\input{kapittel}

\kapittel{2}{Funksjoner fra $\mathbb R^n$ til $\mathbb R$}

Nå skal vi  studere funksjoner fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R$. 
Slike funksjoner kalles skalarfelt,
og er ofte gitt ved et funksjonsuttrykk i to variable:
\[
z=f(x,y) \quad \text{eller} \quad x_3=f(x_1,x_2)=f(\mathbf x)
\]

\section*{\huge Nivåkurver}
Du bør til å begynne med tenke på $x$ og $y$ (eller $x_1$ og $x_2$) som koordinater, 
og $z$ (eller $x_3$) som den korresponderende høyden over havet. 
Funksjonen $f$ angir terrenget, og den positive $y$-aksen (eller $x_2$-aksen) peker mot nord.
Siden vi nå må visualisere i tre dimensjoner ($x$, $y$ og $z$ eller $x_1$, $x_2$ og $x_3$) blir livet mer komplisert, 
og dette tar som regel litt tid å venne seg til.


På et kart forteller ekvidistanselinjene noe om høyden over havet;
dersom du følger en ekvidistanselinje, 
går du hverken opp eller ned. 
Den matematiske ekvivalenten til ekvidistanselinjene kalles nivåkurve.
Disse er gitt ved
\[
c=f(x,y),
\]
og forskjellige $c$ gir forskjellige høyder over $xy$-planet.

\begin{ex}
Nivåkurvene til 
\[
f(x,y)=x+2y
\] 
blir rette linjer på formen $c=x+2y$.
\end{ex}

Akkurat som på kart, 
kan man bruke avstanden mellom ekvidistanselinjene til å indikere hvor bratt funksjonen stiger.

\begin{ex}
Nivåkurvene til 
\[
g(x,y)=(x+2y)^2
\] 
er de samme rette linjene som i forrige eksempel.
\end{ex}


Et polynom i to variable er gitt ved
\[
p(x,y)=\sum_{k,m}a_{km}x^ky^m
\]
Dersom $k+m\leq n$ og $k+m=n$ for minst en kombinasjon av $k$ og $m$, 
sier vi at polynomet har orden $n$. 
For eksempel er et generelt førsteordens polynom gitt ved
\[
p(x,y)=ax+by+c.
\] 
Grafen til denne  blir alltid et plan i $\mathbb R^3$. 
Et generelt andreordens polynom er gitt ved
\[
p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
\] 
Nivåkurvene til andreordens polynomer er de berømte kjeglesnittene:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section}\\
Parabelen og sirkelen kjenner du fra før. 
For en generasjon siden måtte sivingstudenter kunne alle disse på fingrene,
men idag fokuserer vi mer på andre ting. 
Kjeglesnittene kan være nyttige å kjenne til en gang i blant. 

\begin{ex}
Finn  og skisser niv{\aa}kurvene til flaten gitt ved $z=4x^2+8x+5y^2-10y+9$.
\end{ex}

\section*{\huge Derivasjon}
Vi har nå to uavhengige variable, 
og det er interessant å vite hvordan $f$ endres med hensyn på begge.
Derfor finnes det to deriverte.
De skrives
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}
=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\[3mm]
\frac{\partial f}{\partial y}
=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
\end{align*}
eller 
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x_1}
=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2)}{h}\\[3mm]
\frac{\partial f}{\partial x_2}
=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2+h)-f(x_1,x_2)}{h}
\end{align*}
og uttales henholdsvis \say{$f$ derivert med hensyn på $x$ og $y$ (eller $x_1$ og $x_2$)}.

Å partiellderivere er enkelt:
Man finner 
$\frac{\partial f}{\partial x}$
ved å betrakte $y$ som en konstant, 
og så derivere i vei med hensyn på $x$. 
Samme for $y$. 

\begin{ex}{5}
Finn de partiellderiverte til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$.
\end{ex}

Det er vanlig å sette opp der partiellderiverte i en vektor, 
kalt gradientvektoren:
\[
\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]
\]
Vi kan fortsette å derivere. 
Det finnes fire andrederiverte, 
hvorav to er rene:
\[
\frac{\partial f^2}{\partial x^2}
\quad
\text{og }
\quad
\frac{\partial f^2}{\partial y^2},
\]
 og to er blandede:
\[
\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}
\quad
\text{og }
\quad
\frac{\partial f^2}{\partial y \partial x}.
\]
De to siste er identiske dersom de er kontinuerlige,
men det finnes patologiske eksempler der de ikke er like.
Dette skal vi se på senere, 
nå skal vi bare få til å derivere.


\begin{ex}
Finn gradientvektoren til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$.
\end{ex}

\begin{ex}{7}
Finn gradientvektoren til $g(x,y)=\sin x \sin y$.
\end{ex}

Tangentplanet til $f$ i punktet $(x_0,y_0)$ er gitt ved
\[
z=(x-x_0)+b(y-y_0)+f(x_0,y_0)
\]
der 
\[
a=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
\quad \text{og} \quad
b=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)
\]

\begin{ex}{8}
Finn tangentplanet til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$ i $(1,2)$.
\end{ex}

\begin{ex}{9}
Finn tangentplanet til ${g(x,y)=\sin x \sin y}$ i $(\pi/2,\pi/2)$.
\end{ex}


De partiellderiverte forteller noe om stigningen til funksjonen.
Tenk at $f$ er et fjell, og at du går på ski. 
Dersom du peker skiene i enhetsretningen $\mathbf v$, 
er stigningen i denne retningen gitt ved
\[
\mathbf v \cdot \nabla f
\]
der prikken $\cdot$ betegner skalarproduktet du lærte på videregående.

\begin{ex}{10}
Finn stigningen på fjellsiden $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$ når du står i punktet $(1,2)$ og  skiene peker rett nordvest.
\end{ex}

\begin{ex}{11}
Hvilken vei må du peke skiene dersom du vil gå langs med en ekvidistanselinje på fjellet 
${g(x,y)=\sin x \sin y}$, 
og står i punktet $(\pi/4,\pi/4)$? 
\end{ex}


\begin{ex}{12}
Hva om du vil kjøre rett utfor så bratt som mulig? \\
\end{ex}


\section*{\huge Dobbeltintegral}

Tenk på $f$ som taket i et hus eller ladningstettheten på en plate. 
Integralet 
\[
\iint_D f(\mathbf x) \; d\mathbf x
\]
kan du tenke på som volumet av huset eller den totale ladningen på platen. 
Grunnflaten i huset er gitt ved $D \in \mathbb R^2$. 

Dersom $D$ er et rektangel blir dette ikke noe vanskeligere enn i envariabel kalkulus. 
La oss finne volumet under flaten gitt ved $x_3=f(x_1,x_2)=x_1x_2$ 
på kvadratet avgrenset av $0 \leq x_1 \leq1$ og $0 \leq x_2 \leq1$.
Vi uttrykker våre følelser for dette kvadratet ved å skrive
\[
D=[0,1] \times [0,1]
\]
som kalles et kartesisk produkt. 
Integralet blir
(vi bytter til $x$ og $y$ for lesbarhetens skyld):

\begin{align*}
\iint_D f(\mathbf x) \; d\mathbf x
=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy \; dxdy
=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy
\end{align*}

Dette kalles et iterert integral, 
for det er et integral inni et annet integral. 
Først tar vi det innerste integralet. 
Det er med hensyn på $x$, 
fordi $dx$ står innerst. 
Vi går fremad med samme taktikk som ved partiellderivasjon;
man integrerer med hensyn på $x$, 
og later som om $y$ er en konstant:

\begin{align*}
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}xy \; dx\right)dy&=
\int_{0}^{1}\left[ \frac{1}{2}x^{2}y \;\right]_{x=1}^{x=1} dy \\
&=\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot y - \frac{1}{2}\cdot 0^{2}\cdot y\; \right) dy\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y \; dy
\end{align*}

Funksjonen $g(y)=\frac{1}{2}y$  
gir  arealet av tverrsnittet av volumet vi  beregner.
(Tenk at du for hver $y$-verdi har saget volumet i to med en motorsag, 
parallelt  med $x$-aksen).
Hvis du skjønte riemannsumtankegangen i forrige semester,
skjønte du forhåpentligvis at dersom man har en funksjon som beskriver
arealet av tverrsnittet av et volum, 
finner man volumet ved å integrere tverrsnittsfunksjonen:

\begin{align*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y \; dy=\left[\frac{1}{4}y^{2}\; \right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}
\end{align*}


Det som kan gjøre dobbeltintegraler litt knotete,
er at integrasjonsområdet $D$ kan være noe mer komplisert enn et rektangel.
La oss prøve trekanten avgrenset av $x=0$, $y=0$, og linjen $x=1-y$. 
Men nå blir det litt mer komplisert, 
for vi får et funksjonsuttrykk i en integrasjonsgrense i det innerste integralet:

\begin{align*}
\iint_D f(x,y) \; dA=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y}xy \; dx \right) dy
\end{align*}

Akkurat som isted, 
angir det innerste integralet arealet av tverrsnittet til volumet vi beregner, 
men nå skal  vi bare integrere ut til linjen $x=1-y$, 
ikke helt ut til $x=1$. 
Vi integrerer:

\begin{align*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1-y}xy \; dx\right) dy=&
\int_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}x^{2}y\right)_{x=0}^{x=1-y}  \; dy\\ 
=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy
\end{align*}

Vi integrerer nå tverrsnittsfunksjonen:

\begin{align*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y-2y^{2}+y^{3}  \; dy\\
=&\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}y^{2}-\frac{2}{3}y^{3}+\frac{1}{4}y^{4}\right)_{y=0}^{y=1}=\frac{1}{24}
\end{align*}

\section*{\Huge Linjeintegraler}

En av de tingene som gjør funksjoner av flere variable (inn og ut) komplisert,
er at det blir et forvirrende antall forskjellige integraltyper å holde styr på.
Nå skal vi se på en annen måte å integrere funksjoner fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R$.
La oss nå si at en brugde svømmer langs med en trajektorie gitt ved $\mathbf z$,
og at planktontettheten i vannet langs kurven er gitt ved $f(x,y)$.
Hvis du tenker riemannsummer, 
er det kanskje ikke så vanskelig å se at det brugden spiser på en infinitesimal del av kurven er gitt ved
\[
f\left(x(t),y(t)\right)\sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)} dt,
\]
og derfor er brugdens totale måltid gitt ved
\[
\int_\Gamma f ds=\int_a^b f\left(x(t),y(t)\right) \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\; dt.
\]
Dette kalles linjeintegralet til  $f$ over $\Gamma$.
Du kan også tenke på linjeintegralet som arealet til en vegg i et hus. 
Veggen følger kurven $\Gamma$ sett ovenfra, 
og husets tak er gitt av $f$.



\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/brugde}\\
By Greg Skomal / NOAA Fisheries Service
\end{center}
\end{figure}

\section*{\Huge Newtons metode}

Anta at vi har to funksjoner $f(x,y)$ og $g(x,y)$. Vi leter etter et punkt $(a,b)$ slik at både 
\begin{equation*}
f(a,b)=0 
\quad \text{og} \quad
g(a,b)=0.
\end{equation*}
likningene 
\begin{equation*}
f(x,y)=0 
\quad \text{og} \quad 
g(x,y)=0 
\end{equation*}
angir nivåkurver for funksjonene $f$ og $g$. Punktet $(a,b)$ må ligge på skjæringspunktet mellom disse.
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
%      \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
%      \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
%      \filldraw[fill=blue!75!white,fill opacity=0.55] (-0.866,0.5)
%        [snake=coil,segment aspect=0,segment amplitude=1pt] --
%        (0.866,0.5) arc(30:-210:1cm);
      \draw[blue] (-2,0) circle (2cm) node[right,xshift=1cm,yshift=2cm]{$f(x,y)=0$};
      \draw[red] (0,-1) circle (1.5cm) node[right,xshift=1.5cm,yshift=0cm]{$g(x,y)=0$};
      \node[below right] at (-.3,.7){$\circ$};
      \node[below right] at (0,1.2){$(a,b)$};
%      \node[below left] at (-1,0){$-1$};
%      \node[above left] at (0,1){$1$};
%      \node[below left] at (0,-1){$-1$};
%      \node[draw,fill=white,align=center] at (0,0){$75$ \%};

   %   \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-3.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x$};
          \draw[->] (-2.5,-1) -- (-2.5,1.3) node[above]{$y$};
%          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=2cm,yshift=1.2cm]{$u(x,t)$};
%          \draw (0,0) -- (2*0.866,1);
%          \draw[snake=coil,segment aspect=0,segment amplitude=1pt]
%            (0,1) -- (2*0.866,1);
%          \draw (0,0.35) arc(90:30:0.35cm)
%            node[above,xshift=-0.05cm,yshift=0.05cm]{$\theta$};
%          \draw[snake=brace] (-0.05,0) --
%            node[left,xshift=-0.05cm]{$h$} (-0.05,1);
%          \node[below] at (2,0){$L$};
%          \node[left] at (0,2){$L$};
%      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
Anta at du har en iterasjon $(x_n,y_n)$. Vi setter opp tangentplanene til $f$ og $g$ i $(x_n,y_n)$
\begin{align*}
z-f(x_n,y_n)&=\\ f_x(x_n,y_n&)(x-x_n)+f_y(x_n,y_n)(y-y_n) \\[5pt]
z-g(x_n,y_n)&=\\ g_x(x_n,y_n&)(x-x_n)+g_y(x_n,y_n)(y-y_n).
\end{align*}
Hvis vi krever at $z=0$, får vi likninger for skjæringslinjene mellom disse tangentplanene og $(x,y)$-planet 
\begin{align*}
-f(x_n,y_n)&=\\ f_x(x_n,&y_n)(x-x_n)+f_y(x_n,y_n)(y-y_n) \\[5pt]
-g(x_n,y_n)&=\\ g_x(x_n,&y_n)(x-x_n)+g_y(x_n,y_n)(y-y_n).
\end{align*}
Iterasjonen $(x_{n+1},y_{n+1})$ defineres som skjæringen mellom disse linjene.
 \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[thick]
%      \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right]{$x$};
%      \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above]{$y$};
%      \filldraw[fill=blue!75!white,fill opacity=0.55] (-0.866,0.5)
%        [snake=coil,segment aspect=0,segment amplitude=1pt] --
%        (0.866,0.5) arc(30:-210:1cm);
      \draw[blue] (-2,0) circle (2cm) ;
      \draw[red] (0,-1) circle (1.5cm);
      \node[below right] at (0,1.2){$(a,b)$};
       \node[below right] at (-.3,.7){$\circ$};
      \draw[green] (-.6,4) -- (2.6,-1);
       \draw[green](4,-.6) -- (-1,3);

      \node[below right] at (1,2.2){$(x_{n+1},y_{n+1})$};
       \node[below right] at (.73,1.78){$\circ$};


      \node[below right] at (2.3,3.2){$(x_n,y_n)$};
       \node[below right] at (2,3){$\circ$};

%          \draw[-] (-2,-1) -- (-2.5,1.3); 

%      \node[below left] at (-1,0){$-1$};
%      \node[above left] at (0,1){$1$};
%      \node[below left] at (0,-1){$-1$};
%      \node[draw,fill=white,align=center] at (0,0){$75$ \%};

   %   \begin{scope}[xshift=5cm,yshift=-1cm]
          \draw[->] (-3.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x$};
          \draw[->] (-2.5,-1) -- (-2.5,1.3) node[above]{$y$};
%          \draw (2,0) arc(55:125:3.9cm) node[right,xshift=2cm,yshift=1.2cm]{$u(x,t)$};
%          \draw (0,0) -- (2*0.866,1);
%          \draw[snake=coil,segment aspect=0,segment amplitude=1pt]
%            (0,1) -- (2*0.866,1);
%          \draw (0,0.35) arc(90:30:0.35cm)
%            node[above,xshift=-0.05cm,yshift=0.05cm]{$\theta$};
%          \draw[snake=brace] (-0.05,0) --
%            node[left,xshift=-0.05cm]{$h$} (-0.05,1);
%          \node[below] at (2,0){$L$};
%          \node[left] at (0,2){$L$};
%      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
Altså er 
\begin{align*}
-f(x_n,y_n)&=\\ f_x(x_n,&y_n)(x_{n+1}-x_n)+f_y(x_n,y_n)(y_{n+1}-y_n) \\[5pt]
-g(x_n,y_n)&=\\ g_x(x_n,&y_n)(x_{n+1}-x_n)+g_y(x_n,y_n)(y_{n+1}-y_n),
\end{align*}
et lineært likningssystem som definerer $(x_{n+1},y_{n+1})$. Matrisen er 
\begin{equation*}
 \begin{pmatrix} & f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n) &  \\ & g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n) &   \end{pmatrix}
\end{equation*}
og vi skriver
\begin{align*}
-\begin{pmatrix}  \, f(x_n,y_n) \,   \\ \,  g(x_n,y_n) \,    \end{pmatrix} =\qquad\qquad & \\   \begin{pmatrix}  f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n)   \\  g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n)   \end{pmatrix} &  \begin{pmatrix}  \, x_{n+1}-x_n\,  \\ \,  y_{n+1}-y_n \,   \end{pmatrix}.
\end{align*}
Nå kan vi gange med 
\begin{equation*}
 \begin{pmatrix}  f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n)  \\  g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n)   \end{pmatrix} ^{-1}
\end{equation*}
fra venstre, legge til $(x_n,y_n)$ på begge sider, og få Newtons metode for systemer 
\begin{align*}
  \begin{pmatrix}  \, x_{n+1}\,  \\ \,  y_{n+1} \,   \end{pmatrix}  &= \begin{pmatrix}  \, x_n\,   \\ \,  y_n \,   \end{pmatrix}  \\ &-\begin{pmatrix}  f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n) \\  g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n)   \end{pmatrix}^{-1} & \begin{pmatrix}  \, f(x_n,y_n) \,   \\ \,  g(x_n,y_n) \,    \end{pmatrix}.
\end{align*}
Jeg gadd ikke skrive ut hva
\begin{equation*}
 \begin{pmatrix} & f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n) & \\ \\ & g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n) & \\  \end{pmatrix} ^{-1}
\end{equation*}
er, men du kan regne det ut ved å huske fra lineæralgebraen at 
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
\end{equation*}

\begin{ex}
Vi leter etter løsninger til systemet
\begin{align*}
x^2+y^2=&1 \\
\frac{x^2}{4}+2y^2=&1 
\end{align*}
Som du husker fra M2 er den første likningen for enhetssirkelen, 
mens den andre er likningen for en ellipse med halvakser 2 og $\frac{1}{2}$. 
Trekker man to ganger den første fra den andre, 
kan man regne ut at skjæringspunktet mellom disse kurvene i første kvadrant er
\[
\left(\frac{2}{\sqrt{7}},\sqrt{\frac{3}{7}}\right)\approx ( 0.755928946018454, 0.654653670707977).
\]
La oss se om Newtons metode finner dette punktet. 
Siden 
\[
f(x,y)=x^2+y^2-1
\]
og
\[
g(x,y)=\frac{x^2}{4}+2y^2-1
\]
blir 
\[
\begin{pmatrix}  f_x(x_n,y_n) & f_y(x_n,y_n) \\  g_x(x_n,y_n) & g_y (x_n,y_n)   \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  2x & 2y \\  \frac{x}{2} & 4y   \end{pmatrix}
\]
som har invers
\[
\frac{1}{7xy}\begin{pmatrix}  4y & -2y \\  -\frac{x}{2} & 2x   \end{pmatrix}.
\]
Metoden blir 
\begin{align*}
  \begin{pmatrix}  \, x_{n+1}\,  \\ \,  y_{n+1} \,   \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}  \, x_n\,   \\ \,  y_n \,   \end{pmatrix}  -\frac{1}{7xy}\begin{pmatrix}  4y & -2y \\  -\frac{x}{2} & 2x   \end{pmatrix} & \begin{pmatrix}  \, f(x_n,y_n) \,   \\ \,  g(x_n,y_n) \,    \end{pmatrix},
\end{align*}
og starter vi i $(1,1)$, får vi:
\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
$n$ & $x_n$ & $y_n$ \\
$1$ & 1.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
$2$ & 0.785714285714286 & 0.714285714285714 \\
$3$ &   0.756493506493507 &  0.657142857142857 \\
$4$ & 0.755929156680230 & 0.654658385093168 \\
$5$ & 0.755928946018484 &0.654653670724952  \\
$6$ & 0.755928946018454 & 0.654653670707977 \\
$7$ &0.755928946018455 & 0.654653670707977 \\
\end{tabular}
\end{center}
Maskinpresisjon etter syv iterasjoner. Bra greier det her.
\end{ex}



\kapittelslutt
