\input{kapittel}

\kapittel{7}{Funksjoner fra $\mathbb R$ til $\mathbb R^n$}

En vektorfunksjon er en vektor der komponentene er funksjoner. 
Vi skal begynne med å studere vektorfunksjoner der definisjonsmengden $\mathbb R$ eller en bit av denne,
og verdimengden er $\mathbb R^2$ eller $\mathbb C$.
Grafen til en vektorfunksjon kan man tenke på som trajektorien til en flue som surrer rundt i rommet en varm sommerdag.
Mengden av alle vektorfunksjoner utgjør et vektorrom med uendelig mange dimensjoner. 

\section*{\Huge Parametriseringer}

Du kjenner allerede mange vektorfunksjoner.

\begin{ex}
Funksjonen $\V x: \mathbb R \to \mathbb R^2$ gitt ved
\[
\V x(t)=
\begin{pmatrix}
1+t \\ 
2t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
1 \\ 
2
\end{pmatrix}
\]
beskriver en rett linje. 
Disse var i min tid pensum på videregående skole.
\end{ex}

\begin{ex}
Funksjonen $\V x: \mathbb R \to \mathbb R^2$ gitt ved
\[
\V x(t)=
\begin{pmatrix}
1+2t \\ 
4t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 
0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
2 \\ 
4
\end{pmatrix}
\]
beskriver den samme rette linjen som i forrige eksempel,
men fluen flyr her med dobbel fart. 
\end{ex}

\begin{ex}
Funksjonen $\V y: [0,2\pi] \to \mathbb R^2$ gitt ved
\[
\V y(t)=
\begin{pmatrix}
\cos t \\ 
\sin t
\end{pmatrix}
\]
beskriver enhetssirkelen. 
Jeg vet ikke om denne vektorfunksjonen er pensum på videregående skole, 
men det er definitivt pensum å vite at $(\cos t, \sin t)$ er et punkt på enhetssirkelen for alle $t$.
\end{ex}

\begin{ex}
Funksjonen $z: [0,\pi] \to \mathbb C$ gitt ved
\[
z(t)=e^{it}=\cos t + i \sin t
\]
beskriver også enhetssirkelen,
men nå i det komplekse planet.
\end{ex}


\begin{ex}
Dersom  $f: \mathbb R \to \mathbb R$ er en vanlig envariabel funksjon, 
vil 
\[
\V x (t)=
\begin{pmatrix}
t \\ 
f(t)
\end{pmatrix}
\]
tegne den samme grafen i $\mathbb R^2$.
\end{ex}

Eksemplene over illustrerer at mange forskjellige vektorfunksjoner kan representere det samme grafiske objektet,
i den forstand at to forskjellige vektorfunksjoner kan ha nøyaktig den samme grafen,
selv om funksjonsuttrykkene er forskjellige.
Funksjonsuttrykket $\V x(t)$ kalles gjerne en parametrisering for kurven det er snakk om.


\section*{\Huge Tangentvektoren}

For envariable funksjoner definerer man stigningstall, 
og så bruker man dette til å skrive opp en likning for tangenten. 
For vektorfunksjoner definerer vi bare tangent på direkten.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=Fartsvektoren]
Tangenten til vektorfunksjonen $\V x(t)$  er 
\[
\dot{\V x}(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\V x(t+h)-\V x(t)}{h}.
\]

\end{tcolorbox}

Dersom tangenten eksisterer, 
sier vi at $\V x$ er deriverbar. 
Definisjonen impliserer at dersom 
\[
\V x(t)=
\begin{pmatrix}
x_1(t) \\ 
x_2(t) 
\end{pmatrix}
\]
er
\[
\dot{\V x}(t)=
\begin{pmatrix}
\dot{x}_1(t) \\ 
\dot{x}_2(t) 
\end{pmatrix}.
\]

\begin{ex}
Enhetssirkelfunksjonen
\[
\V y(t)=
\begin{pmatrix}
\cos t \\ 
\sin t
\end{pmatrix}
\]
har tangentvektor gitt ved
\[
\V y(t) = 
\begin{pmatrix}
-\sin t \\ 
\cos t
\end{pmatrix}.
\]


\begin{center}
\begin{tikzpicture}


%tangent
\draw[thick,-latex] (2*0.86602540378443871,2*.5) -- (2*0.36602540378443871,2*1.3660254037844386);

\node at (1.8,3) [] {$\dot{\V y}(t) = \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t\end{pmatrix}$};

\node at (3,1) {$\V y(t) = \begin{pmatrix}\cos t \\ \sin t\end{pmatrix}$};

%punkt
\filldraw[black] (30:2) circle(.1) ;

%sirkelen
\draw[very thick] (0,0) circle(2);

%x-aksen
\draw[thick,->] (-2.5,0) -- (3,0);% node[right]{};

%y-aksen
\draw[thick,->] (0,-2.5) -- (0,3);

\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent Her er det viktig å holde styr på den geometriske betydningen av $\V y(t)$ og $\dot{\V y}(t)$.
Den første kan du tenke på som et punkt i planet.
Den andre kan du tenke på som kursen til partikkelen.
\end{ex}

Her er en haug med derivasjonsregler.

\begin{tcolorbox}[colback=red!10,title=Noen regneregler]
Dersom $\V x$, $\V y$ og $\lambda$  er deriverbare,
er
\begin{align*}
\frac{d}{dt}\left(\V x(t)+\V y(t)\right)&=\dot{\V x}(t)+\dot{\V y}(t)\\
\frac{d}{dt}\left(\lambda(t) \V x(t)\right)&=\dot{\lambda}(t)\V x(t)+\lambda(t)\dot{\V x}(t)\\
\frac{d}{dt}\left(\V x(t) \cdot \V y(t)\right)&=\dot{\V x}(t)\cdot \V y(t)+\V x(t)\cdot \dot{\V y}(t)\\
\frac{d}{dt}\left(\V x(t) \times \V y(t)\right)&=\dot{\V x}(t)\times \V y(t)+\V x(t)\times \dot{\V y}(t)\\
\frac{d}{dt} \V x(\lambda(t))&=\dot{\lambda}(t)\dot{\V x}(t)
\end{align*}
\end{tcolorbox}

Hvis man tenker at fluen har speedometer, 
er $\|\dot{\V x}(t) \|$ farten som vises på speedometeret ved tiden $t$.


\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=Speedometerets hemmelighet]
Banefarten til vektorfunksjonen $\V x(t)$  er 
\[
v(t)= \|\dot{\V x}(t) \|
\]

\end{tcolorbox}



\begin{ex}
Enhetssirkelfunksjonen
\[
\V y(t)=
\begin{pmatrix}
\cos t \\ 
\sin t
\end{pmatrix}
\]
konstant fart:
\begin{align*}
\| \V y(t) \|&= \sqrt{(-\sin t)^2+ (\cos t)^2} \\ 
&=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}= 1 \qedhere
\end{align*}
\end{ex}

En av de store forskjellene mellom vektorfunksjoner og vanlige funksjoner,
er dette med glattheten.

\begin{ex}
Funksjonen
\[
\V x(t)=
\begin{pmatrix}
t^3 \\ 
t^2
\end{pmatrix}
\]
ser slik ut:

\begin{tikzpicture}[domain=0:2]
%x-aksen
\draw[thick,->] (-2.5,0) -- (3,0);% node[right]{};

%y-aksen
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,3);

%funksjonen
\draw[color=blue,very thick] plot (\x,{(\x)^.6667}) node[right] {$\V x(t)=\begin{pmatrix}t^3 \\ t^2\end{pmatrix}$};
\draw[color=blue,very thick] plot (-\x,{(\x)^.6667});
\end{tikzpicture}

\noindent Komponentfunksjonene $t^3$ og $t^2$ er deriverbare funksjoner,
men grafen til $\V x$ er allikevel ikke en glatt kurve.
\end{ex}

Det vi trenger for å luke ut slik patologisk oppførsel, 
er enhetstangentvektoren.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=Enhetstangentvektoren]
Enhetstangentvektoren til vektorfunksjonen $\V x(t)$  er 
\[
\V T(t)=\frac{ \dot{\V x}(t) }{ \|\dot{\V x}(t) \|}=\frac{ \|\dot{\V x}(t) \|}{v(t)}.
\]

\end{tcolorbox}


\begin{ex}
La oss beregne enhetstangentvektoren til
\[
\V y(t)=
\begin{pmatrix}
t^3 \\ 
t^2
\end{pmatrix}.
\]
Den er 
\begin{align*}
\V T(t)=\frac{ \dot{\V y}(t) }{ \|\dot{\V y}(t) \|}=
\begin{pmatrix}
\frac{3t^2}{\sqrt{9t^4+4t^2}} \\ 
\\[-5pt]
\frac{2t}{\sqrt{9t^4+4t^2}}
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Hva skjer i $t=0$? 
La oss regne ut noen grenseverdier.
Førstekomponenten er grei nok, 
siden
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{3t^2}{\sqrt{9t^4+4t^2}}=\lim_{x\to 0^-}\frac{3t^2}{\sqrt{9t^4+4t^2}}=0.
\]
Men i andrekomponenten får vi 
\[
\lim_{x\to 0^+}\frac{2t}{\sqrt{9t^4+4t^2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{t}{|t|}\frac{2}{\sqrt{9t^2+4}}=1
\]
og
\[
\lim_{x\to 0^-}\frac{2t}{\sqrt{9t^4+4t^2}}=\lim_{x\to 0^-}\frac{t}{|t|}\frac{2}{\sqrt{9t^2+4}}=-1.
\]
Dette betyr at 
\[
\lim_{x \to 0^+}\V T(t)=
\begin{pmatrix}
0
\\
1
\end{pmatrix}
\]
mens
\[
\lim_{x \to 0^-}\V T(t)=
\begin{pmatrix}
0
\\
-1
\end{pmatrix}
\]
slik at 
$\lim_{x \to 0}\V T(t)$ ikke eksisterer.
\end{ex}

Enhetstangentvektoren har alltid lengde en. 
Dette betyr at endringen til enhetsvektoren kun sier noe om hvordan kurven dreier,
og dersom $\lim_{t \to a} \V T(t)$ ikke eksisterer, 
vil kurven ha en knekk eller noe slikt i $t=a$.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=Glatt som et olja lyn]
Vi sier at kurven til $\V x(t)$  er glatt dersom  $\dot{\V x}$ er kontinuerlig og $v(t)\neq 0$. 
\end{tcolorbox}



\section*{\Huge Normalvektoren}


\color{black}
La oss kikke litt på enhetstangentvektoren.
Merk at
\[
\V T(t) \cdot \V T(t)=1,
\]
siden $\V T$ er en enhetsvektor.
Hvis vi deriverer hver side av likningen,
får vi
\[
2 \dot{\V T}(t) \cdot \V T(t)=0
\]
som sier at den deriverte av enhetstangentvektoren står normalt på enhetstangentvektoren. 

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10,title=Enhetsnormalvektoren]
Dersom $\V T(t) \neq \V 0$, 
er enhetsnormalvektoren til kurven gitt ved
\[
\V N(t)=\frac{\dot{\V T}(t)}{\|\dot{\V T}(t)\|}.
\]
\end{tcolorbox}

\begin{ex}
En rett linje har ikke noen definert enhetsnormalvektor.
\end{ex}

La oss anta $\V T(t) \neq \V 0$.
Vi kan nå utlede at 
\[
\dot{\V y}(t)=v(t)\V T(t),
\]
og at
\begin{align*}
\ddot{\V y}(t)&=\dot v(t)\V T(t)+v(t) \dot{\V T}(t) \\
&=\dot v(t)\V T(t)+v(t) \|\dot{\V T}(t)\| \V N(t).
\end{align*}
Av dette ser vi at akselerasjonen til en partikkel som dreier har to komponenter, 
Den ene komponenten tangentiell til banen med størrelse $v(t)$, 
og den andre står normalt på banen med størrelse $v(t) \|\dot{\V T}(t)\|$.
Den siste kalles sentripetalakselerasjonen.

En sving på en bilvei trenger ikke være en sirkulær bane,
men ingeniører i Vegvesenet snakker allikevel om svingens krumningsradius. 
Dette er fornuftig mål på hvor krapp svingen er. 
Vi tenker at det ligger en sirkel som tangerer kurven i $\V x(t)$,
med sentrum i et sted på linjen spent ut av normalvektoren $\V N(t)$ og radius $R(t)$. 
Dersom en partikkel reiser gjennom $\V x(t)$, 
kan vi stille oss spørsmålet hvilken radius som ville gitt den samme sentripetalakselerasjonen dersom  partikkelen hadde gått i en sirkulær bane med samme banefart $v(t)$.
For en sirkulær bane er sentripetalakselerasjonen er gitt ved $v^2/R$,
og setter vi denne lik den faktiske sentripetalakselerasjonen til partikkelen,
\[
v(t) \|\dot{\V T}(t)\| =\frac{v^2(t)}{R(t)}
\]
kan vi regne ut
\[
R(t)=\frac{v(t)}{\|\dot{\V T}(t)\| }.
\]
Sirkelen kalles oskulasjonssirkelen, 
og $R(t)$ kalles kurvens krumningsradius. 
Akkurat som at stigningstall er stigningstallet til en rett linje vi assosierer med hvert punkt på kurven, 
er krumningsradien radien i en sirkel assosiert med hvert punkt på kurven. 
Krumningsradien kan også skrives
\[
R(t)= \frac{v^3(t)}{|x_1(t)x_2(t)-x_1(t)x_2(t)|},
\]
men å vise dette er ganske hårete, 
se øvingsopplegg neste semester.


\begin{ex}
Enhetssirkelfunksjonen
\[
\V y(t)=
\begin{pmatrix}
\cos t \\ 
\sin t
\end{pmatrix}
\]
har enhetsnormalvektor gitt ved
\[
\V N(t) = 
\begin{pmatrix}
-\cos t \\ 
-\sin t
\end{pmatrix}.
\]


\begin{center}
\begin{tikzpicture}


%tangent
\draw[thick,-latex] (2*0.86602540378443871,2*.5) -- (2*0.36602540378443871,2*1.3660254037844386);
\draw[thick,-latex] (2*0.86602540378443871,2*.5) -- (0,0);

%punkt
\filldraw[black] (30:2) circle(.1) ;

%sirkelen
\draw[very thick] (0,0) circle(2);

%x-aksen
\draw[thick,->] (-2.5,0) -- (3,0);% node[right]{};

%y-aksen
\draw[thick,->] (0,-2.5) -- (0,3);

\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent Merk at dersom kurven faktisk er en sirkel,
vil enhetsnormalen peke inn mot sirkelens sentrum. 
\end{ex}



%  
%\section*{\LARGE Med LF}
%
%\clearpage
%
%\section*{\Huge Løsningsforslag}
%
%\noindent 1. 

\kapittelslutt



