\input{preamble}

\title{RESYME AV UKE 6-10?}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Dersom $f$ er et skalarfelt med $n$ uavhengige variable, 
skriver vi 
\begin{align*}
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_kx_l}
\end{align*}
for den dobbelderiverte til $f$
med hensyn på først $x_l$ og så $x_k$. 

\begin{oppgave}{18}
	Finn de dobbelderiverte til $u$ over. 
	Hvor mange er det?
\end{oppgave}

Likningen 
\begin{align*}
	\Delta f = \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2} = 0
\end{align*}
kalles \textbf{laplaces likning} og funksjoner som passer i den 
kalles \textbf{harmoniske funksjoner}. 
Disse dukker opp overalt i fysikk.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function}} 

\begin{oppgave}{19}
	Er $u$ i oppgave 11 en harmonisk funksjon?
\end{oppgave}


Det er for øvrig lett å produsere harmoniske funksjoner av to variable - 
bare splitt en deriverbar funksjon av en kompleks variabel i real- og imaginærdel og så har du en.

\begin{oppgave}{20}
	Vis at disse er harmoniske
	dersom du antar at du kan derivere dem fritt. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.37]{../figurer/L1001032.jpg}
\end{center}

\end{document}
