\input{kapittel}

\kapittel{1}{Introduksjon}

Realfag er en slags lek med følgende regler:
\begin{itemize}
\item[1] Gjør  grunnleggende antagelser.
\item[2] Utled konsekvenser av antagelsene og fremsett hypoteser som lar seg teste.
\item[3] Test hypotesene ved repeterbare eksperimenter.
\item[4] Skriv ned hva du har gjort, slik at andre kan repetere 
eksperimentene og dobbeltsjekke at du ikke har gjort noen feil.
\end{itemize}

I noen fag kan det være så vanskelig å presisere de grunnleggende antagelsene
at utledningen av konsekvenser blir tilnærmet meningsløs.
Matematikk sitter helt i den andre enden av skalaen.
Man kan alltid skrive opp antagelsene så og si dønn presist.
Gale hypoteser kan sables ned med penn og papir, 
og spørsmålet om repeterbarhet faller bort.
 
I matematikk er det derfor et primært fokus på utledning.
Mange mennesker som liker matematikk vil påstå at 
matematikk i bunn og grunn handler om å lære seg å tenke. 
I dette kompendiet har jeg imidlertid fokusert på lesbarhet heller enn stringens,
og derfor er det viktig å slå opp i alternative kilder.
I begynnelsen av hvert kapittel kommer det en liten grå boks med henvisning til
(utgavenummer i parentes):

\begin{tcolorbox}
\begin{itemize}
\item Walter Rudin: \\ Principles of Mathematical Analysis (3)
\item Erwin Kreyszig: \\ Advanced Engineering Mathematics (10)
\item Robert Adams/Christopher Essex: \\ Calculus, A complete course (7)
\item Lars Ahlfors: \\ Complex analysis (2)
\item Elias Stein/ Rami Shakarchi: \\ Fourier Analysis (1)
\item Tom Lindstrøm: \\ Kalkulus (3)
\item Tom Lindstrøm: \\  \url{https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT1110/v09/FVLAbok.pdf}
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Hvis du liker stringens, 
les Rudin, Ahlfors og Stein. 
Disse regnes som klassikere.
Hvis du lurer mest på hva all matematikken skal brukes til 
og har sterk rygg, les Kreyszig. (Den er en ordentlig murstein.)
Hvis du liker gode og lettleste amerikanske forklaringer med 
fine figurer, les Adams. 
Lindstrøms bøker er ryddige, 
stringente og fantastisk skrevet,
men Adams har flere figurer
og Kreyszig har flere anvendelser.
Ingen av bøkene dekker alt vi skal gjennom.
Derav dette kompendiet.

I blå bokser finner du definisjoner:
\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title= Det vakreste]
En \defterm{fourierrekke} er en rekke 
\[
h(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
der
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt
\]
\end{tcolorbox}

I røde bokser finner du utledete setninger.
Som oftest vil du finne utledning, 
eller skisse av utledning, 
eller henvisning til hvor man kan lese mer, 
i teksten rundt boksen. 
\begin{tcolorbox}[colback=red!10, title= Det pene konvergensteoremet]
La $f:\mathbb R \to \mathbb R$ være en kontinuerlig deriverbar $2\pi$-periodisk funksjon,
og la
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt.
\]
Da er  
\[
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in t}
\]
for alle $t$.
\end{tcolorbox}

I grønne bokser finner du all slags mulige andre ting, 
for eksempel viktige spørsmål.
\begin{tcolorbox}[colback=green!10,title=Det store spørsmålet]
Hvorfor er fourierkoeffisientene gitt ved
\[
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\; dt \quad ?
\]
\end{tcolorbox}



\section*{\huge Aksiomer}

All vitenskap har en ting til felles: 

\begin{tcolorbox}[title=Et grunnleggende prinsipp, colback=green!10]
Det går ikke an å gjøre deduksjon uten å legge et eller annet til grunn. 
\end{tcolorbox}

Det er nødvendig  gjøre noen grunnleggende antagelser for å komme igang.
Disse antagelsene har litt forskjellig navn, 
alt etter fagfelt -
i matematikk kalles de aksiomer, 
og fysikerne sier postulat. 
I dagligtale snakker man om premisser som ligger til grunn for en diskusjon,
og når man er litt usikker på noe, 
jobber man gjerne under en midlertidig arbeidshypotese.

Felles for begrepene antagelse, aksiom, postulat, premiss og hypotese, 
er at de alle betyr noe sånt som \say{et fundament man kan gjøre deduksjon på}. 
Man utsetter inntil videre spørsmålet om fundamentet er trygt å bygge på,
og studerer heller fundamentets logiske konsekvenser. 
Når man har studert konsekvense tilstrekkelig,
formulerer man en spådom som kan testes, 
og hvis spådommen bommer, 
må man revurdere fundamentet.

\begin{ex}
Den spesielle relativitetsteorien postulerer at 
\begin{itemize}
\item[1.] Fysikkens lover er identiske i alle inertialsystemer.
\item[2.] Lysets hastighet i vakuum er den samme i alle intertialsystemer.
\end{itemize}
Dette høres selvfølgelig helt sykt ut,
men fysiske eksperimenter bekrefter visst at det er sånn verden er skrudd sammen.
\end{ex}

%
\begin{ex}
Kochs postulater er et sett av kriterier som må være oppfylt for at man skal kunne fastslå at en mikroorganisme er årsak til en gitt sykdom. 
\begin{itemize}
\item[1.] Mikroorganismen skal kunne isoleres og fremstilles i renkultur i alle sykdomstilfeller.
\item[2.] Mikroorganismen må ikke forekomme ved andre sykdommer.
\item[3.] Den isolerte mikroorganismen må være i stand til å fremkalle sykdommen hos forsøksdyr, og mikroorganismen må kunne gjenfinnes hos disse.
\end{itemize}
(Kilde: \href{https://sml.snl.no/Kochs_postulater}{\color{blue}{Store medisinske leksikon}}.)
\end{ex}

\begin{ex}
Darwins postulater for evolusjon går som følger: 
\begin{itemize}
\item[1.] Det er variasjon mellom individer i en art.
\item[2.] Noen av disse variasjonene videreføres til avkom.
\item[3.] Det fødes mer avkom enn det er plass til.
\item[4.] Det avkommet som tilfeldigvis er best tilpasset omgivelsen har et konkurransefortrinn, og produserer mer avkom som selv overlever til reproduktiv alder.
\end{itemize}
Konsekvensene av disse postulatene er at arter vil tilpasse seg omgivelsene over tid, 
og omvendt.
Darwin tilbrakte tid på Galapagos,
og oppdaget at halsen på skilpaddene på de forskjellige øyene så ut til å være tilpasset vegetasjonen på de forskjellige øyene.
På en av de minste øyene, 
som snart synker i havet (alle øyene på Galapagos er midlertidige vulkanske øyer)
finnes det en fink som lever av å suge blod fra stjerten til hekkende sjøfugl.
\end{ex}


\begin{ex}
Første Mosebok postulerer at jorden er omtrent seks tusen år gammel. 
Hvis dette er sant, 
så er det noe galt med vår forståelse av grunnstoffet karbon. 

Karbon forekommer i tre isotoper som kalles C-12, C-13 og C-14.
Alle har en atomkjerne som inneholder seks protoner, 
men kjernen kan i tillegg inneholde seks, syv eller åtte nøytroner.
C-14 er et ustabilt isotop, 
og halveringstiden er på omtrent 5700 år.
Men andelen C-14 i atmosfæren ligger allikevel (på grunn av kosmisk stråling og et par atombombeprøvesprengninger) stabilt på omtrent ett atom per $10^{12}$.

Siden du puster, 
utveksler du hele tiden karbon med atmosfæren,
og derfor er andelen C-14 i kroppen din og i atmosfæren omtrent den samme. 
Men når du dør, 
blir du avskåret fra denne utvekslingen, 
og etter 5700 år vil C-14-andelen i kroppen din være omtrent halvert.
Siden vi har fossiler av levende vesener som har vesentlig lavere C-14-andel enn femti prosent, 
må jorden antakelig  være mye eldre enn 6000 år.

Med andre ord: om du tror at jorden er 6000 år gammel, 
kan du ikke samtidig tro på fysikk.
Du er  nødt til å velge en av dem.
\end{ex}

I dette kompendiet skal vi studere litt aksiomer fra tid til annen. 
Det er ikke sikkert at akkurat du trenger å kunne noe særlig om
aksiomene for å sende en rakett til månen eller bygge en oscillator, 
men jeg tar det med fordi det er en viktig del av det vitenskapelige paradigmet.

\section*{\huge Mengder}

Det er en god investering å lære seg foran og bak på mengdesymbolene.
\footnote{
Statistikk og sannsynlighetsregning blir veldig mye enklere 
om man er komfortabel med mengdelære!} 
Det finnes aksiomer for mengdelære, 
men de er kompliserte. 

En \defterm{mengde} er en samling med ting, kalt \defterm{elementer}. 
I grunnleggende matematikk er elementene gjerne tall, 
mens i sannsynlighetsregning er elementene utfall. 
Vi kan også ha en punktmengde i planet eller i rommet, 
en sirkelskive eller et kuleskall,
eller noe helt annet.
For eksempel er
\[
A=\{1,2,3,4,5\}
\]
en mengde med fem elementer, og 
\[
B=\{1,3,5, \pi\}
\]
en mengde med fire elementer.
Vi skriver 
\[
\pi \in B
\]
for å uttrykke at $\pi$ er et 
av elementene i $B$.
Av og til bruker vi synonymene \say{samling}, 
\say{familie} eller \say{klasse} istedet for mengde,
fordi litt språklig variasjon kan gjøre det lettere å lese. 
Hvis man for eksempel trenger å definere en mengde av mengder, 
kan det lenger ned i teksten bli klønete å referere til denne, 
siden \say{mengde} da både kan bety både \say{en av mengdene i mengden av mengder} 
og \say{selve mengden av mengder}.
Da er det like greit å si \say{en samling av mengder},
slik at man senere har mulighet til å skille dem uten å finne opp masse notasjon.

Vi kan sette sammen mengder til nye mengder. 
To vanlige operasjoner på mengder, 
er \defterm{union}:
\[
\cup
\]
og \defterm{snitt}:
\[
\cap
\] 
Unionen mellom $A$ og $B$ er 
er en mengde som inneholder alle elementer som er med i  
enten $A$ eller i $B$ eller i begge:
\[
A\cup B=\{1,2,3,4,5,\pi\}
\]
Snitt er en mengde som inneholder de elementene som er i både $A$ og i $B$:
\[
A\cap B=\{1,3,5\}
\]

Dersom alle elementer i en mengde $A$ er inneholdt i en større mengde $B$, 
skriver vi
\[
A \subset B,
\]
som er er det samme som at 
\[
A \cap B=A.
\]
Dersom det hersker litt usikkerhet om hvorvidt  $A \subset B$ eller $A=B$
skriver vi 
\[
A \subseteq B.
\]

Vi skriver 
\[
A-B
\]
for mengden av alle elementer som er i $A$, men ikke i $B$, 
og  
\[
\overline{A}  
\]
(leses \text{\say{ikke $A$}}) for alle elementer som ikke er i $A$. 
En mengde uten elementer kalles \say{den tomme mengden},
og ser slik ut:
\[
\emptyset
\]
Denne er praktisk å ha, 
for nå kan vi skrive 
\[
A\cap B = \emptyset
\]
for å uttrykke at $A$ og $B$ ikke har noen felles elementer,
og
\[
A\neq \emptyset
\]
for å uttrykke at det finnes noen elementer i $A$.

I matematikk er det trygt å si at størrelsen teller:

\begin{tcolorbox}[title=Ordnet mengde,colback=blue!10]
En mengde er ordnet dersom det finnes en relasjon $<$ slik at 
\begin{itemize}
\item  kun en av 
\[
x < y, \quad x=y, \quad y < x
\]
er sann 
\item dersom $x < y$ og $y < z$ er  $x < z$ 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Den neste definisjonen er litt teknisk. 
Ordet \say{skranke} er  ikke mye brukt 
blant ungdommen nå til dags, 
så her er Store Norske Leksikons definisjon:\\
\url{https://snl.no/skranke}

\begin{tcolorbox}[title=Skranker,colback=blue!10]
En ordnet mengde $A \subset B$ er begrenset ovenfra 
dersom det finnes $y \in B$ slik at $x \leq y$ for alle $x \in A$.
Vi sier at $y$ er en øvre skranke for $A$.
Dersom ingen $z < y$ er en øvre skranke for $A$, 
kalles $y$ en minste øvre skranke for $A$.
\end{tcolorbox}

Tilsvarende definisjon finnes for 
nedre skranke og største nedre skranke.
Alt dette kan fremstå som litt trukket ut av hatten,
men skranker er en sentral komponent i vår presise 
forståelse av reelle tall. 

\begin{ex}
Mengden av alle tall $x$ slik at $x^2<2$ har mange 
skranker, for eksempel $y=3$, $y=100$ og $y=\sqrt{3}$.
Følg med i neste bolk for informasjon om en eventuell minste øvre skranke.
\end{ex}


\section*{\huge Viktige algebraiske strukturer}

Tallmengder har antagelig vært i bruk lengre enn skriftsystemer. 
De første rudimentære skriftsystemer oppsto i forbindelse med handelsbokføring i Mesopotamia for litt over fem tusen år siden. 
Streker ble skrevet med en butt penn for å holde styr på antall, 
mens andre symboler (kalt piktografer, og skrevet med skarpere penn), 
ble funnet opp for det vi idag kaller substantiv - korn, øltønner, fisk, og så videre. 
Idag dominerer tall omgivelsene våre. 
Dersom du løfter blikket fra denne teksten 
er det ikke en eneste ting du ser hvis konstruksjon eller drift ikke involverer tall på et eller annet vis, 
enten det er radaren til flyet du sitter i,
eller maskineriet som har saget opp alle panelbordene på hytteveggen din i lik bredde. 
Bokstavene i denne teksten er bare en haug med nullere og enere inni datamaskinen din.

Tallmengdene du har jobbet med siden barneskolen er eksempler på noe som
kalles algebraiske strukturer. 

\begin{tcolorbox}[title=Algebraiske strukturer, colback=blue!10]
En algebraisk struktur består av 
\begin{itemize}
\item en mengde med noen elementer i
\item et sett med regler for å kombinere elementene i mengden til nye elementer i mengden
\item et sett med aksiomer som reglene må tilfredsstille
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

En regel for å kombinere elementer kalles gjerne en binær operasjon,
siden den er noe som tar inn to elementer.
Tallmengdene du har regnet på siden barneskolen er alle algebraiske strukturer,
med addisjon og multiplikasjon som binære operasjoner. 
Når læreren lærte deg å regne,
var det en blanding av aksiomatiske regneregler, 
for eksempel  
\[
a+b=b+a
\]
og regneregler som var utledet fra aksiomene,
slik som 
\[
a^n\cdot a^m=a^{m+n}.
\]
Læreren nevnte mest sannsynlig ikke at noen av disse
er aksiomer og noen er utledete, 
men henspilte på diverse former for sunt bondevett 
for å argumentere for reglenes plausibilitet.

Tallmengder er de mest grunnleggende eksemplene på algebraiske strukturer, 
men det finnes andre viktige eksempler. 
Boolsk algebra brukes til å modellere det som skjer i datamaskinen din, 
vektorrom brukes til å systematisere kunnskap om lineære differensiallikninger,
og grupper brukes i kryptografi og til å analysere symmetri i molekyler.
Listen er lang.

De viktigste tallmengdene for en ingeniør er:

\begin{itemize}
\item De naturlige tallene $\N$
\item De hele tallene $\Z$
\item De rasjonale tallene $\Q$
\item De reelle tallene $\R$
\item De komplekse tallene $\mathbb{C}$
\item Kvaternionene $\mathbb{H}$
\end{itemize}

Disse sitter inni hverandre som matrjosjkadukker:
\[
\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \mathbb{C} \subset \mathbb H.
\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/matrjosjka}
\end{center}

De tre første, ($\mathbb N$, $\mathbb Z$ og $\mathbb Q$), 
jobbet du med allerede på barneskolen. 
Den fjerde ($\mathbb R$)
ble ikke gjennomskuet ordentlig av menneskeheten før andre halvdel av det nittende århundre.
\footnote{Flere tusen år etter at Arkimedes skjønte at arealet under grafen til $y=x^2$ går som $x^3/3$.}
Moderne fysikk, kjemi, 
elektroteknikk og kybernetikk er utenkelig uten 
den femte ($\mathbb C$),  
og den sjette ($\mathbb H$) får du bruk for dersom du går kyb og skal jobbe med satelitter. 

Alle unntatt $\mathbb N$ er eksempler på en type algebraisk struktur som kalles \say{ring},
mens $\Q$, $\R$ og $\mathbb{C}$ er eksempler på noe som kalles \say{kropp}. 
\footnote{Kropp heter 'field' på engelsk. 
En artigere oversettelse ville kanskje vært 'felt', 'åker', 'eng', eller 'bane'.}
En kropp er en algebraisk struktur med to \defterm{operasjoner}, 
addisjon ($+$) og  og mutliplikasjon ($\cdot$). 
Det er vanlig å sløyfe gangetegnet, 
og skrive
\[
x\cdot y= xy.
\]
La $F$ være en kropp. 
Følgende aksiomer skal være tilfredsstilt for addisjon:

\begin{tcolorbox}[title=Addisjon,colback=blue!10]
\begin{itemize}
\item[1] $F$ er \defterm{lukket} under addisjon: \\[3pt] $x,y \in F \quad \Longrightarrow \quad x+y \in F$ 
\item[2] Addisjonen er \defterm{assositativ}: \\[3pt]$(x+y)+z=x+(y+z)$ 
\item[3] Addisjonen er \defterm{kommutativ}: \\[3pt]$x+y=y+x$ 
\item[4] \defterm{Additiv identitet}: \\[3pt]Det finnes et element 0 slik at $x+0=x$
\item[5] \defterm{Additiv invers}: \\[3pt]For hver $x$ finnes $y$ slik at $x+y=0$
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Det additive inverselement til $x$ skrives $-x$.
Merk at 0 er sin egen additive invers. 
Følgende aksiomer skal være tilfredsstilt for multiplikasjon:

\begin{tcolorbox}[title=Multiplikasjon,colback=blue!10]
\begin{itemize}
\item[6] $F$ er \defterm{lukket} under multiplikasjon: \\[3pt] $x,y \in F \quad \Longrightarrow \quad x\cdot y \in F$. 
\item[7] Mutliplikasjonen er \defterm{assositativ}: \\[3pt]$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ 
\item[8] Multiplikasjonen er \defterm{kommutativ}: \\[3pt]$x\cdot y=y\cdot x$.
\item[9] \defterm{Multiplikativ identitet}: \\[3pt]Det finnes et elelement 1 slik at  $1\cdot x=x$.
\item[10] \defterm{Multiplikativ invers}: \\[3pt]For hver $x\neq 0$ finnes $y$ slik at $x\cdot y=1$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Det additive inverselement til $x$ skrives 
\[
1/x \quad \text{eller} \quad \frac{1}{x}.
\]
Til slutt er det et aksiom for rekkefølgen på regneoperasjonene.

\begin{tcolorbox}[title=Det distributive aksiomet,colback=blue!10]
\begin{itemize}
\item[11] Operasjonene er \defterm{distributive}:  \\[3pt] $(x+y)\cdot z= xz+yz$.
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

Fra disse aksiomene kan vi gå i gang med å utlede flere regneregler.

\begin{ex} 
Hvis du går på fest og sier du er matematiker, 
spør folk gjerne \say{hvorfor er $(-1)\cdot (-1)=1$, egentlig?}

Merk først at 
\[
y\cdot x=y\cdot (x+0)=y\cdot x+y\cdot 0
\]
Dersom vi legger til $-y\cdot x$ på begge sider, 
står vi igjen med 
\[
0=y\cdot 0,
\]
så det at null ganger noe må være null, 
følger av aksiomene. 
Vi kan nå bruke at 
\begin{align*}
0&= 0\cdot (-1) \\
&=(1-1)\cdot (-1) \\
&=1\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1) \\ 
&=-1+(-1)\cdot (-1)
\end{align*}
og konkludere med at $-1$ og $(-1)\cdot (-1)$ må summere til null. 
Altså er de hverandres additive invers, 
og derfor må $(-1)\cdot (-1)=1$.
\end{ex}


\begin{ex}
Du opererer med et tallmengde basert på $\Z$ når du ser på klokken. 
Dersom klokken er ti om morgenen, 
og du skal gå hjem fra gløs om syv timer, 
får du det relevante klokkeslettet ved å regne ut
\[
10+7=5.
\]
Dette kalles \defterm{klokkearitmetikk}, 
og tallmengdet heter $\Z_{12}$. 
Dette er ikke en kropp, 
men $\Z_{n}$ er dersom $n$ er et primtall. 
Den minste kroppen er $\Z_2$, 
og den har kun elementene 0 og 1.
Datamaskinen din er helt avhengig av vår forståelse av $\Z_2$ for  å fungere.
\end{ex}

\begin{tcolorbox}[title=Ordnet kropp,colback=blue!10]
En \defterm{ordnet kropp} er en kropp som er en ordnet mengde og i tillegg tilfredsstiller
\begin{itemize}
\item $x + y < x+ z$ dersom $y < z$
\item $xy > 0$ når $x > 0$ og $y > 0$ 
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

La oss nå ta en liten runde på de seks tallmengdene.

\section*{\LARGE Naturlige tall}

De naturlige tallene består av de tallene du bruker når du teller:
\[
\N=\{1, 2, 3...\}
\]
Studiet av $\mathbb N$ kalles tallteori.
Det finnes mange gode bøker om tallteori, 
men tallteori har ikke tradisjonelt vært pensum i 
den grunnleggende sivingmatematikken på Gløshaugen. 
De naturlige tallene utgjør en ordnet mengde, men ikke en kropp, 
for alle elementer i dette tallmengden mangler additiv invers, 
og de aller fleste mangler multiplikativ invers.

Levende vesener har nok brukt de første elementene i dette systemet 
siden lenge før H. Sapiens så dagens lys for omtrent tre hundre tusen år siden. 
\footnote{Vi er den eneste gjenlevende arten i vår genus (\say{Homo}), 
og noen av de andre artene 
(for eksempel H. neanderthalensis eller H. florensienis) 
har antagelig hatt høyt utviklede hjerner (neandertalerne hadde større hjerner enn oss), 
men ikke vårt velutviklede strupehode og effektive tarmsystem.
Derfor har de ikke kunnet kommunisere like presist som vi gjør, 
og følgelig har vi vært i stand til å utrydde dem, 
slik vi antagelig har gjort med så og si all megafauna utenfor det afrikanske kontinentet.}
Havørnen kan visst telle til tre. 
Johan Willgohs, zoolog og pioner innen rovfuglvern, 
oppdaget på sekstitallet at dersom havørnen observerte en, to eller tre mennesker gå inn i et observasjonstelt i nærheten av redet sitt, 
fór den derifra, betraktet teltet fra lang avstand, 
og kom ikke tilbake til redet før den hadde observert det samme antall mennesker forlate teltet. 
Hvis derimot fire mennesker gikk inn i teltet, 
gikk havørnen i surr, 
og vendte tilbake så snart den hadde sett tre mennesker forlate teltet.
Dette kunne man utnytte til å lure havørnen, 
slik at man fikk 
\href{https://www.uib.no/ka/50862/levde-med-ørn}{\color{blue}{observert den}}.
Det sies at Yamamanostammen i Brazil også kun opererer med de tre tallene  
\say{en}, \say{to} og \say{mange}.
\footnote{
Når David Attenborough i sin 13-episoders BBC-klassiker \say{Life on Earth} besøker hittil ukontaktede stammefolk på Papua Ny Guinea, 
filmes det når de forklarer hvordan de teller. 
De bruker fingrene på venstre hånd for en til og med fem, 
og så legger de høyre pekefinger på forskjellige steder på venstre arm for tall over dette - 
håndleddet betyr seks, underarmen syv, albuen åtte, øverst på biceps ni, skulder ti, og midt på halsen elleve.  
På samme måte som vi ville gjort, 
ler de og himler med øynene over den hvite manns dumskap når han ikke umiddelbart skjønner systemet og må få det forklart.
}


Et \defterm{primtall} er et tall som kun er delelig med 1 og seg selv, 
og som er større enn eller lik 2. 
En morsom sannhet som kan bevises (slå opp i en tilfeldig bok om grunnleggende tallteori) er:

\begin{tcolorbox}[ title=Aritmetikkens fundamentalteorem, colback=red!10]
Alle hele tall kan faktoriseres i primtall på en entydig måte.
\end{tcolorbox}
Det er fornuftig å definere at 1 ikke er et primtall, 
for ellers hadde ikke dette vært sant. 
Det er også mulig å bytte om på faktorenes orden, 
men dette ser vi åpenbart vekk fra.

\begin{ex}
$96=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$
\end{ex}

\begin{ex}
$51=3\cdot 17$
\end{ex}

\begin{ex}
$78=2 \cdot 3 \cdot 13$
\end{ex}

\begin{ex}
$91354=2 \cdot 45677$
\end{ex}

I matematikk er det stort sett slik at 
det ikke går an å forklare for lekfolk hva man forsker på om man driver med forskning.
Å forstå de uavklarte spørsmålene er ikke mulig uten mange års trening.
Men tallteori er til dels et unntak.
Det er for eksempel ingen som vet om alle partall kan skrives som en sum av to primtall.

\section*{\LARGE Hele tall}
Det er ofte slik at nye tallmengder lages dersom man mangler noen tall i det tallmengdet man har. De hele tallene
\[
\Z=\{0, 1, -1, 2, -2...\}
\]
er et godt eksempel på dette. 


\begin{ex}
Amund har høns og kyr på gården sin. Vrang av vane vil han ikke si hvor mange dyr han har, 
men opplyser heller at de har 382 bein og 141 hoder. 
Hvor mange høns og hvor mange kyr har Amund?
Dersom $x$ er antall kyr og $y$ antall høns, 
sier Amund  at 
\begin{align*}
4x+2y=382 \\
x+y=141 
\end{align*}
som gir $x=50$ og $y=91$.
\end{ex}

Men hva om late mennesker med sans for systematikk begynner å studere slike likningssystemer?
Eidsnes, matematikklæreren min på gymnaset, 
var en lat og effektiv person. 
Han var glad i lage prøver med gamle oppgaver og nye tall, 
men han likte ikke å kontrollregne prøvene selv på forhånd
\footnote{En gang gav han oss ved en feiltagelse en oppgave om en trekant der hjørnene lå på en rett linje.},
og dersom Amund i en slik oppgave fra hans hånd hadde opplyst at dyrene hadde for eksempel nitti hoder og fire hundre bein, 
ville likningssystemet blitt
\begin{align*}
4x+2y&=400 \\
x+y&=90
\end{align*}
og løsningen vært $x=110$ og $y=-20$. 
Her  har vi et matematisk problem der alle parametre i det oppstilte problemet er naturlige tall, 
mens løsningen ikke er det.

De hele tallene er ikke så gamle,
og oppsto visst på liknende vis i forbindelse med løsning av polynomlikninger. 
For eksempel har polynomlikningen
\[
x^2+3x+2=0
\]
positive koeffisienter, 
men ingen positive løsninger.
Akkurat som $\N$, er $\Z$ ordnet, men ikke en kropp, 
for de aller fleste elementene mangler multiplikativ invers.


\section*{\LARGE Rasjonale tall}

De rasjonale tallene, $\Q$, altså alle brøker
\[
\frac{m}{n}
\]
der $m$ og $n$ er hele tall,
er mye eldre enn de hele tallene. 
Å dele tre kjøttstykker likt mellom fem mennesker har nok vært en problemstilling lenge før skriftsystemer oppsto. 
Denne tallmengden er en ordnet kropp,
men har noen alvorlige defekter:
Det mangler noen viktige tall!

\begin{ex}
Det finnes ingen hele tall slik at 
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}.
\]
Dette kan vi bevise som følger. 
Anta at det finnes hele tall $m$ og $n$ slik at likningen over holder.
Vi kan anta at $m$ og $n$ ikke har noen felles faktorer, 
for hvis de hadde hatt det, 
kunne vi bare forkortet brøken til de ikke lenger hadde det. 
Vi ganger nå hele likningen med $n$,
og kvadrerer, slik at vi får
\[
2n^2=m^2.
\]
Av denne likningen ser vi at $m^2$ må være et partall. 
Men dersom $m^2$ skal være et partall, 
må jo $m$ være et partall, 
og dette betyr at $m^2$ må være delelig med fire. 
Dette betyr at $m^2/2$ er et partall, 
og hvis vi skriver
\[
n^2=\frac{m^2}{2},
\]
ser vi at $n^2$ er et partall, 
på da må $n$ være et partall. 
Men nå har vi oppnådd en selvmotsigelse. 
Vi vet jo at det må være mulig å velge $m$ og $n$ uten felles faktorer, 
og nå viser det seg at 2 må være en felles faktor allikevel.
Med andre ord er det noe som er galt her. 
Det som er galt, 
er antagelsen om at man i det hele tatt kan skrive
\[
\sqrt{2}=\frac{m}{n}
\]
for hele tall $m$ og $n$.
\end{ex}

Eksemplet over illustrerer at dersom du har et kvadrat med sidekant 1, 
finnes det ikke noe rasjonalt tall som beskriver diagonalens lengde. 
Majoriteten av alle mennesker på jorden trenger matematikk først og fremst som et redskap for presis kvantifisering av verden rundt oss,
så dette er rett og slett ikke bra nok. 
Eksemplet over har vært kjent for menneskeheten i flere tusen år. 
Det er lett å utvide argumentet til å vise at for eksempel $\sqrt[3]{2}$
også ikke kan skrives som en brøk. 
De aller fleste tall kan faktisk ikke skrives som en brøk, 
se Rudin kap. 1. 

\section*{\LARGE Reelle tall}

Vi er enige om at det burde finnes et tall for $\sqrt{2}$,
siden det er diagonalen i et kvadrat med sidekant en.
Men i $\Q$ finnes det altså ikke noe tall for denne lengden.

Georg Cantor var først ute med å publiserte en  ordentlig definisjon av $\R$ i 1871,
og vi skal ta en titt på hans konstruksjon i kapitlet om følger og rekker.
Richard Dedekind gjorde det samme på en litt annen måte,
og er i sin artikkel \say{Stetigkeit und irrationale Zahlen} (1872) 
veldig spesifikk på at han fikk det til
den 24. november 1858 etter lang tids tenking.  
Både Cantor og Dedekinds konstruksjoner er relativt intuitive,
men det er allikevel på sin plass med et sitat fra Walter Rudins klassiker fra 1953, 
\say{Principles of Mathematical Analysis}: \\

\say{
Experience has convinced me that it is pedagogically unsound (though logically correct) 
to start off with the construction of the real numbers from the rational ones.
}
\\

Nå var Walter Rudin en ganske grundig type, 
og i hans tid leste man bøker fra perm til perm. 
Denne boken er ikke skrevet for en publikum som avkrever
noen som helst form for stringens, 
så det går fint å hoppe over dette avsnittet om man synes det er uforståelig.  
Det er et interessant faktum at Isaac Newton publiserte Principia i 1687,
nesten to hundre år før noen skjønte hva reelle tall egentlig var.
\footnote{Så og si alle stringente beviser i differensial- og integralregning bygger
bygger på en presis definisjon av $\mathbb R$,
men Isaac Newton og Gudefred Leibniz gjennomskuet mye av differensial- og integralregningen
lenge før noen visste hva $\mathbb R$ var.}

La oss nå ta et illustrerende eksempel.

\begin{ex}
Vi studerer mengden av alle positive rasjonale tall $p$ slik at $p^2<2$. 
Denne mengden har ikke noe største element, 
for dersom du tar et tilfeldig element $p$ i mengden, 
og definerer 
\[
q = p + \frac{2-p^2}{a}
\]
er
\begin{align*}
q^2 =& \left(p + \frac{2-p^2}{a}\right)^2\\
=& p^2+  2p\frac{2-p^2}{a}+ \left(\frac{2-p^2}{a}\right)^2\\[2mm]
=& p^2+ \frac{1}{a}\left(2p(2-p^2)+ \frac{(2-p^2)^2}{a}\right)
\end{align*}
og vi ser at dersom $a$ velges stor nok, 
er $q^2<2$.

Mengden har heller ingen minste øvre skranke.
Alle rasjonale tall slik at $p^2>2$ er øvre skranker for mengden,
men vi kan gjenta resonnementet over, og 
danne
\[
q = p - \frac{p^2-2}{a}
\]
slik at
\begin{align*}
q^2 =& \left(p - \frac{p^2-2}{a}\right)^2\\
=& p^2-  2p\frac{p^2-2}{a} + \left(\frac{p^2-2}{a}\right)^2\\[2mm]
=& p^2- \frac{1}{a}\left(2p(p^2-2)- \frac{(p^2-2)^2}{a}\right)
\end{align*}
og likeledes se at dersom $a$ velges stor nok, 
får vi ${q^2>2}$.
Med andre ord: hvis du har en øvre skranke,
går det alltid an å finne en ny øvre skranke som er mindre.
\end{ex}


Dersom vi hadde hatt tilgang på $\sqrt{2}$ blant de
rasjonale tallene, 
hadde mengden i eksemplet over  hatt en minste øvre skranke, 
nemlig $\sqrt{2}$.

Grunnideen i Dedekinds konstruksjon er å identifisere $\sqrt{2}$ 
med et par av mengder $A$ og $B$ der 
\[
A= \text{alle positive rasjonale tall $p$ slik at $p^2<2$} 
\]
og
\[ 
B= \text{alle positive rasjonale tall $q$ slik at $q^2>2$}
\] 
Vi tenker på $\sqrt{2}$ som et punkt der vi kapper den positive 
rasjonale tallinjen 
\footnote{Man konstruerer de positive reelle tallene først, 
og så bekymrer man seg for de negative når man har konstruert de positive.}
i to, og skriver 
\[
\mathcal A=A|B.
\]
Et slikt par med mengder kalles et dedekindsk snitt
\footnote{Snitt er et litt gammeldags ord, 
og et mer moderne valg ville kanskje vært \say{klipp}, \say{kutt} eller \say{kapp}.}
og er definert som følger: 
\begin{tcolorbox}[title=Dedekindske snitt,colback=blue!10]
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/L1030108}
Et snitt $\mathcal A=A|B$  er to rasjonale tallmengder $A$ og $B$ som tilfredsstiller
\begin{itemize}
\item $A\neq \emptyset$ og  $B\neq \emptyset$
\item $A \cap  B= \emptyset$
\item $A \cup B= \mathbb Q$
\item $a \in A$ og $b \in B$ impliserer $a<b$
\item $A$ har ikke noe største element
\end{itemize}
\includegraphics[scale=.16]{../figurer/L1030108}
\end{tcolorbox}



Siden $A$ er en del av $\mathbb Q$ og $B$ er resten av $\mathbb Q$
og alle nå har  skjønt hva et snitt er, 
kaller vi opp snittet $\mathcal A$ etter mengden $A$ i paret $A|B$;
referansen til $B$ er overflødig.
Vi er også kun interessert i hvorvidt et rasjonalt tall er et element i $A$,
så $B$ er egentlig bare med helt i starten for å med for å hjelpe intuisjonen igang.

Dersom  $\mathcal S$ og $ \mathcal T$ er snitt,
kan vi definere  $\mathcal S + \mathcal T$ på følgende vis.  
Det er ikke så vanskelig å vise at 
mengden 
\begin{align*}
V=\;&\text{alle rasjonale tall på formen $v=s+t$}\\
&\text{der $s \in S$ og $t \in T$}
\end{align*}
tilfredsstiller kriteriene for den nederste mengden i definisjonen av snitt.
Vi kan derfor definere 
\[
\mathcal S + \mathcal T=\mathcal V
\]
og tilsvarende for multiplikasjon.
Vi sier at $\mathcal S < \mathcal T$ dersom $S\subset T$.
Det er nå en litt kjedelig rutineoperasjon 
å sjekke at alle aksiomene for ordnede kropper er tilfredsstilt.
Det som derimot er morsomt, 
er å si at $\mathbb R$ er mengden av alle dedekindsnitt og at  

\begin{tcolorbox}[title=Minste-øvre-skranke-egenskapen!,colback=red!10]
Alle øvre begrensede delmengder av $\R$ har en minste øvre skranke.
Alle nedre begrensede delmengder av $\R$ har en største nedre skranke.
\end{tcolorbox}

Dette følger så og si av definisjonen av snitt. 
Anta at vi har en samling snitt som er begrenset ovenfra.
Det er nå lett å konstruere en minste øvre skranke.
La $S$ være unionen av alle rasjonale tall i alle nedre mengder i alle snitt.
Hvis du klarer å se at $\mathcal S$ er en minste øvre skranke for samlingen, 
er du i mål.

\begin{tcolorbox}[title=For de interesserte]
Du finner hele konstruksjonen i Rudin og her :\\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4101/2020h/diverse/pugh.pdf}\\
I Rudin finnes et par andre referanser til bøker som også går gjennom hele greia i detalj. 
Her er en skikkelig rar måter å gjøre det på:\\
\url{https://www.math.ntnu.no/seminarer/perler/2016-04-15_getreal.pdf}
\end{tcolorbox}

Til slutt to formaliteter.
Dersom $a<b$, skriver vi
\[
(a,b)
\]
for mengden av alle reelle tall større enn $a$ og mindre enn $b$. 
Dette kalles et \defterm{åpent intervall}. 
Vi skriver
\[
[a,b]
\]
for mengden av alle relle tall større enn eller lik $a$ og mindre enn eller lik $b$. 
Dette kalles et \defterm{lukket intervall}.

\section*{\LARGE Komplekse tall}

\begin{tcolorbox}
Komplekse tall er gjennomgått i mange bøker. 
Noen eksempler er:
\begin{itemize}
\item Ahlfors kap. 1
\item Adams appendiks 1
\item Kreyszig kap. 13
\end{itemize}
\end{tcolorbox}

De komplekse tallene, $\mathbb C$, 
er et tallmengde som i likhet med negative tall oppsto i forbindelse med løsning av polynomlikninger. 
Likningen 
\[
x^2+1=0
\]
har ingen løsning blant noen av de foregående tallmengdene, 
og derfor har man kommet til at det er best å definere et helt nytt tall:

\begin{tcolorbox}[ title= Den imaginære enheten $i$,colback=blue!10]
\[
i^2=-1
\]\end{tcolorbox}
\noindent Det kunne vært fristende å 'løse' likningen $x^2+1=0$ for $x$, og definere
\[
i=\sqrt{-1}.
\]
Men vi må være litt forsiktige med denne strategien. 
Regneregelen
\[
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}
\]
gjelder ikke når både $a$ og $b$ er negative tall. 
Dette vises av følgende klassiske eksempel:
\begin{align*}
1&=(-1)\cdot(-1)\\&=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}\\&=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{ -1}=i^2=-1.
\end{align*}
Men vi skal allikevel tillate oss å bruke det nye tallet $i$ til å skrive kvadratroten av negative tall på en pen måte:
\begin{equation*}
\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{(-1)}=\pm2i.
\end{equation*}



\begin{ex}
Løser vi likningen
\[
x^2+x+1=0
\]
gir annengradsformelen
\[
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
at
\[
x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i. \qedhere
\]
\end{ex}


Eksemplet over inspirerer oss til å definere

\begin{tcolorbox}[ title= Komplekse tall på kartesisk form,colback=blue!10]
\[
z=a+bi
\]\end{tcolorbox}
Her er $a$ og $b$ reelle tall. 
De kalles henholdsvis \emph{realdelen} og \emph{imaginærdelen} til $z$,
og skrives gjerne $\text{Re}(z)$ og $\text{Im}(z)$. 
Mengden av alle komplekse tall skrives $\mathbb C$. 
De reelle tallene er en delmengde av de komplekse tallene,% $\R \subset \C$, 
for dersom $b=0$, er $z$ reell.
De komplekse tallene danner en kropp, 
men den er ikke ordnet,
for det går ikke an å lage en regel som tilfredsstiller aksiomene for orden. 
Litt folkelig kan man si at det ikke går an å sortere komplekse tall etter størrelse på en fornuftig måte.


Et komplekst tall likner på mange måter en vektor i $\R^2$. 
Vi kan tenke at realdelen $a$ og imaginærdelen $b$ er komponenter i en vektor,
og avmerke $z$ i \emph{det komplekse planet}. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[->] (0,-4) -- (0,6);
\node[anchor=east] at (9.8,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,6.8) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (2,3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=2+3i$};
\filldraw (2,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$\overline z=2-3i$};
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$w=4+5i$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (1,0) to[bend right=20] (1,4);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\\
{\small \textit{Det komplekse planet}}
\end{center}
%Nå tenker du sikkert at det er på sin plass å sjekke om vektorromsaksiomene holder for de komplekse tallene. 
%Det er en helt riktig ting å gjøre, $\mathbb C$ er et vektorrom, 
%og de vanlige geometriske operasjonene man gjør på vektorer i $\R^2$, 
%fungerer fint på komplekse tall. 

La $z=a+bi$ og $w=c+di$ være komplekse tall. 
Regneregler for komplekse tall følger regnereglene for reelle tall, 
men du må huske at $i^2=-1$.
Vi ganger sammen komplekse tall slik:
\begin{align*}
z\cdot w&=(a+bi)(c+di)\\
&= ac+bci+adi+bdi^2\\ 
&=ac-bd+(bc+ad)i
\end{align*}
og deler dem slik:
\begin{align*}
\frac{z}{w}&=\frac{a+bi}{c+di}= \frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}\\[4pt]
&=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2} 
\end{align*}
Addisjon og subtraksjon er trivielle operasjoner.

\begin{tcolorbox}[ title= Regneregler for kartesisk form,colback=red!10]
La $z=a+bi$ og $w=c+di$ være komplekse tall. Vi har  
\begin{align*}
z+w&=a+c+(b+d)i \\[4pt]
z-w&=a-c+(b-d)i \\[4pt]
z\cdot w&=ac-bd+(bc+ad)i\\[4pt]
\frac{z}{w}&=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}
\end{align*}
\end{tcolorbox}


\noindent Merk at komplekse tall legges sammen komponentvis akkurat som vektorer i $\R^2$.
Multiplikasjon og divisjon har ingen tilsvarende operasjoner i $\R^2$ i 'vanlig bruk'.


\begin{ex}
La $z=2+3i$ og $w=4+5i$. 
\begin{align*}
z+w&=2+4+(3+5)i=6+8i \\[7pt]
z-w&=2-4+(3-5)i=-2-2i \\[7pt]
z\cdot w&=(2+3i)\cdot(4+5i)\\&=2\cdot 4+3\cdot 4i+2\cdot 5i+3\cdot 5 i^2\\&=8-15+(12+10)i=-7+22i.\\[7pt]
\frac{z}{w}&=\frac{2+3i}{4+5i}=\frac{2+3i}{4+5i}\cdot\frac{4-5i}{4-5i}\\&=\frac{8+15+(12-10)i}{16+25}=\frac{22}{41}+\frac{2}{41}i. \qedhere
\end{align*}
\end{ex}
Når vi deler et komplekst tall på $z=a+bi$, 
ganger vi oppe og nede med \emph{$z$ konjugert}:
\[
\overline z =a-bi
\]
Merk at $z\overline z=a^2+b^2$ er et reelt tall.

\begin{tcolorbox}[ title= Regneregler for konjugert,colback=red!10]
La $z=a+bi$ og $w$ være komplekse tall. Noen regneregler er:
\begin{align*}
\overline{z+w}&=\overline{z} + \overline{w} \hspace{.8cm}
\overline{z-w}=\overline{z} - \overline{w} \\
\overline{z\cdot w}&=\overline{z} \cdot \overline{w} \hspace{1.25cm}
\overline{z/ w}=\overline{z} / \overline{w} \\
z+\overline{z}&=2a  \hspace{1.43cm}
z-\overline{z}=2bi  \hspace{1.43cm}
\end{align*}
\end{tcolorbox}




La $r$ være avstanden fra det komplekse tallet ${z=a+bi}$ til origo, 
og la $\theta$ være vinkelen $z$ gjør med den reelle aksen. 
Noen enkle geometriske betraktninger gir 

\begin{tcolorbox}[ title= Den ene veien,colback=red!10]
\begin{align*}
a=\text{Re}(z) = r\cos \theta \\
b=\text{Im}(z) = r\sin \theta
\end{align*}
\end{tcolorbox}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-5,0) -- (8,0);
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,6);
\node[anchor=west] at (9,0) {\footnotesize $\text{Re}(z)$};
\node[anchor=south] at (0,7) {\footnotesize $\text{Im}(z)$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
\filldraw (4,5) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$z=a+bi$};
%\filldraw (0,1) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{e}_2$};
%\filldraw (-1,-2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{u}$};
%\filldraw (3,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$\V{v}$};
%\filldraw (1,4) circle [radius=3pt] node[anchor=south] {$A \V{e}_1$};
%\filldraw (3,-3) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{e}_2$};
%\filldraw (-7,2) circle [radius=3pt] node[anchor=east] {$A \V{u}$};
%\filldraw (9,6) circle [radius=3pt] node[anchor=north] {$A \V{v}$};
\draw[-] (0,0) to (4,5);
\node[anchor=south] at (2,3) {\footnotesize $r$};
\draw (3,0) arc (0:51:3);
\node[anchor=south] at (3.3,1.1) {\footnotesize $\theta$};
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (0,1) to[bend right=30] (3,-3);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (-1,-2) to[bend right=20] (-7,2);
%\draw[->,shorten <=4pt,shorten >=4pt] (3,2) to[bend left=20] (9,6);
\end{tikzpicture}
\\
{\small \textit{Polare koordinater}}
\end{center}
De inverse trigonometriske funksjonene kan bli litt forvirret på om
$z$ ligger til høyre eller venstre for den imaginære aksen.
Derfor må man være litt forsiktig når man går motsatt vei.
Merk også at vi kan legge til vilkårlige multipler av $2\pi$ overalt, 
samt at for $z=0$ er ikke $\theta$ definert.


Vi skriver ellers
\[|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}\]
for avstanden fra $z$ til origo. 
Dette tallet kalles gjerne \emph{absoluttverdi} eller \emph{modulus} til $z$. 
Det er praktisk å bruke den samme notasjonen som for absoluttverdien til et reelt tall,
siden $|z|$ blir den reelle absoluttverdien 
\[
|z|=
\begin{cases} z \quad &z\geq 0 \\ -z \quad &z< 0 \end{cases} 
\]
 dersom $z$ er reell.

Vinkelen 
\[
\theta= \arg z
\] 
kalles \emph{vinkelen} eller \emph{argumentet} til $z$. 
Følgende ulikhet kalles \defterm{trekantulikheten}, 
siden de involverte størrelsene er sidene i en rettvinklet trekant. 

\begin{tcolorbox}[ title= Trekantulikheten,colback=red!10]
La $z$ og $w$ være komplekse tall. Da gjelder at
\[
|z+w|\leq |z| + |w|
\]
\end{tcolorbox} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.9, thick]
% \draw[blue] (-2,0) circle (2cm) ;
%   \draw[red] (0,-1) circle (1.5cm);


\node[above] at (7.5,2){$|w|$};
\node[below] at (4,.7){$|z|$};
\node[below] at (4,4){$|z+w|$};

\draw[-] (0,1) -- (7,1);

\draw[-] (7,1) -- (7,4.5) ;

\draw[-] (0,1) -- (7,4.5) ;

\end{tikzpicture}
\end{center}


\section*{\LARGE  $\mathbb{R}^n$ og $\mathbb{C}^n$}

Vi definerer   $\mathbb{R}^n$ som mengden av alle vektorer 
$(x_1,x_2, \cdots, x_n)$ der $x_k\in \mathbb R$,
og $\mathbb{C}^n$ som mengden av alle slike vektorer med $x_k\in \mathbb C$.

Skalarproduktet mellom vektorer i $\mathbb R^n$ er 
\[
\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{k=1}^n x_ky_k
\]
og den pytagoreiske lengden er gitt ved 
\[
\|\mathbf x\| = \sqrt{\mathbf x \cdot \mathbf x}
\]
For $\mathbb C^n$ er vi mest interessert i  
\[
\overline{\mathbf x} \cdot \mathbf y = \sum_{k=1}^n \overline{x_k}y_k.
\]
Mer om dette senere. 



\section*{\LARGE Kvaternioner}

\section*{\LARGE Grupper}

\section*{\huge Funksjoner}

Euler mente at en funksjon var det samme som en formel, 
for eksempel 
\[
y=x^2
\]
eller noe liknende. 
Han aksepterte ikke slikt som for eksempel
\[
f(x)=\begin{cases} \quad x \quad  &x>0 \\ 1+x \quad  &x\leq 0 \end{cases}
\]
men han modererte seg visst på sine eldre dager. 

\begin{tcolorbox}[title=Viktig!,colback=blue!10]
En funksjon $f: A \to B$ er en regel som for hvert element i mengden $A$
tilordner ett og bare ett element i mengden $B$. 
\end{tcolorbox}

Vi snakker gjerne om en funksjon \say{på $A$}. 
Uttrykket $A \to B$ leses \say{$A$ til $B$}, 
slik som byens busselskap.
Her er et par kommentarer:

\begin{itemize}
\item Vi skriver $y=f(x)$ for å signalisere at $y \in B$ er elementet som korresponderer til $x \in A$.

\item Mengden $A$ kalles \defterm{definisjonsmengden} til $f$.

\item Mengden $B$ kalles \defterm{verdimengden} til $f$.

\item De elementene i $B$ som kommer ut av  $f$ når du stapper inn hele $A$
skrives $f(A)$ og kalles \defterm{bildet} til $f$.
Vi kan ha $f(A) \subset B$ eller $f(A)=B$.

\item Ett og bare ett element i $B$ skal spesifiseres for hvert element i $A$!
\end{itemize}

Så og si all matematikk du skal lære de neste to årene, 
handler om funksjoner. 
Funksjonsregelen spesifiseres av en matematiske likning 
eller en tabell eller en graf.


\begin{ex}
Funksjonen $f:\R\to \R$ gitt ved
\[
f(x)=x^2
\]
tar inn et reelt tall og kvadrerer det. 
\end{ex}


\begin{ex}
Koordinatsystemet vi bruker i dag, 
med $x$- og $y$-aksen, 
kalles \defterm{det kartesiske koordinatsystem},
etter Rene Descartes, 
som innførte det i en  bok i 1637. 
En funksjon kan beskrives av en graf i et koordinatsystem, 
men det er noen føringer på hvordan grafen kan se ut. 
Siden det kun skal være en funksjonsverdi for hvert element i definisjonsmengden,
kan ikke grafen skjære en gitt vertikal linje mer enn en gang. \qedhere
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.42]
\draw[->] (-4,0) -- (7,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,6);
\node[anchor=east] at (9.8,0) {\footnotesize $x$};
\node[anchor=south] at (0,6.8) {\footnotesize $y$};
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}
\draw (\x,5pt) -- (\x,-5pt);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5}
\draw (5pt,\y) -- (-5pt,\y);
%\filldraw (2,4) circle [radius=3pt] node[anchor=west] {$f$};
\draw[-] (-4,1) -- (7,5);
\node at (2,4) {$f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{ex}

\begin{ex}
En artigklassiker er $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f(x)=\begin{cases} 1 \quad \text{rasjonale}\; x \\ 0 \quad \text{irrasjonale}\; x \end{cases}\qedhere
\]
\end{ex}

Definisjonsmengden kan ikke inneholde elementer som regelen ikke greier å tilordne en funksjonsverdi til. 
Merk forskjellen på funksjonen $f$, 
som er en pakke med definisjonsmengde, 
verdimengde og funksjonsregel,
og funksjonsverdien  $f(x)$, 
som er  det elementet i $B$ som korresponderer til $x$.

\begin{ex}
Det gir ingen mening å snakke om funksjonen $f:\R \to \R$ gitt ved
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
for denne regelen klarer ikke spesifisere et element til $x=0$. 
Det går derimot fint å prate om funksjonen ${f:\R-\{0\} \to \R}$ gitt ved
\[
f(x)=\frac{1}{x}
\]
eller funksjonen $f:(0,1) \to \R$ gitt ved
\[
f(x)=\frac{1}{x} \qedhere
\]
\end{ex}



Dersom ikke definisjonsmengden er eksplisitt definert, 
er det underforstått hva den er.
og det hender vi bruker teknisk gale uttrykksmåter, 
som \say{funksjonen $f(x)$}.

\begin{ex}
Funksjonen 
$
f(x)=\frac{1}{x}
$
tar inn et reelt tall og inverterer det. 
Nå er det underforstått at definisjonsmengden er et eller annet som ikke inneholder 0.
\end{ex}



\begin{ex}
Et polynom av orden $n$ er en funksjon med funksjonsuttrykk
\[
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.
\]
Studiet av polynomer er et av de eldste i matematikkens historie, 
antagelig noen tusen år gammelt. 
René Descartes oppfant standardnotasjonen vi bruker i dag, 
med koeffisienter hentet fra begynnelsen av alfabetet, 
og variable fra slutten av alfabetet.
\end{ex}

Stort sett alle funksjoner du studerte på skolen, 
var av typen fra $\mathbb R \to \mathbb R$.
Vi skal studere mange andre typer funksjoner. 

\begin{ex}
Funksjonen $f:\N \to \N$ gitt ved 
\[
f(n)=n!=n\cdot (n-1) \cdots 3 \cdot 2
\]
vokser fryktelig fort med $n$. 
Vi skal få bruk for denne funksjonen flere ganger dette semesteret.
\end{ex}


\begin{ex}
Funksjonen $f:\mathbb R^m \to\mathbb R^n$ gitt ved 
\[
f(\mathbf x)=A\mathbf x
\]
der $A$ er en $m\times n$-matrise
og $\mathbf x$ er en $n\times 1$-søylevektor, 
er et eksempel på noe som kalles en lineæravbildning. 
Dette betyr at dersom $\mathbf x$ og $\mathbf y$ er vektorer og $a$ og $b$ tall,
er
\[
f(a\mathbf x+b\mathbf y)=af(\mathbf x)+bf(\mathbf y) \qedhere
\]
\end{ex}

\begin{ex}
Funksjonen $z:\mathbb [0,2\pi) \to\mathbb \mathbb C$ gitt ved 
\[
f(\mathbf x)=\cos t+ i\sin t
\]
er en parametrisering av enhetssirkelen i det komplekse planet.
\end{ex}

I disse eksemplene var definisjonsmengden en tallmengde. 
Men definisjonsmengden kan også være andre ting, 
for eksempel en mengde av funksjoner. 


\begin{ex}
Det ubestemte integralet 
\[
\int_a^bf(x)\; dx
\]
tar inn 
er i seg selv en funksjon som tar inn en funksjon og gir ut et tall. 
Denne typen funksjon kalles gjerne funksjonal, 
for å i språket kunne holde styr på hva som er funksjonen (det bestemte integralet) 
og elementene i definisjonsmengden (funksjonen som integreres).
\end{ex}

\begin{ex}
Vi kan også definere en funksjonal som tar inn en funksjon og gir ut funksjonens stigningstall i et punkt
\[
T(f)=f'(a) \qedhere
\]
\end{ex}


\begin{ex}
Verdimengden kan også være en mengde av funksjoner.
Det bestemte integralet 
\[
\int_0^x f(t)\; dt
\]
der $x$ er en variabel, 
tar inn en funksjon og gir ut en annen. 
Denne typen funksjon kalles gjerne operator.
Derivasjonsoperatoren 
\[
T(f)=f'(x)
\]
er et annet eksempel. 
\end{ex}

\begin{ex}
Definisjonsmengden kan også være noe helt annet, 
for eksempel utfall i et utfallsrom $S$. 
Sannsynlighetsfunksjonen er en benevningsløs funksjon 
$P$ som tilordner en sannsynlighet $p$ til hvert utfall $A$ i $S$:
\begin{equation*}
P(A)=p
\end{equation*}
For en sannsynlighetsfunksjon setter vi opp 
\begin{tcolorbox}[title=Kolmogorovs tre aksiomer,colback=blue!10]
 \begin{itemize}
 \item $0 \leq P(A) \leq 1$ for alle $A \in S$
  \item $P(\bigcup_i A_i )=\sum_i P(A_i)$ for alle $A_i \in S$
  \item $P(S)=P\left(\bigcup_IA_{i}\right)=\sum_i P(A_i)=1$
 \end{itemize}
 \end{tcolorbox}
Disse tre kravene sier at sannsynligheter må være mellom null og en, 
at sannsynligheter for disjunkte utfall kan legges sammen, 
og at alle sannsynligheter i utfallsrommet må summere til en (noe må skje).
Fra disse aksiomene kan man for eksempel bevise at 
\[
P\left(\overline A\right)=1-P(A)
\]
og at  
\[
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
\]
dersom $A$ og $B$ ikke er disjunkte.
\end{ex}


\section*{\LARGE Injektivitet og surjektivitet}
I mange tilfeller er vi interessert i å vite om det la seg gjøre å finne en funksjon som går motsatt vei av $f$.

\begin{tcolorbox}[title=Spørsmål,colback=green!10]
Dersom vi har 
\[
f: A\to f(A)
\] 
gitt ved for eksempel $y=f(x)$,
er det mulig  å finne en funksjon 
\[
g: f(A)\to A
\] 
som sender alt i retur, 
altså at  
\[
x=g(y) \quad \text{for alle} \quad y\in f(A)\; ?
\]
\end{tcolorbox}

Denne kalles (dersom den eksisterer) den inverse funksjonen,
og vi skriver \footnote{ikke forveksle med $1/f$, som er noe helt annet unntatt når ${f(x)=x}$}
\[
g=f^{-1}
\]
Siden $x=g(y)$ må være entydig bestemt, 
ser vi umiddelbart at det ikke er mulig å definere $f^{-1}$ dersom $f(x_1)=f(x_2)$ for to elementer $x_1$ og $x_2$ i $A$.
Dette motiverer føgende definisjon.

\begin{tcolorbox}[title=Injektivitet,colback=blue!10]
En funksjon $f: \; A \to B$ er \defterm{injektiv} dersom $f(x_1)=f(x_2)$ impliserer at $x_1=x_2$.
\end{tcolorbox}

Dersom $f:A\to f(A)$ er injektiv, 
kan vi alltid løse likningen $y=f(x)$ for $x$. 
Da får vi en likning på formen $x=g(y)$.
Dersom vi setter $g$ inn i $f$ eller $f$ inn i $g$, får vi
\[
g(f(x))=f(g(x))=x.
\]

\begin{ex}
La $f: \R \to \R$ være gitt ved 
\[
f(x)=x^3.
\]
Da er 
\[
f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \qedhere
\]
\end{ex}



\begin{ex}
La $f: \R \to \R$ være gitt ved 
\[
f(x)=x^2.
\]
Denne funksjonen har ingen invers.
Den er ikke injektiv, 
siden $f(-x)=f(x)$ for alle $x \in \mathbb R$
\end{ex}

\begin{ex}
La $f: \R \to \R$ være gitt ved 
\[
f(x)=x^2+1.
\]
Denne funksjonen har ingen invers.
Den er ikke injektiv, 
for $f(-x)=f(x)$ for alle $x$.
\end{ex}

Hvorvidt $f$  injektiv, avhenger både av funksjonsuttrykket og definisjonsmengden. 

\begin{ex}
La $f: [0,1] \to [1,2]$ være gitt ved 
\[
f(x)=x^2+1.
\]
Denne funksjonen har den inverse funksjonen ~$g: [1,2] \to [0,1]$
gitt ved 
\[
g(x)=\sqrt{x-1}. \qedhere
\]
\end{ex}



\begin{tcolorbox}[title=Surjektivitet,colback=blue!10]
En funksjon $f:A \to B$ er \defterm{surjektiv} dersom det for hver $y\in B$ finnes en $x$ slik at $f(x)=y$.
Dersom $f$ er både injektiv og surjektiv, 
sier vi at $f$ er \defterm{bijektiv}.
\end{tcolorbox}


\begin{ex}
Funksjonen  $f: \R \to \R$ gitt ved
\[
f(x)=x^2+1
\]
er ikke surjektiv, 
siden $f(x)\geq 1$ for alle $x$. 
\end{ex}


\begin{ex}
Funksjonen  $f: [0,1] \to \mathbb R$  gitt ved
\[
f(x)=x^2+1
\]
er heller ikke surjektiv.
\end{ex}


\begin{ex}
Funksjonen  $f: [0,1] \to [1,2]$  gitt ved
\[
f(x)=x^2+1
\]
er derimot surjektiv.
\end{ex}

\begin{ex}
En funksjon $f: A \to f(A)$ er per definisjon surjektiv. 
\end{ex}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{../figurer/L1030108-4}
\end{center}
%\begin{thebibliography}{9}
%
%\bibitem{halmos} 
%Halmos, Paul R.
%
%\textit{Naive Set Theory} 
%
%Springer-Verlag New York 1974
%
%
%\bibitem{rudin} 
%
%Rudin, Walter
%
%\textit{Principles of Mathematical Analysis, 3. utgave}
%
%McGraw Hill, 1976
%
%\end{thebibliography}


\kapittelslutt
