra $\mathbb R^m$ til $\mathbb R^n$. 
En slik funksjon kalles et vektorfelt,
og er en kolennevektor i med $n$ komponenter der komponentene 
er funksjonsuttrykk i $m$ variable:
\[
\mathbf F (\mathbf x) =
\begin{pmatrix}
F_1(\mathbf x) \\[1mm]
F_2(\mathbf x) \\[1mm]
\vdots \\[1mm]
F_n(\mathbf x) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
F_1(x_1,2_x,\cdots,x_m) \\[1mm]
F_2(x_1,2_x,\cdots,x_m) \\[1mm]
\vdots \\[1mm]
F_n(x_1,2_x,\cdots,x_m) \\[1mm]
\end{pmatrix}
\]
I forrige kapittel skrev jeg 
gradientvektoren $\nabla f$ som radvektor. 
Dette var ikke tilfeldig. 
Når man skal lære funksjoner fra $\mathbb R^m$ til
$\mathbb R^n$ er det lurt å være litt systematisk
med rader og kolonner, 
for da kan man utnytte at man kan matrisemultiplikasjon.

\begin{ex}
Det eksemplet du er godt kjent med fra før,
er funksjonen
\[
\mathbf F (\mathbf x) =
A\mathbf x
\]
der $A$ er en $m\times n$-matrise og 
$\mathbf x$ er en en vektor i $\mathbb R^m$.
\end{ex}

Det er antagelig lurt å tenke på $\mathbf x \in \mathbb R^m$
som en søylevektor,
samt skrive $\mathbf F$ som en kolonnevektor,
for det er dette vi er vant med fra lineæralgebraen,
og $A\mathbf x$ er en av de mest elementære funksjonene vi har
fra $\mathbb R^m$ til $\mathbb R^n$.

\begin{ex}
Hvis vi regner ut de partiellderiverte til 
$\mathbf F (\mathbf x) =
A\mathbf x$,
ser vi at de $m$ partiellderiverte til hver komponent
er det samme som radene i $A$. 
Det er derfor ikke helt tilfeldig at vi skriver 
gradientvektoren som en radvektor når $\mathbf F$ skrives som kolonnevektor.
\end{ex}

De partiellderiverte til $\mathbf F$ organiseres 
i en \defterm{jacobimatrisen} til $\mathbf F$:

\begin{align*}
D_{\mathbf x}\mathbf F =
\begin{pmatrix}
\nabla F_1\\[2mm]
\nabla F_2\\[2mm]
\vdots\\[2mm]
\nabla F_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial F_1}{\partial x_m} \\[3mm]
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial F_2}{\partial x_m} \\[3mm]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3mm]
\frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial F_n}{\partial x_2}& \cdots &\frac{\partial F_n}{\partial x_m} \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Til syvende og sist har nok denne konvensjonen å gjøre med
at vi skriver fra venstre mot høyre. 
Vi skriver jo likningsssystemer slik:
\[
\setlength\arraycolsep{1pt}
\begin{array}{rcrcrc@{\;}l}
2x_1   & + &   3x_2   & + &      4x_3  &  =   &  4 \\
3x_1   & + &  4x_2   & + &       5x_3   &  =   &  5 \\
4x_1   &  + &    5 x_2   &  + &   6x_3   &  =   &  6 
\end{array}
\]
og derfor skriver vi matriser på en slik måte
at radene er koeffisientene i hver likning, 
mens høyresiden er en kolonnevektor.
Det er kanskje ikke fullt så innlysende hvorfor vi også
skriver variabelen $\mathbf x$ som en kolonnevektor.

Uansett er det nå praktisk å gjøre det slik vi gjør, 
for kjerneregelen blir lett å skrive opp: 
\begin{tcolorbox}[title=Kjerneregelen i flere variable]
La $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^p$ og  
$\mathbf G: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$,  
og  la $H: \mathbb R^m \to \mathbb R^p$ være gitt ved $\mathbf H=\mathbf F(\mathbf G)$.
Da er  $D\mathbf H$ gitt ved matriseproduktet mellom $D\mathbf F$ og $D\mathbf G$:
\[
D\mathbf H=D\mathbf F D\mathbf G
\]
\end{tcolorbox}


\kapittelslutt
