\input{kapittel}

\kapittel{2}{Fourieranalyse}

\begin{tcolorbox}
Tradisjonelt sett har fourierrekker vært pensum i TMA4120/25/30/35 på Gløshaugen.
Se på gamle eksamener i 4K \href{https://wiki.math.ntnu.no/tma4120/2020h/eksamensoppgaver}{her} for et rikholdig utvalg av regneeksempler.
Se også 
\begin{itemize}
\item Adams kap. 9.9 
\item Kreyszig kap. 11 
\item Rudin kap. 8
\end{itemize} 
\end{tcolorbox}

\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier}{Joseph Fourier} 
ble satt i fengsel under den franske revolusjon, 
dro til Egypt med \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon}{Napoleon Bonaparte}, 
og regnes som oppdageren av drivhuseffekten.
Han oppfant også fourierrekker.
De satte opp en statue av ham i hjembyen Auxerre i 1849,
men den ble visst rekvirert av staten og smeltet om under andre verdenskrig.

\section*{ \huge  Ka e problemet?}

Du har lært at mange glatte funksjoner kan skrives som en potensrekke. 
For eksempel er 
\[
\sin x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\]
for alle $x$.
Joseph Fourier støtte på et annet problem da han prøvde å løse varmelikningen tidlig på 1800-tallet.
Han måtte 
\begin{tcolorbox}[title=PROBLEMET, colback=green!10]
skrive en gitt funksjon $f: [0,\pi]\to \mathbb R$ som en uendelig rekke av sinusfunksjoner:
\[
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t}
\]
\end{tcolorbox}
Hvis du har fiklet litt med indreproduktrom, 
går det an å gjette på hvordan det skal gjøres.. 
Det er nemlig slik at 
sinusfunksjoner med forskjellige heltallsmultipler av en grunnfrekvens er ortogonale:
\begin{align*}
& \int_{0}^{\pi}  \sin nt \sin mt \;dt=
  \begin{cases}
      \pi/2  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
\end{align*}
Fourier benyttet seg av dette omtrent som følger.
Han ganget likningen 
\[
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t},
\]
med $\sin{m t}$ og integrerte:
\[
\int_{0}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =\int_{0}^\pi  \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t}\sin{m t} \;dt
\]
Så byttet han plass på integraltegnet og summen, 
og fikk
\[
\int_{0}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =  \sum_{n=1}^{\infty}b_n \int_{0}^\pi \sin{n t}\sin{m t} \;dt
\]
Siden sinusfunksjonene er ortogonale,
blir det nå en haug med kanselleringer, 
slik at
\[
\int_{0}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =  \frac{\pi b_m}{2}
\]
eller
\[
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt.
\]
Dette kjenner du forhåpentligvis igjen som 
projeksjonen av $f$ på $\sin m t$, 
og vi gjorde bunn og grunn den samme beregningen i 
kapitlet om indreproduktrom, 
men da i et  endelig antall dimensjoner. 
Det at vi nå har fått uendelig mange dimensjoner, 
gjør alt mer komplisert,
men det viser seg at veldig mange funksjoner kan skrives 
som  uendelige summer av sinus- eller cosinusfunksjoner.

Joseph Fouriers ideer ble til dels avskrevet av samtidige matematikere,
men eksemplene han oppdrev på at en funksjon med knekkpunkt kan skrives 
som en uendelig rekke av glatte sinusfunksjoner var banebrytende. 


\section*{ \huge Periodiske funksjoner}


Når man skal forstå fourierrekker er det ikke mulig å komme utenom periodiske funksjoner.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Periode]
En funksjon sies å ha \defterm{periode} $p>0$ dersom
\[
f(t+p)=f(t)
\]
for alle $t$ i definisjonsmengden til $f$. 
Den minste $p$ slik at likningen holder for alle $t$, 
kalles \defterm{fundamentalperioden} til $f$. 
\end{tcolorbox}


\begin{ex}
Funksjonen
\begin{equation*}
f(t)=\sin t 
\end{equation*}
har perioder $2n\pi$ for alle $n \in \mathbb{N}$. Fundamentalperioden er $2\pi$.
\end{ex}



Dersom $f$ har periode $p$, og $g(t)=f(kt)$, har $g$ periode $p/k$, for
\begin{align*}
g(t)&=f(kt)=f(kt+p)\\&=f\left(k\left(t+p/k\right)\right)=g(t+p/k).
\end{align*}

\begin{ex}
Funksjonen 
\begin{equation*}
f(t)=\sin(3t)
\end{equation*}
har perioder $2n\pi/3$ for alle $n \in \mathbb{N}$. Fundamentalperioden er $2\pi/3$. Under er plot av funksjonene $\sin t$, $\sin 2t$ og $\sin 3t$.
\end{ex}



\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.345]{../figurer/overtoner.pdf}
\end{figure}


\begin{ex}
Den komplekse eksponensialfunksjonen $e^{it}=\cos t + i\sin t$  har fundamentalperiode $2\pi$.
\end{ex}


\begin{ex}
La vi $k=2\pi/T$ og sammenlikner med forrige eksempel, 
ser vi at den komplekse eksponensialfunksjonen $e^{2\pi it/T}$  har fundamentalperiode $T$.
Det er vanlig å skrive $\omega=2\pi/T$.
\end{ex}

Hvis man tar en funksjon 
\[
f: [-\pi,\pi)\to \mathbb{R}
\]
og kopierer funksjonen slik at den ser identisk ut på $[\pi,3\pi)$, $[3\pi,5\pi)$ og så videre,
får man noe som kalles den periodiske utvidelsen til $f$:


\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.112]{periodisk-utvidelse.png}
\end{figure}


\begin{ex}
Den $2\pi$-periodiske utvidelsen av funksjonen 
$f:[-\pi,\pi)\to \mathbb R$ gitt 
ved 
\[
f(t)=
\begin{cases}
0 \quad t<0 \\
1 \quad t\geq0 
\end{cases}
\]
kalles en firkantbølge.
\end{ex}

\begin{ex}
Den $2\pi$-periodiske utvidelsen av funksjonen 
$f:[-\pi,\pi)\to \mathbb R$ gitt 
ved 
\[
f(t)=
\begin{cases}
\pi+t \quad t<0 \\
\pi-t \quad t\geq0 
\end{cases}
\]
kalles en trekantbølge.
\end{ex}

\begin{ex}
Den $2\pi$-periodiske utvidelsen av funksjonen $f:[-\pi,\pi)\to \mathbb{R}$ gitt ved
\[
f(t)=t
\]
kalles en sagtannbølge. 
\end{ex}

Av og til slurver vi litt og omtaler den periodiske utvidelsen 
til en funksjon ${f:[-\pi,\pi]\to \mathbb R}$.
Det er da underforstått at funksjonsverdiene i endepunktene er irrelevanwte.

\section*{ \huge Fourierrekker på kompleks form}

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title= Det vakreste]
En \defterm{fourierrekke} er en rekke 
\[
h(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
der
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt
\]
kalt fourierkoeffisientene.
\end{tcolorbox}

Dette er en geometrisk rekke med multiplikasjonsfaktor $e^{it}$, 
og den er en periodisk funksjon med fundamentalperiode $2\pi$. 
\footnote{Vi skal sette opp fourierrekker med andre perioder enn $2\pi$, 
men formlene blir mer grisete,
så det er lurt å lære seg  $2\pi$ først.}
Av og til er det mer praktisk å skrive
\[
h(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n t+b_n \sin nt.
\]
eller
\[
h(t)=d_0+\sum_{n=1}^\infty d_n \cos (nt+\phi_n).
\]
Følgende teorem skal vi bevise nederst i kapitlet:

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title= Det pene konvergensteoremet]
La $f:\mathbb R \to \mathbb R$ være en kontinuerlig deriverbar $2\pi$-periodisk funksjon,
og la
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt.
\]
Da er  
\[
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
for alle $t$.
\end{tcolorbox}

Nå skal vi gjøre noe som er ganske vanlig i 
ingeniørmatematikk. 
Vi skriver opp et presist teorem med strenge 
betingelser på $f$ fordi dette er greit å bevise, 
men når vi skal regne eksempler, 
går vi friskt på med funksjoner ikke tilfredsstiller disse betingelsene,
og dette går irriterende nok stort sett bra. 
Det går selvfølgelig an å si noe om hva som skjer under svakere forutsetninger på $f$, 
men da blir bevisene mye vanskeligere,
og ingeniører har andre ting å gjøre enn å lese lange bevis.
Rapporter skal jo skrives.

Dersom $f$ er stykkvis kontinuerlig, 
og den venstre- og høyrederiverte eksisterer i eventuelle bruddpunkter, 
er 
\[
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
dersom $f$ er kontinuerlig i $t$, 
og 
\[
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(t-h)+f(t+h)}{2}
 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
dersom $f$ ikke er kontinuerlig i $t$.  
$f$ ikke er det.
Vi skriver 
\[
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
dersom fourierrekken ikke konvergerer til $f$ 
for alle $t$.
(Det går fint å beregne fourierrekken så lenge $f$ er riemannintegrerbar.)

Dersom $f:[-\pi,\pi]\to \mathbb R$ er kontinuerlig deriverbar, 
blir fourierrekken omtrent lik den $2\pi$-periodiske utvidelsen til $f$.
Det er ofte denne ingeniører er interesserte i,
siden de bruker fourierrekker til å analysere signaler
som er periodiske i tid, 
for eksempel pipetone eller vekselspenning.



\begin{tcolorbox}[colback=green!10,title=Det store spørsmålet]
Hvorfor er fourierkoeffisientene gitt ved
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt \quad ?
\]
\end{tcolorbox}

Fourierkoeffisientene $c_n$ er ortogonale projeksjoner, 
og de komplekse eksponensialfunksjonene
\[
e^{in t} \quad n \in \Z
\]
er innbyrdes ortogonale på $[-\pi,\pi]$:
\begin{align*}
 \int_{-\pi}^{\pi}e^{in t}\overline{e^{m t}}\; dt=& \int_{-\pi}^{\pi}e^{in t}e^{-im t}\; dt =\\[6pt] \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-m) t}\; dt  &=
 \begin{cases}
      2\pi & \text{for } n =m \\
        0  & \text{for } n \neq m
    \end{cases}  
\end{align*}




Ved første øyekast kan man bli forledet til å tro at alt dette kun funker for harmoniske svingebevegelser, 
og dette trodde de fleste matematikere helt frem til 1700-tallet eller så.
\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series}}
Det viser seg imidlertid at veldig mange funksjoner kan skrives som trigonometriske rekker.
Fourier klarte ikke bevise dette, 
men \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet}{Dirichlet} fant ut av det i 1829, 
og oppfant en konvergentstest i samme slengen. 
Det finnes noen berømte eksempler på kontinuerlige funksjoner der fourierrekken ikke konvergerer til funksjonen,
men deriverbarhet gjør susen.



\begin{ex}
Vi finner fourierrekken til $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved $f(t)=t$.
Fourierkoeffisientene blir:
\begin{align*}
c_0&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t\; dt=0\\[3mm]
c_n&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} te^{-int}\; dt=-\frac{1}{2in}(e^{-in\pi}+e^{in\pi})\\[3mm]
&=-\frac{1}{in}\cos n\pi=\frac{(-1)^{n+1}}{in}.
\end{align*}
Siden $f$ er glatt på intervallet $(-\pi,\pi)$, 
kan vi skrive
\begin{align*}
t&=\sum_{\begin{matrix} \scriptstyle{n=-\infty} \\  \scriptstyle{n\neq 0}\end{matrix}}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in} e^{int}\\ 
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in} e^{int}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in} e^{-int}\\[3mm] 
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nt
\end{align*}
på $(-\pi,\pi)$. 
I $t=\pi$ og $t=-\pi$ konvergerer rekken til $0$.
Fourierrekken er $2\pi$-periodisk,  
utenfor intervallet $(-\pi,\pi)$ konvergerer
den ikke til $f$. 
\end{ex}

La oss merke oss et par ting fra eksemplet over. 
\begin{itemize} 
\item Fourierrekken er reell siden $f$ er det, 
selv om den er en sum av komplekse eksponensialfunksjoner 
\item Fourierrekken er  lik den $2\pi$-periodiske 
utvidelsen til funksjonen $g:[-\pi,\pi)$ gitt ved
\[
g(t)=\begin{cases}
t  & \text{for } t \in (-\pi,\pi) \\
0 & \text{for } t = -\pi
\end{cases} 
\]
\end{itemize} 

Uttrykket 
\[
S_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}
\] 
kalles \defterm{den $N$-te partialsummen} til fourierrekken.
Under er et plot av tre av partialsummene til sagtannbølgen. 
Den blå er $S_5$, 
den gule er $S_{25}$ og grønne er$S_{5000}$. 
Merk hvordan det er umulig å se forskjell på $S_{5000}$ og $f$ unntatt i endepunktene.
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=.34]{../figurer/sagtann}
	\end{center}
\end{figure}


\section*{ \huge Fourierrekker på reell form}
Dersom $f$ er reell, blir fourierrekken også reell. 
Dette følger av formelen for koeffisientene $c_n$. 
Dersom $f$ er reell, kan vi skrive: 
\begin{align*}
c_n&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt\\ 
&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{e^{int}}\; dt\\
&=\overline{\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)  e^{int}\; dt} = \overline{ c_{-n}}
\end{align*}
Derfor blir
\[
c_ne^{int}+c_{-n}e^{-int}= c_ne^{int}+\overline{c_{n}e^{int}}
\]
blir en reell funksjon, 
og følgelig er hele fourierrekken reell.
Vi kan fint sette opp fourierrekken direkte med sinus- og cosinusfunksjoner.
I noen tilfeller gir dette enklere regning, 
og noen tilfeller vanskeligere.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Fourierrekker på reell form]
En annen variant er
\begin{equation*}
f \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n t+b_n \sin nt
\end{equation*}
med koeffisienter:
\begin{align*}
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\; dt &\quad
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos  n t\; dt \\[4pt]
b_n=\frac{1}{\pi}&\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\; dt
\end{align*}
\end{tcolorbox}
Det er vanlig å kalle alt dette 'reell fourierrekke',
men det er litt misvisende, 
siden en fourierrekke kan være reell selv om den er skrevet ned med komplekse eksponensialfunksjoner. 


\begin{ex}
Vi finner enhetssprangfunksjonen
\[
u(t)=\begin{cases}
1  & \text{for } t \geq 0 \\
0 & \text{for } t < 0.
\end{cases} 
\]
sin reelle fourierrekke på $(-\pi,\pi)$. Vi beregner 
\begin{align*}
a_0&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \;dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \;dt=\frac{1}{2} \\[10pt]
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \cos nt \;dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos nt \;dt=0 \\[10pt]
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \sin nt \;dt=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin nt \;dt\\ &=\begin{cases}
      \frac{2}{n\pi}  & \text{for } n  \text{ oddetall} \\
      0 & \text{for } n  \text{ partall}.
    \end{cases} 
\end{align*}
Her kan vi bare skrive 
\begin{equation*}
u(t)\sim\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t,
\end{equation*}
for fourierrekken konvergerer til $u$ på intervallene $(-\pi,0)$ og $(0,\pi)$, 
men til $1/2$ i $t=0$ og $t=\pm \pi$. 
Partialsummene er gitt ved
\[
S_N=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t.
\]
Under er plot av partialsummer for $n=1$, $n=2$, $n=5$, og $n=10$.
Jeg har plottet på intervallet $[-2\pi,2\pi]$ for å illustrere hvordan fourierrekken oppfører seg utenfor intervallet $[-\pi,\pi]$.
Merk den lille over- og underskytningen partialsummene gjør på hver side av spranget. 
Denne er alltid på rundt $9\%$ av sprangets høyde, 
og oppførelen kalles Gibbs fenomen, 
til tross for at det først ble oppdaget av en som het Wilbraham.
Spranget forsvinner på mystisk vis når $n\to \infty$.
\end{ex}

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_0}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_1}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_2}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_5}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_10}
	\includegraphics[scale=.37]{../figurer/heaviside_100}
	\end{center}
\end{figure}



Vi kan utlede formler for overgangen mellom fourierrekker på reell og kompleks form:
\begin{align*}
c_n+c_{-n}&=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt + \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{int}\; dt\right)\\
&=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left(e^{-int}+e^{int}\right)\; dt\right)\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos n t\; dt=a_n\\[10pt]
c_n-c_{-n}&=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt - \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{int}\; dt\right)\\
&=\frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left(e^{-int}-e^{int}\right)\; dt\right)\\
&=\frac{-i}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin n t\; dt=-ib_n
\end{align*}
%Vi kan selvfølgelig gausseliminere litt, 
%og snu om på formlene.
%Alt i alt, dersom $n\in \mathbb N$:

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Overgang mellom reell og kompleks]
\begin{align*}
c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}& \quad
c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2} \\[10pt]
a_n=c_n+c_{-n}& \quad 
b_n=i(c_n-c_{-n})
\end{align*}
\end{tcolorbox}


\section*{\huge Andre intervaller enn $[-\pi,\pi]$}

Å utlede formler for fourierrekker på andre intervaller enn $[-\pi,\pi]$ er ikke vanskelig,
men formlene blir mer grisete og vanskeligere å huske.
\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Fourierrekker på generelt intervall]
For intervallet $[-L,L]$ skriver man
\begin{equation}
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}.
\end{equation}
eller 
\begin{equation*}
f \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi t}{L}+b_n \sin \frac{n\pi t}{L}.
\end{equation*}
Koeffisientene er gitt ved
\[
c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t) e^{-i\frac{n\pi t}{L}}\; dt, 
\]
og
\begin{align*}
a_0&=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)\; dt \\[4pt]
a_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\cos  \frac{n\pi t}{L}\; dt \\[4pt]
b_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(t)\sin \frac{n\pi t}{L}\; dt
\end{align*}
henholdsvis. 
\end{tcolorbox}

\noindent Utledning er identisk med utledning på intervallet $[-\pi,\pi]$. 
På samme måte kan man sette opp fourierrekker på intervallet $[a,b]$, 
men det dropper vi.


\begin{ex}
Vi beregner den komplekse fourierrekken til heavisidefunksjonen på $[-1,1]$. Koeffisientene blir
\begin{align*}
c_n&=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(t)e^{-i\frac{n\pi t}{L}}\; dt \\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^1e^{-i\frac{n\pi t}{L}}\; dt =  \begin{cases}
      \frac{1}{2}  & \text{for }\; n=0  \\
      \frac{1}{n\pi i}  & \text{for odde}\; n  \\
      0 & \text{for jevne}\; n,
    \end{cases}  
\end{align*}
slik at
\begin{equation*}
u(t)\sim\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi i}\sum_{\begin{matrix}
n=-\infty\\
n \neq 0
\end{matrix}}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)}e^{(2n-1)\pi i t}.
\end{equation*}
Merk nok en gang at
\begin{equation*}
c_ne^{n\pi i t}+c_{-n}e^{-n\pi i t}=\frac{2}{n\pi}\sin{n \pi t}, 
\end{equation*}
slik at 
\begin{align*}
u(t)&\sim\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi i}\sum_{\begin{matrix}
n=-\infty\\
n \neq 0
\end{matrix}}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)}e^{(2n-1)\pi i t}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) \pi t. \qedhere
\end{align*}
\end{ex}


\section*{\huge Odde og jevne funksjoner}

Vi sier at en funksjon er odde dersom 
\[
f(-t)=-f(t)
\]
og jevn dersom 
\[
f(-t)=f(t).
\]
for alle $t$ i definisjonsmengden til $f$. 
Grafen til en odde funksjon blir identisk dersom du dreier den $\pi$ radianer om origo, 
mens grafen til en jevn funksjon blir identisk dersom du speiler den om $y$-aksen. 
En rask kikk på figur viser at 
\begin{equation*}
\int_{-L}^{L} f(t)\;dt=0
\end{equation*}
for odde funksjoner, og
\begin{equation*}
\int_{-L}^{L} f(t)\;dt=2\int_{0}^{L} f(t)\;dt
\end{equation*}
for jevne funksjoner. 
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=.3]{../figurer/jevn_odde.pdf}
	\end{center}
\end{figure}

Dersom $f(-t)=-f(t)$, og $g(-t)=g(t)$, 
ser vi at 
\[
f(-t)g(-t)=-f(t)g(t),
\]
altså er $fg$ en odde funksjon dersom $f$ er odde og $g$ er jevn.
Dersom både $f$ og $g$ er enten jevne eller odde blir $fg$ jevn. 
 
Dersom $f$ er odde, 
blir $a_n=0$ for alle $n$, 
og dersom $f$ er jevn, 
blir $b_n=0$ for alle $n$. 
Fourierrekken til en odde funksjon inneholder derfor kun sinusfunksjoner, 
mens fourierrekken til jevne funksjoner inneholder kun cosinusfunksjoner.

For  $f:[0,L]\to \mathbb R$ kan vi definere den odde utvidelsen 
\[
f_o=\begin{cases}
      \;f(t) &  \text{for}\; 0\leq t \leq L \\
      -f(-t) &  \text{for} -L\leq t <0
    \end{cases} 
\]
og den jevne utvidelsen
\[
f_j=\begin{cases}
      \,f(t)  & \text{for }  0\leq t \leq L \\
      f(-t) & \text{for } -L\leq t <0
    \end{cases} 
\]
Siden både $f_o$ og $f_j$ er identiske med $f$ på $[0,L]$, 
vil fourierrekkene deres konvergere til $f$ på $[0,L]$. 
Man kan således velge mellom sinus eller cosinus når man skal fourierutvikle $f$. 
Disse kalles henholdsvis sinus- og cosinusrekkene til $f$ på  $[0,L]$.
For fourierutviklingen til $f_o$ er 
\begin{align*}
b_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f_o(t)\sin\frac{n\pi t}{L} \; dt\\ 
&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\sin\frac{n\pi t}{L} \; dt.
\end{align*}
og for fourierutviklingen til $f_j$ er 
\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f_j(t)\cos\frac{n\pi t}{L} \; dt\\ & =\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t)\cos\frac{n\pi t}{L} \; dt
\end{align*}
og
\begin{equation*}
a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f_j(t) \; dt=\frac{1}{L}\int_{0}^{L} f(t) \; dt.
\end{equation*}

\begin{ex}
Vi beregner cosinusrekken til $f(t)=t$ på $(0,\pi)$. Koeffisientene blir
\begin{equation*}
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\;dt=\pi/2
\end{equation*}
og
\begin{equation*}
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos n t \;dt=\begin{cases}
      \frac{-4}{\pi n^2 }  & \text{for odde} \; n  \\
      0 & \text{for } \text{for jevne} \; n.
    \end{cases} 
\end{equation*}
slik at 
\begin{equation*}
t=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2}\cos (2n-1) t
\end{equation*}
på intervallet $(0,\pi)$. Under er et plot af $f(t)=t$ og cosinusrekken på et litt større intervall enn $[0,\pi]$.
\end{ex}


\begin{figure}[H]
  \begin{center}
  \vspace*{-2.7cm}
    \hspace*{-.7cm}
	\includegraphics[scale=.4]{../figurer/eks_2_21.pdf}
  \vspace*{-3.0cm}
	\end{center}
\end{figure}

\section*{ \huge Parsevals teorem}

En uendeligdimensjonal variant av pytagoras, 
kalles Parsevals teorem.

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Parsevals teorem]
Anta $f$ er riemannintegrerbar,
og at 
\begin{equation*}
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}.
\end{equation*}
Da gjelder Parsevals identitet:
\begin{align*}
\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f^2(t)\; dt&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2\\ & =a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + b_n^2
\end{align*}
\end{tcolorbox}


%Denne er lettest å bevise om man starter på kompleks form
%\begin{equation*}
%f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}.
%\end{equation*}
%Vi ganger denne likheten med seg selv 
%\begin{align*}
%f^2(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_me^{i\frac{m\pi t}{L}} \\ 
%&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_{-m} e^{i\frac{-m\pi t}{L}} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_nc_{-m} e^{i\frac{(n-m)\pi t}{L}}
%\end{align*}
%og integrerer
%\begin{align*}
%\int_{-L}^Lf^2(t) \; dt&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_nc_{-m} \int_{-L}^Le^{i\frac{(n-m)\pi t}{L}}\; dt\\ 
%& =2L\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nc_{-n} \\
% & =2L\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\overline{c_{n}}=2L\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2.
%\end{align*}
%Likningen for de reelle koeffisientene bevises på samme måte, 
%men det er mye mer grisete.


\begin{ex}
Vi kan bruke fourierrekken til heavisidefunksjonen til å finne summen til rekken 
\[
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}
\]
Siden 
\begin{equation*}
u(t)\sim\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) t
\end{equation*}
og $u$ er glatt i $t=\pi/2$, 
ser vi at
\begin{align*}
1=u(\pi/2)&=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}\sin (2n-1) \frac{\pi}{2} \\
&= \frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}.
\end{align*}
Dette betyr at 
\[
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} =  \left(1-\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}. \qedhere
\]
\end{ex}


\begin{ex}
Vi kan bruke Parsevals identitet til å finne summen til den kjente og kjære rekken
\[
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.
\]
Siden
\begin{equation*}
t\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nt,
\end{equation*}
gir Parsevals identitet at 
\[
\frac{2\pi^2}{3}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\; dt=\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2=4 \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2},
\]
eller 
\[
\frac{\pi^2}{6}= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}.\qedhere
\]
\end{ex}




\section*{ \huge Vanskelig teori}

Hvis du slår opp i et kapittel om fourierrekker i en vanlig lærebok i matematikk, 
begynner de gjerne med noe slikt:

Anta at vi har en funksjon $f:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R}$ som vi har lyst til å skrive
\[
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t}.
\]
Ok, så hva må koeffisientene være?
La oss gange hele greia med $\sin{m t}$ og integrere alt sammen:
\[
\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =\int_{-\pi}^\pi  \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t}\sin{m t} \;dt
\]
Det neste steget er å bytte plass på integraltegnet og summen, 
slik at vi får
\[
\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =  \sum_{n=1}^{\infty}b_n \int_{-\pi}^\pi \sin{n t}\sin{m t} \;dt
\]
og så bruke at 
\begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \sin nt \sin mt \;dt=
  \begin{cases}
      \pi  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
\end{align*}
for å se at det blir en haug med kanselleringer på høyresiden, 
og at vi derfor får
\[
\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin{m t}\; dt =  \pi b_n.
\]

Men denne 'utledningen' gir en litt falsk følelse av forståelse. 
Det er et problem her,
som er illustrert av et eksempel fra kapittel 7 i Rudin.
Problemet ligger i likningen 
\begin{align*}
\int_{-\pi}^\pi  \sum_{n=1}^{\infty}b_n& \sin{n t}\sin{m t} \;dt= \\
&\sum_{n=1}^{\infty}b_n \int_{-\pi}^\pi \sin{n t}\sin{m t} \;dt
\end{align*}
Følgende eksempel viser at det å bytte om på integrasjon og uendelig sum kan være farlig.
La 
\[
f_n(t)=n t\left(1-t^2\right)^n.
\]
Fra rekketeorien ser vi enkelt at 
\[
\lim_{n\to \infty}f_n(t)=\lim_{n\to \infty}nt\left(1-t^2\right)^n=0
\]
dersom $0\leq t\leq 1$, slik at 
\[
\int_0^1 \lim_{n\to \infty}f_n(t)\; dt=0.
\]
Men 
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(t)\; dt=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2n+2}=\frac{1}{2}.
\]
Det ligger altså ingen nødvendighet i at det går greit å bytte om på uendelig sum og integral:
\[
\int_0^1 \lim_{n\to \infty}f_n(t)\; dt \neq \lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(t)\; dt
\]

Følgende strategi er derfor å foretrekke.
Strategien er litt teknisk,
men leder frem mot riktig resultat uten alt for mange vanskeligheter.
En \defterm{generell fourierrekke} er et uttrykk på formen 
\[
\sum_{n=1}^{\infty}c_n \phi_n( t).
\]
Vi skal nå utlede litt teori om disse. 
La 
 $f$ og $g$ 
være komplekse funksjoner av en reell variabel på intervallet $[a,b]$. 
Husk at 
 \[
 \int_a^b f\, \overline{g}
 \]
er et indreprodukt
og at  $f$ og $g$
er \defterm{ortogonale} på $[a,b]$ dersom 
 \[
 \int_a^b f \,\overline{g}=0.
 \]
 
 Alle lineærkombinasjoner av en endelig mengde med 
 innbyrdes ortogonale funksjoner $\phi_n$ er et vektorrom, 
 og $\{\phi_n\}$ er en basis for dette vektorrommet.
Dersom
 \[
 \int_a^b \phi_n \,\overline{\phi_m}=  \begin{cases}
      1  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
 \]
sier vi at familien er \defterm{ortonormal}.


\begin{ex}
Funksjonene 
\[
\frac{1}{2\pi}e^{in t} \quad n \in \Z
\]
er et ortonormalt system på intervallet $[-\pi,\pi]$.
\end{ex}
 
\begin{ex}
La $m,n\geq 1$. Siden 
 \begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \cos nt \cos mt \;dt=
  \begin{cases}
      \pi  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
\end{align*}
\begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \sin nt \sin mt \;dt=
  \begin{cases}
      \pi  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
\end{align*}
og
\begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \cos nt \sin mt \;dt=0
\end{align*}
utgjør $\{ \sin n t, \cos mt\}$ også et ortogonalt system på $[-\pi,\pi]$.
Vi tar cosinusfunksjonene.
Først skriver vi om litt:
\begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \cos nt \cos mt;dt=\\ & \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}  \cos (n+m)t + \cos (n-m)t\;dt
\end{align*}\\
Det siste integralet er lett å beregne. 
Det forsvinner for alle verdier av $m$ og $n$, unntatt når $m=n$, for da er 
\[
\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos (n-m)t\;dt=\int_{-\pi}^{\pi}\;dt=\pi,
\]
slik at
\begin{align*}
& \int_{-\pi}^{\pi}  \cos nt \cos mt;dt=
  \begin{cases}
      \pi  & \text{for } n = m \\
      0 & \text{for } n \neq m
    \end{cases} 
\end{align*}
De to andre formlene bevises på samme måte.
\end{ex}

\begin{ex}
Legendrepolynomene er en familie av polynomer gitt ved rekursjonen
\begin{align*}
P_0(t)&=1 \\ P_1(t)&=t \\
(n+1)P_{n+1}(t)&=(2n+1)tP_n(t)-nP_{n-1}(t).
\end{align*}
Disse er et ortogonalt system på intervallet $[-1,1]$. 
De første fem polynomene er:
\begin{align*}
P_0(t)&=1 \\ 
P_1(t)&=t \\
P_2(t)&=\frac{1}{2}(3t^2-1) \\
P_3(t)&=\frac{1}{2}(5t^3-3t) \\
P_4(t)&=\frac{1}{8}(35t^4-30t^2+3) 
\end{align*}
Disse dukker opp mange steder i anvendelser, 
for eksempel i interpolasjon,
numerisk integrasjon,
samt Schrødingers likning for hydrogenatomet.
\end{ex}

Dersom en funksjon kan skrives som en lineærkombinasjon av ortonormale funksjoner:
\[
f(t)=\sum_{n=1}^{N}c_n \phi_n (t),
\]
vet vi fra kapitlet om indreproduktrom at
fourierkoeffisientene kan skrives
\[
c_n=\int_a^b f(t) \overline{\phi_n (t)}\; dt
\]
og at
\[
\sum_{n=1}^{N}|c_n|^2=\int_a^b f^2(t)\; dt.
\]


Dersom $f$ ikke kan skrives som en lineærkombinasjon av funksjonene $\phi_n$,
har allikevel uttrykket 
\[
\sum_{n=1}^{N}c_n \phi_n,
\]
noen gunstige egenskaper.
Lineærkombinasjonen med fourierkoeffisientene som vekter er en god approksimasjonen til $f$.

\begin{tcolorbox}\begin{thm}
Dersom 
\[
h(t)=\sum_{n=1}^{N}c_n \phi_n (t),
\]
med
\[
c_n=\int_a^b f(t) \overline{\phi_n (t)}\; dt
\]
og
\[
g(t)=\sum_{n=1}^{N}d_n \phi_n (t),
\]
er
\[
\int_a^b | f(t)-h(t)|^2\; dt \leq \int_a^b | f(t)-g(t)|^2\; dt
\]
\end{thm}
\vspace{.4cm}
\end{tcolorbox}

\begin{proof}
Denne beregningen er litt hårete, men du finner nok ut av det med penn og papir:
\begin{align*}
\int_a^b | f(t)-g(t)|^2\; &dt = \\
\int_a^b | f(t)|^2\; &dt-\int_a^b f(t)\overline{g(t)}\; dt \\
-\int_a^b &\overline{f(t)}g(t)\; dt+\int_a^b | g(t)|^2\; dt =\\
\int_a^b | f(t)|^2\; dt  -&\sum_{n=1}^{N}c_n\overline{d_n} 
-\sum_{n=1}^{N}\overline{c_n}d_n +\sum_{n=1}^{N}d_n\overline{d_n} = \\
\int_a^b | f(t)|^2\; &dt  -\sum_{n=1}^{N}c_n\overline{c_n} +\sum_{n=1}^{N}|c_n-d_n|^2.
\end{align*}
Det siste uttrykket er helt klart minimert dersom man velger $d_n=c_n$.
\end{proof}

Det neste teoremet kalles gjerne \defterm{Bessels ulikhet}, 
ihvertfall dersom $n \to \infty$.

\begin{tcolorbox}\begin{thm}
Dersom 
\[
h(t)=\sum_{n=1}^{N}c_n \phi_n (t),
\]
med
\[
c_n=\int_a^b f(t) \overline{\phi_n (t)}\; dt
\]
er
\[
\sum_{n=1}^{N}|c_n|^2 \leq \int_a^b | f(t)|^2\; dt
\]
\end{thm}
\vspace{.4cm}
\end{tcolorbox}

\begin{proof}
Fra forrige bevis vet vi at
\[
\int_a^b | f(t)-h(t)|^2\; dt = 
\int_a^b | f(t)|^2\; dt  -\sum_{n=1}^{N}c_n\overline{c_n}.
\]
Siden 
\[
\int_a^b | f(t)-h(t)|^2\; dt \geq 0,
\]
må 
\[
\int_a^b | f(t)|^2\; dt  \geq\sum_{n=1}^{N}c_n\overline{c_n}. \qedhere
\]
\end{proof}
Merk til slutt at dersom vi har uendelig mange funksjoner $\phi_n$, 
impliserer Bessels ulikhet at 
\[
\sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 
\]
er en konvergent rekke, 
og at $\lim_{n \to \infty} |c_n|=0$. 


Uttrykket 
\[
D_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}e^{in t}=1+2\sum_{n=1}^{N}\cos nt
\] 
kalles \defterm{dirichletkjernen}. 
Under er et plot av dirichletkjernen for $N=10$.
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
  \vspace*{-2.7cm}
    \hspace*{-.7cm}
	\includegraphics[scale=.4]{../figurer/dirichlet.pdf}
  \vspace*{-3.0cm}
	\end{center}
\end{figure}
Vi kan også lage en enda penere formel. 
Først utnytter vi at en trigonometrisk rekke er en geometrisk rekke med faktor $e^{it}$, 
og skriver
\begin{align*}
e^{iN t}\sum_{n=-N}^{N}e^{in t}=\sum_{n=0}^{2N}e^{in t}=\frac{e^{i(2N+1) t}-1}{e^{i t}-1},
\end{align*}
så lenge $e^{i t}\neq 1$.
Siden 
\[
\frac{e^{-i(N+1/2) t} }{e^{-it/2}}e^{iN t}=1
\]
kan vi beregne
\begin{align*}
\sum_{n=-N}^{N}e^{in t}&= \frac{e^{-i(N+1/2) t} }{e^{-it/2}}e^{iN t}\sum_{n=-N}^{N}e^{in t}\\[2mm]
&=\begin{cases}
\frac{e^{i(N+1/2) t}-e^{-i(N+1/2) t}}{e^{it/2}-e^{-i t/2}} \quad & t\neq 0 \\[2mm]
2N+1 \quad &t=2k\pi
\end{cases}\\[2mm]
&=\begin{cases}
\frac{\sin \left(N+\frac{1}{2}\right)t}{\sin \frac{1}{2}t} \quad & t\neq 0 \\[2mm]
2N+1 \quad &t=2k\pi
\end{cases}
\end{align*}



Vi kan bruke dirichletkjernen til å skrive partialsummen til en fourierrekke som noe som kalles en konvolusjon.
\begin{align*}
2 \pi \sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}&=\sum_{n=-N}^{N}\int_{-\pi}^{\pi} f(y) e^{-iny}\; dy \; e^{in t} \\
&=\int_{-\pi}^{\pi}f(y) \sum_{n=-N}^{N} e^{in(t-y)}\; dy  \\
&=\int_{-\pi}^{\pi}f(y) D_n(t-y)\; dy = f \ast D_n.
\end{align*}
Konvolusjonsbegrepet er ekstremt viktig i signalbehandling, 
men vi skal vente til neste semesteret med å se nøye på dette.


\begin{tcolorbox}
\begin{thm}
La $f$ være en $2\pi$-periodisk funksjon slik at $\int_{-\pi}^\pi f^2$ konvergerer.
Dersom $f$ er deriverbar i $t$, 
er
\[
\lim_{N \to \infty}
\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}=f(t).
\]
\end{thm}
\vspace{.4cm}
\end{tcolorbox}



\begin{proof}
Dette er et pent bevis laget av en kar som heter Paul Chernoff. 
Formlene i beviset blir litt enklere å skrive opp dersom vi antar $t=0$ og at $f(0)=0$. 
Hvis ikke er dette er tilfelle, 
kan vi flytte hele problemet slik at $t$ ligger på origo, 
noe som er helt greit siden $f$ er $2\pi$-periodisk, 
og så subtrahere $f(0)$ fra $f$, 
som også er greit siden $f(x)-f(0)$ også tilfredsstiller betingelsene i teoremet.
Vi må vise at 
\[
\lim_{N\to \infty} S_N(0)=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=-N}^{N}c_n=0
\]
\begin{align*}
\sum_{n=-N}^{N}c_n&=\sum_{n=-N}^{N}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N} e^{-int}\; dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\frac{e^{i(N+1/2) t}-e^{-i(N+1/2) t}}{e^{it/2}-e^{-i t/2}}\; dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\frac{e^{i(N+1) t}-e^{-iN t}}{e^{it}-1}\; dt\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(t)}{e^{it}-1}e^{-i(N+1) t}\; dt\\ 
&+\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{f(t)}{e^{it}-1}e^{iN t}\; dt
\end{align*}
De to siste integralene er fourierkoeffisienter til funksjonen 
\[
g(t)=\frac{f(t)}{e^{it}-1}.
\]
og må derfor gå mot null når $N\to \infty$ dersom $\int_{-\pi}^\pi g^2$ konvergerer.
Siden $f$ er deriverbar og $f(0)=0$, 
er $g$ begrenset i området rundt $0$, 
og følgelig må $\int_{-\pi}^\pi g^2$ konvergere siden $\int_{-\pi}^\pi f^2$ gjør det.
\end{proof}



%\begin{oppgave}
%Det første har å gjøre med dette integralet:
%\[
%\int_{-\pi}^\pi  \sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin{n t}\sin{m t} \;dt
%\]
%Det er langt i fra innlysende at en slik uendelig sum er riemannintegrer, 
%som følgende eksempel viser.
%La 
%\[
%f_{m,n}(t)= \left(\cos m! \pi t\right)^{2n}.
%\]
%Disse funksjonene er kontinuerlige for alle $m$ og $n$.
%La nå
%\[
%f_{m}(t)= \lim_{n\to \infty} \left(\cos m! \pi t\right)^{2n}.
%\]
%Disse funksjonene er 1 om $m!t$ er et heltall og 0 ellers.
%Funksjonen 
%\[
%f(t)= \lim_{m\to \infty}\lim_{n\to \infty} \left(\cos m! \pi t\right)^{2n}
%=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}
%\]
%og denne funksjonen er ikke riemannintegrerbar.
%\end{oppgave}

%Husk dirichletkjernen
%\[
%D_n(t)=\sum_{n=-N}^{N}e^{in t}.
%\] 
%For det første er det lett å se at 
%\[
%\int_{-\pi}^\pi D_n(x)\; dx= \sum_{n=-N}^{N} \int_{-\pi}^\pi e^{in x}\; dx=2\pi,
%\] 
%og siden $D_N$ er en $2\pi$-periodisk funksjon, 
%kan vi like gjerne skrive
%\[
%\int_{-\pi}^\pi D_n(x)\; dt= \int_{-\pi}^\pi D_n(x-t)\; dt=2 \pi.
%\] 
%På grunn av denne likningen, kan vi skrive
%\[
%f(t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x)\; dx.
%\] 
%Siden både $f$ og $D_N$ er $2\pi$-periodiske, 
%kan vi skrive
%\begin{align*}
% \sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}&=
%\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) D_n(t-x)\; dx \\
%&=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t-x) D_n(x)\; dx. \\
%\end{align*}
%Alt dette kan vi slå sammen til
%\begin{align*}
%f(t)-\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}&=\\
%\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}&\left( f(x-t) -f(t)\right) D_n(x)\; dx.
%\end{align*}
%Vi tar en titt på funksjonen
%\[
%g(x)=\frac{f(x-t) -f(t)}{\sin t/2}
%\]
%Siden $|f(x-t) -f(t)| \leq M|x|$, 
%er denne funksjonen er begrenset på $[-\pi,\pi]$.
%Den er ikke definert for ~$x=0$, 
%men det gjør ikke noe, 
%for vi skal bare integrere den. 
%Nå skriver vi
%\begin{align*}
%f(t)-\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}&=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x) \sin(N+1/2)x\; dx\\
%&= \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x) \cos x/2 \sin Nx\; dx \\
%&+ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x) \sin x/2 \cos Nx\; dx.
%\end{align*}
%Bruker vi Eulers formel på $\sin Nx$ og $\cos Nx$ ser vi at de to siste integralene er satt sammen av fourierkoeffisientene til funksjonene $g(x)\sin x/2$ og $g(x)\cos x/2$ og de komplekskonjugerte av disse. 
%Fra Bessels ulikhet vet vi at alle disse fire må gå mot null når $N \to \infty$,
%og med andre ord må både 
%\[
%\lim_{n \to \infty}
%\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x) \cos x/2 \sin Nx\; dx=0
%\]
%og
%\[
%\lim_{n \to \infty}
%\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x) \sin x/2 \cos Nx\; dx=0
%\]
%slik at 
%\[
%\lim_{N \to \infty}
%\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}=f(t).\qedhere
%\]




%\section*{ \huge Epilog}
%
%Du husker kanskje projeksjon fra M3. 
%Vi gjengir et avsnitt. 
%Denne epilogen er ikke essensiell lesning dersom du bare ønsker å komme deg gjennom eksamen, 
%men viktig hvis du ønsker å sette fourieranalysen i sammenheng med ting du har lært tidligere.
%
%\begin{tcolorbox}
%Hvis vi har en ortogonal basis for et rom, er det veldig lett å finne en vektors komponenter i rommet. La oss si at vi ønsker å finne vektoren $\V v$ sine komponenter i basisen $\V u_1, \;\V u _2, \cdots \V u_n$. Komponentene til $\V v$ er gitt ved likningen 
%\[
%\V v = t_1 \V u_1 + t_2 \V u_2 + ...t_n \V u_n = U\V t
%\]
%Hvis vi ganger begge sider av denne likningen med $U$, får vi
%\[
%U^* \V v = U^*U\V t,
%\]
%og siden kolonnene til $U$ er ortogonale, blir den kvadratiske matrisen $U^*U$ diagonal:
%\[
%U^*U=
%\begin{bmatrix}
%\V u_1^*\V u_1 & 0 & 0 & \hdots & 0 \\
%0 & \V u_2^*\V u_2 & 0 & \hdots & 0 \\
%0 & 0 & \V u_3^*\V u_3  & \hdots & 0 \\
%\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
%0 & 0 & 0 & \hdots & \V u_n^*\V u_n
%\end{bmatrix}.
%\]
%Følgelig er løsningen av systemet $U^* \V v = U^*U\V t$ enkel å skrive opp. 
%\begin{thm}
%La $\V u_1$, $\V u _2$, ...,$\V u_n$ være en ortogonal basis for $V$, og la $\V v \in V$. 
%I så fall kan $\V v$ skrives
%\[
%\V v= \frac{\V u_1^*\V v}{\V u_1^*\V u_1}\V u_1 + \frac{\V u_2^*\V v}{\V u_2^*\V u_2}\V u_2+...+\frac{\V u_n^*\V v_n}{\V u_n^*\V u_n}\V u_n
%\]
%\end{thm}
%Vi kan også projisere en vektor ned i et rom der den ikke hører hjemme. 
%Projeksjonen minimerer avstanden fra rommet til vektoren.
%\begin{thm}
%La $\V u_1$, $\V u _2$, ...,$\V u_n$ være en ortogonal basis for $V$, og la $\V v \notin V$. Punktet
%\[
%\V v' = \frac{\V u_1^*\V v}{\V u_1^*\V u_1}\V u_1 + \frac{\V u_2^*\V v}{\V u_2^*\V u_2}\V u_2+...+\frac{\V u_n^*\V v_n}{\V u_n^*\V u_n}\V u_n
%\]
%er det punktet i $V$ som har kortest avstand til $\V v$:
%\[
%\|\V v-\V v' \|=\min_{\V w \in V} \|\V v-\V w \|
%\]
%\end{thm}
%\vspace{.4cm}
%\end{tcolorbox}
%
%Disse to teoremene beviste vi for ortogonale systemer i dette kapitlet. 
%Fourieranalyse spinner videre på dette, og setter opp de samme teoremene,
%bare i uendelig mange dimensjoner.
%Vi definerer indreproduktet
% \[
% \int_{-\pi}^\pi  f\, \overline{g}\; dt,
% \]
%lager oss en ortogonal mengde,
%\[
%e^{in t} \quad n \in \Z
%\]
%og prøver å skrive funksjoner som 
%\[
%f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
%\]
%der
%\[
%c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt.
%\]
%Uttrykket 
%\[
%\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
%\]
%kan betraktes som projeksjonen av $f$ ned i det uendeligdimensjonale rommet utspent av funksjonene $e^{in t} $, 
%og koeffisienten 
%\[
%\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt
%\]
%er $f$ sin komponent langs vektoren $e^{int}$.
%Beregningen
%\[
% \int_{-\pi}^{\pi}e^{in t}\overline{e^{m t}}\; dt=
% \begin{cases}
%      2\pi & \text{for } n =m \\
%        0  & \text{for } n \neq m
%    \end{cases} 
%\]
%ville vi i M3 skrevet 
%\[
%\V u_n^*\V u_n=2\pi,
%\]
%og 
%\[
%\V u_n^*\V v=\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt,
%\]
%og så satt sammen alt ved
%\begin{align*}
%\V v&= \frac{\V u_1^*\V v}{\V u_1^*\V u_1}\V u_1 + \frac{\V u_2^*\V v}{\V u_2^*\V u_2}\V u_2+\cdots \\
%&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
%\end{align*}
%Det kan også nevnes at Parsevals teorem er en uendeligdimensjonal variant av Pytagoras' teorem, 
%som du lærte allerede på ungdomsskolen.
%
%Med dette i bakhuet, 
%er det naturlig å spørre seg hva slags vektorrom funksjonene $e^{in t}$ er basis for. 
%Dette er et komplisert spørsmål, og ble ikke ordentlig besvart før tidlig på 1900-tallet.
%Rommet heter $L^2$, og vi skal snakke litt løst om ingrediensene i konstruksjonen.
%
%For å få et meningsfylt svar, må man for det første gå over til å betrakte ekvivalensklasser av funksjoner,
%heller enn funksjoner.
%Grunnen er at funksjoner som kun er forskjellige i enkelte punkter her og der,
%vil ha den samme fourierrekken,
%og dette kan vi ikke ha noe av, 
%for et element i rommet bør helst kunne representeres på en entydig måte i basisen $\{e^{in t}\}$. 
%
%For det andre må man justere litt på konvergensbegrepet. 
%Hva vil det si at rekken 
%\[
%\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
%\]
%konvergerer til $f$?
%Punktvis konvergens,
%altså at fourierrekken konvergerer til $f$ for hver $t$, 
%er greit hvis man skal bevise noe i et grunnleggende kurs i fourieranalyse, 
%men om man løsner litt på konvergensbegrepet, 
%vil man se at det finnes en mye større klasse av funksjoner kan representeres ved sin fourierrekke.
%Vi beviser heller at
%\[
%\int_{-\pi}^\pi \left( f(t)-\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}\right)^2\; dt \to 0  
%\quad 
%\text{når}
%\quad N \to \infty.
%\]
%som kalles $L^2$-konvergens. 
%Denne konvergensen sier i prinsippet at arealet mellom 
%$f$ og partialsummen
%skal gå mot null når partialsummen går mot fourierrekken til $f$.
%%Men denne typen konvergens kan man ikke demonstrere med riemannintegralet du lærte i M1,
%%for grensen
%%\[
%%\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
%%\]
%%til en følge 
%%\[
%%\sum_{n=-N}^{N}c_n e^{in t}
%%\]
%
%Når alt dette er sagt og gjort, %det nye lebesgueintegralet er tatt i bruk, 
%ekvivalensklasser av funksjoner er definert, 
%og $L^2$-konvergens er tatt i bruk, 
%kan man vise at $L^2$ består, litt forenklet, av alle funksjoner som tilfredsstiller
% \[
% \int_{-\pi}^\pi f\, \overline{f}\; dt=  \int_{-\pi}^\pi  |f|^2\; dt<\infty.
% \]
%Legendrepolynomene er en ortogonal basis for $L^2[-1,1]$.
%
%%Til slutt kan nevnes at det trengs også et nytt integral for å gjøre fourieranalyse ordentlig.
%%Grensen til en følge av riemannintegrerbare funksjoner er ikke nødvendigvis riemannintegrerbar.
%%Når man skal demonstrere konvergens av fourierrekker, 
%%må man jo vite at grensen faktisk er integrerbar på samme vis som partialsummene.
%%Henri Lebesgue oppfant på tidlig 1900-tall et bedre integral,
%%som gjør jobben. 
%%Dette integralet er en mye mer komplisert teoretisk konstruksjon enn riemannintegralet, 
%%og er langt utenfor det vi kan klare og se på i dette kurset.
%
%

\section*{\huge Fouriertransform}
Dette er noe som har en spesiell plass i elektroingeniørens hjerte.
I dette kapitlet skal vi gå gjennom fouriertransformens grunnleggende egenskaper.

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Fouriertransform]
Fouriertransformen til $f$ er
\[
X(\omega) = \mathcal{F}\left\{ x(t) \right\}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega t}\;dt.
\]
der $\omega$ er en reell variabel. 
\end{tcolorbox}



Siden 
\begin{equation*}
X(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\; dt,
\end{equation*}
ser vi at det gir ingen mening å stappe inn en funksjon som ikke lar seg integrere på hele $t$-aksen. 
Det er vanlig å kreve at $x$ er absolutt integrerbar, altså at
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\; dt < \infty.
\end{equation*}
Det er mulig å slakke noe på dette kravet, med det skal ikke vi gjøre.
Funksjonen~$e^{-i\omega t}=\cos{wx}-i\sin{wx}$ er en parametrisering av enhetssirkelen, 
med $|e^{-i\omega t}|=1$ for alle $\omega$ og $x$.


\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Inngangsbillett til fouriertansform]
Dersom $x$ er absolutt integrerbar, 
konvergerer integralet
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega t}\; dt.
\end{equation*}
absolutt.
\end{tcolorbox}
\begin{proof}
Dersom $\omega$ og $x$ er reelle, er $|e^{-i\omega t}|=1$, slik at
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)e^{-i\omega t}|\; dt&=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\cdot |e^{-i\omega t}|\; dt\\ & =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\; dt < \infty.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}


\begin{ex}
La $a>0$. Vi beregner 
\begin{align*}
\mathcal{F}(e^{-a|x|})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|}e^{-iwx}\; dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-ax}e^{-iwx}\; dx +\int_{-\infty}^{0} e^{ax}e^{-iwx}\; dx \right)\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x(a+iw)}\; dx +\int_{-\infty}^{0} e^{x(a-iw)}\; dx \right)\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{1}{a+iw} +\frac{1}{a-iw} \right)\\ 
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2a}{a^2+w^2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^2+w^2} \qedhere
%&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x}e^{-iwx}\; dx \\
%&+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{x}e^{-iwx}\; dx \\
\end{align*}
\end{ex}

Vi har tilgang på en formel for den inverse transformen, 
men det er for vanskelig å bevise for oss.

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Invers fouriertransform]
Dersom $X(\omega)$ er absolutt integrerbar, har vi
\begin{equation*}
x(t)=%\mathcal{F}^{-1}\left\{X(\omega)\right\}=
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{i\omega t}\; d\omega.
\end{equation*}
\end{tcolorbox}

For å få en magefølelse for hvorfor inversformelen er som den er, 
kan vi ta en titt på fourierrekker. 
Man kan tenke at fouriertransform er en slags fourierrekke der $[-L,L]$ strekkes til å bli hele $x$-aksen. 
La $f$ være en kontinuerlig og absolutt integrerbar funksjon. 
Vi setter opp fourierrekken til $f$ på intervallet $(-L,L)$, og gjør en omskrivning:
\begin{align*}
x(t)  = &   \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi t}{L}}  \\  
= & \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( \frac{1}{2L}\int_{-L}^L x(s)e^{-i\frac{n\pi}{L}s}\; ds \right)\; e^{i\frac{n\pi t}{L}} \\  
= & \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( \frac{\pi}{L}\int_{-L}^L x(s)e^{-i\frac{n\pi}{L}s}\; ds \right)\; e^{i\frac{n\pi t}{L}}.
\end{align*}
Det siste uttrykket kan tolkes som en riemannsum på aksen der $n$ telles fra $-\infty$ til $\infty$. 
Gitteravstanden er $\frac{\pi}{L}$, og punktene er gitt ved $\frac{n\pi}{L}$. 
Hvis vi lar $L\to \infty$, vifter vi det vi kan med armer og bein og får 
\begin{equation*}
x(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty} x(s)e^{-i\omega s}\; ds \right)\; e^{iwt}\; d\omega.
\end{equation*}


Vi kjenner igjen det innerste integralet som fouriertransformen til $x$:
\begin{equation*}
X(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}dt.
\end{equation*}
Det ytterste integralet kalles den inverse fouriertransformen, 
og med noen strenge krav på signalet $x$, 
er det riktig å skrive at
\begin{equation*}
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\end{equation*}

\begin{tcolorbox}\begin{thm}
Hvis $f$ er glatt, 
og alle deriverte synker fryktelig raskt når $|x|\to \infty$, 
er det riktig at
\begin{equation*}
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\end{equation*}
\end{thm}\end{tcolorbox}

Hva betyr det at alle deriverte synker raskt nok når $t\to \infty$?
Det er vanlig å kreve at 
\[
\sup_{t \in \mathbb{R}}|t|^k\left|\frac{d^n}{dt^n}x(t)\right| < \infty
\]
for alle $k$ og $n$,
for da er det ikke så vanskelig å bevise at inversformelen gjelder (det er fremdeles litt for vanskelig for oss).
Funksjoner som tilfredsstiller dette kravet, 
utgjør et vektorrom som kalles Schwartzrommet. 
Det går an å slakke på dette kravet, 
men da må alt baseres på en mye mer komplisert integrasjonsteori oppfunnet av Henri Lebesgue.
Ingeniører må jo stadig vekk fouriertransformere funksjoner som ikke tilhører Schwartzrommet, 
så det er bare å knipe igjen øynene og håpe på det beste som vi pleier.


\begin{ex}
La $a>0$. Vi beregner 
\begin{align*}
\mathcal{F}(e^{-a|t|})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|t|}e^{-i\omega t}\; dt \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-i\omega t}\; dt +\int_{-\infty}^{0} e^{at}e^{-i\omega t}\; dt \right)\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-x(a+i\omega )}\; dt +\int_{-\infty}^{0} e^{x(a-i\omega )}\; dt \right)\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{1}{a+i\omega } +\frac{1}{a-i\omega } \right)\\ 
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{2a}{a^2+\omega^2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^2+\omega^2} \qedhere
%&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x}e^{-i\omega t}\; dt \\
%&+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{x}e^{-i\omega t}\; dt \\
\end{align*}
\end{ex}

\section*{ \huge Regneregler}

Den første er grei. 
Siden integralet er en en lineæroperator, 
er også fouriertransformen det.

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title= Fouriertransform er en lineæroperator]
Dersom $a$ og $b$ er tall og $f$ og $g$ funksjoner,
er
\[
\mathcal{F}\left\{ax+by\right\}=a\mathcal{T}\left\{x\right\}+b\mathcal{T}\left\{y\right\}.
\]
\end{tcolorbox}

Husk at $\lim_{x \to \pm \infty} x(t)=0$ siden $x$ er absolutt konvergent.
\begin{align*}
\mathcal{F}(\dot{x})  = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \dot{x}(t)e^{-i\omega t} \; dt \\[5pt]
= & \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x(t)e^{-i\omega t}\biggr\rvert_{-\infty}^{\infty}+\frac{i\omega }{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega x} \; dx \\[5pt]
= & i\omega \mathcal{F}(x) 
\end{align*}

slik at 

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Derivasjonsregelen]
La $x'$ være absolutt integrerbar på $x$-aksen, og anta at $x(t) \to 0$ når $x \to \pm \infty$. 
Da er
\begin{equation*}
\mathcal{F}\left\{\dot{x}\right\}=i\omega \mathcal{F}\left\{x\right\}
\end{equation*}
\end{tcolorbox}






\begin{ex}
Vi beregner 
\[
\mathcal{F}(e^{-t^2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}e^{-i\omega t}\; dt\
\]
Dette er litt jobb. Derivasjonsregelen over gir
\[
\mathcal{F}(-2te^{-t^2})=i\omega \mathcal{F}(e^{-t^2}).
\]
Men vi kan også observere at 
\begin{align*}
\mathcal{F}(-2te^{-t^2})&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} -2te^{-t^2}e^{-i\omega t}\; dt\\ 
&=\frac{-2i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} -ite^{-t^2}e^{-i\omega t}\; dt \\
&=\frac{-2i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega t}\; dt \\
&=-2i\frac{d}{d\omega}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}e^{-i\omega t}\; dt \\
&=-2i\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}(e^{-t^2}).
\end{align*}
Vi mangler litt vanskelig teori for å være helt sikker på den siste beregningen,
men vi lar den passere allikevel. 
Hvis vi setter disse uttrykkene lik hverandre, 
får vi differensiallikningen
\[
i\omega \mathcal{F}(e^{-t^2})=-2i\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}(e^{-t^2})
\]
eller 
\[
\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}(e^{-t^2})+\frac{\omega}{2}\mathcal{F}(e^{-t^2})=0
\]
for $\mathcal{F}(e^{-t^2})$. 
Integrerende faktor er 
\[
e^{\omega^2/4},
\]
slik at 
\[
\frac{d}{d\omega}\left(e^{\omega^2/4}\mathcal{F}(e^{-t^2})\right)=0
\]
eller
\[
\mathcal{F}(e^{-t^2})=Ce^{-\omega^2/4}.
\]
Senere i semesteret skal vi se at
\[
\hat f(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\; dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\pi}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\]
som gir
\[
\mathcal{F}(e^{-t^2})=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\omega^2/4}. 
\]
Dersom $a>0$, kan vi gjøre den samme beregningen og få 
\[
\mathcal{F}(e^{-at^2})=\frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\omega^2/4a}. \qedhere
\]
\end{ex}



\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Flere regneregler]
\begin{tcolorbox}[colback=green!10, title=Tidsskift]
\[
\mathcal{F}\left\{x(t-\theta)\right\})=e^{-i\omega\theta}X(\omega)
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=green!10, title=Frekvensskift]
\[
\mathcal{F}\left\{e^{i\theta t} x(t)\right\})=X\left(\omega-\theta\right)
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=green!10, title=Tidsskalering]
\[
\mathcal{F}\left\{x(at)\right\})=\frac{1}{|a|}X\left(\frac{\omega}{a}\right)
\]
\end{tcolorbox}
\end{tcolorbox}



\section*{ \huge Konvolusjon}

Konvolusjon er et litt merkelig produkt som dukker opp her og der,
og er definert ved
\begin{equation}
x\ast y = \int_{-\infty}^{\infty} x(\theta) y(t-\theta)\; d\theta.
\end{equation}
Det finnes forskjellige typer konvolusjoner, 
og det er stort sett forskjellige integrasjonsgrenser som skiller dem. 
Hvilken type integrasjonsgrenser som er mest relevant, 
kommer litt an på anvendelsen, 
men vi begynner med den her.

Konvolusjon kan fremstå som noe umotivert, 
men har fryktelig mange bruksområder.
Mange artige ting er basert på konvolusjon. 
Noen eksempler er reverb-knappen på gitarforsterkeren din,
bakgrunnsuskarpheten i det vakre konfirmasjonsbildet ditt, 
eller autofokusfunksjonen på speilreflekskameraet du fikk til ovennevnte konfirmasjon.
Sannsynlighetstettheten til summen av to stokastiske variable er konvolusjonen mellom tetthetene til hver variabel.

\begin{ex}
Anta at du har to uavhengige stokastiske variable $X$ og $Y$, 
med sannsynlighetstettheter $f(x)$ og $g(y)$. 
Hva er sannsynlighetstettheten til $X+Y$?

Dersom $X$ tar verdien $v$ og $Y$ tar verdien $z-v$, 
tar $X+Y$ verdien $z$.
For å finne sannsynlighetstettheten til $X+Y$
må vi derfor summere opp bidraget fra alle sannsynligheter på formen ${f(v)g(z-v)}$,
slik at sannsynlighetstettheten $h(z)$ til $X+Y$ blir
\[
h(z)=f \ast g = \int_{-\infty}^{\infty} f(v) g(z-v)\; dv. \qedhere
\]
\end{ex}


\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title=Viktig regel]
Det er lett å vise at konvolusjonsoperatoren er kommutativ:
\[
x\ast y = y\ast x
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title=Konvolusjonsteoremet]
\[
x(t)\ast y(t) \stackrel{\mathcal F}{\longleftrightarrow} X(\omega)Y(\omega),
\]
eller på norsk: ``Konvolusjon i tidsdomenet tilsvarer multiplikajon i frekvensdomenet.''
\end{tcolorbox}
\begin{proof}
Vi bruker varablelskiftet $u=x-v$, $v=v$, og beregner
\begin{align*}
\mathcal{F}\left\{ x(t) \ast y(t)\right\} &= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(x-v)\; dv\;e^{-i\omega t}\; dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(x-v)\; e^{-i\omega t}\; dv\; dt \\
&=  \int_{-\infty}^{\infty} x(v) y(u)\; e^{-i\omega (u+v)}\; dv\; du \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}  y(u) e^{-i\omega u}\int_{-\infty}^{\infty} x(v)\; e^{-i\omega v}\; dv\; du \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}  y(u) e^{-i\omega u}\; \mathcal{F}(x)\;du \\
&= \mathcal{F}\left\{x\right\}\int_{-\infty}^{\infty}  y(u) e^{-i\omega u}\; du \\
&=  \mathcal{F}\left\{x\right\} \mathcal{F}\left\{y\right\} = X(\omega)Y(\omega) \qedhere
\end{align*}
\end{proof}


Vi skal løse differensiallikninger med fouriertransform, 
og da vil vi få bruk for å inverstransformere produkter av fouriertransformer. 
Konvolusjonsteoremet forteller oss nøyaktig hvordan vi inverstransformerer et slikt produkt.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\kapittelslutt
