\input{preamble}

\title{OPPGAVER TIL UKE 2-5}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

De første fire ukene i dette emnet handler om 
\textbf{flervariabel kalkulus}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariable_calculus}
} 
Vi skal begynne med 
funksjoner fra 
$\mathbb{R}^2$ til $\mathbb{R}$. 
Vi skriver
\begin{align*}
	x = 
	\begin{pmatrix}
		x_1 \\
		x_2
	\end{pmatrix}
\end{align*}
for den variabelen som skal inn i funksjonen og $y$ for den variabelen som kommer ut, 
slik at 
\begin{align*}
	y = f(x).
\end{align*}
I begynnelsen bør du tenke på $f$ som et terreng 
og $x$ som gps-koordinatene i punktet der du står. 
Funksjonsverdien $f(x)$ angir høyden over havet,
mens $x_1$ er lengdegrad (altså hvor langt øst) 
og $x_2$ breddegrad (hvor langt nord).\footnote{
Noen foretrekker å la koordinatene hete $(x,y)$
og høyden over havet $z$ og så skrive 
\begin{align*}
	z = f(x,y),
\end{align*}
men viktige formler blir stort sett noe mer klønete å skrive ned på denne måten. 
}


\begin{oppgave}{1}
Et generelt førsteordens polynom gitt ved
\[
    f(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_0.
\]
der $a_1$, $a_2$ og $a_0$ er konstante parametre.    
Grafen til denne  blir alltid et plan i $\mathbb R^3$.
Hva er normalvektoren til planet?
Hvor skjærer planet $y$-aksen? 
Hvor skjærer det $x$-planet?
\end{oppgave}

\begin{center}\includegraphics[scale=.35]{../figurer/3N5F6835}\end{center}

\clearpage

\section*{NIVÅKURVER}

Dette er enklest å komme igang med om du er vant til å lese kart.
Et kart er en todimensjonal representasjon av et tredimensjonalt terreng,
og med litt trening leser man dette omtrent like godt som om man så terrenget med sine egne øyne,
eller faktisk bedre.\\
  \includegraphics[scale=.45]{../figurer/kart}
De brune linjene på kartet kalles \textbf{ekvidistanselinjer} eller \textbf{høydekoter}.
Disse forteller noe om høyden over havet;
dersom du følger en ekvidistanselinje,
går du hverken opp eller ned.
Den matematiske ekvivalenten kalles \textbf{nivåkurve}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Level_set}
}
Disse er gitt ved
\[
    c = f\left( x \right),
\]
og forskjellige verdier for $c$ gir forskjellige høyder over $ x$-planet.


\begin{oppgave}{2}
Skisser nivåkurvene til
\[
f(x)=x_1+2x_2
\]
\end{oppgave}



Et polynom i to variable er gitt ved
\[
p(x)=\sum_{k,m}a_{km}x_1^kx_2^m
\]
Dersom $k+m\leq n$ og $k+m=n$ for minst en kombinasjon av $k$ og $m$,
sier vi at polynomet har orden $n$.
Et generelt andreordens polynom er gitt ved
\[
    p( x)=a_{20}x_1^2+a_{11}x_1x_2+a_{02}x_2^2+a_1x_1+a_2x_2+a_0
\]
Nivåkurvene til andreordens polynomer er de berømte kjeglesnittene.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section}}
Parabelen ($x_2=x_1^2$) og sirkelen ($\| x\|=1$) kjenner du fra før.
Din daglige rutine er faktisk å reise rundt på et kjeglesnitt - 
jordens bane rundt solen er sånn omtrent en ellipse.
Ellipsen \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}} med halvakser $a$ og $b$ og sentrum i $s$
har likning
\[
\frac{(x_1-s_1)^2}{a^2}+
\frac{(x_2-s_2)^2}{b^2}=1
\]
\begin{comment}
og en hyperbel\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola} } tilfredsstiller
\[
\frac{x_1^2}{a^2}-
\frac{x_2^2}{b^2}=1
\]
\end{comment}
Finn  og skisser niv{\aa}kurvene til flatene gitt ved 

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{2}
$z=4x_1^2+5x_2^2$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{3}
$z=4x_1^2+8x_1+5x_2^2-10x_2+9$.
\end{oppgave}
\end{minipage}

\clearpage 

Den ideelle gasslov kan tenkes på som et andreordens polynom. 
Lover er en utledet regel i statistisk mekanikk,\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
og sier at i en ideell gass følger trykket $p$, temperaturen $T$
og volumet $V$ formelen
\[
pV=NkT,
\]
der
$k=1.380649 \cdot 10^{-23}$ J/K er Boltzmanns konstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}}
og
%\item[$R = $] $8.31446261815324$ J/mol K er den ideelle gasskonstant
%\item[$n$\hspace{3mm} ] er antall mol gassmolekyler \\(husk at $N=N_An$, der $N_A=6.02214076\cdot 10^{23}$/mol er Avogadros konstant)
$N$ er antall gassmolekyler.\footnote{Hvis man liker bedre statistisk mekanikk,
kan man skrive
\[
\frac{3}{2} \frac{pV}{N}=\frac{3}{2} k T=\frac{1}{2}m v^2
\]
der $v$ er forventningsverdien til den $\chi$-fordelte
partikkelhastigheten.\\\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution}
}
La oss for enkelhets skyld sette $Nk=1$ og skrive den ideelle gasslov slik:
\[
  T= f\left( p,V \right) = p V
\]
Siden både trykk og volum ikke kan være negative størrelser,
er det naturlig å tenke at $f$ er en funksjon fra
$(0,\infty) \times (0,\infty)$ til $(0,\infty)$.
I termodynamikk kalles nivåkurvene til $T$ \textbf{isotermer}
siden $T$ er konstant på dem.


\begin{oppgave}{4}
  Skisser isotermene til den ideelle gasslov,
  og 
  plot $T\left( p,V \right)$ i python.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{5}
Nivåkurvene til trykk kalles \textbf{isobarer}.
Hva er trykket på Steinkjer denne dagen?\footnote{\url{https://www.met.no/vaer-og-klima/meteorologens-prognosekart}}
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.85]{../figurer/isobar}
\end{center}



\clearpage

\section*{GRADIENTEN}

Vi har to uavhengige variable, 
og det er interessant å vite hvordan $f$ endres med hensyn på begge.
Derfor finnes det to deriverte.
De er
\[
    \frac{\partial f}{\partial x_1}
    =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2)}{h}
    \qquad
    \text{og }
    \qquad
    \frac{\partial f}{\partial x_2}
    =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2+h)-f(x_1,x_2)}{h}
\]
og uttales henholdsvis \say{$f$ derivert med hensyn på $x_1$ og $x_2$}.
Å partiellderivere er enkelt;
man finner $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ 
ved å betrakte $x_2$ som en konstant, 
og så derivere i vei med hensyn på $x_1$. 
Samme for $x_2$. 
Finn de partiellderiverte til

\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{6}
 $f( x)=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+x_1+x_2$.
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\begin{oppgave}{7}
$\displaystyle T(p,V) =pV$
\end{oppgave}
\end{minipage}

Vi setter de partiellderiverte sammen i enten en  
radvektor eller en søylevektor:
\[
    f' = 
    \left(  
        \frac{\partial f}{\partial x_1},
        \frac{\partial f}{\partial x_2}
    \right)
	\hspace{20mm}
	\nabla f = 
    \begin{pmatrix}
        \frac{\partial f}{\partial x_1} \\[2mm]
        \frac{\partial f}{\partial x_2}
	\end{pmatrix}
\]
Denne vektoren kalles
\textbf{gradientvektoren}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient}
} 
\footnote{
	OBS. Det er ikke alle tekster som er like nøye på 
	å skille mellom gradienten som rad og gradienten som kolonne.\\
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Del}
}
Det er lettest å forstå gradienvektoren om man liker å gå på ski,
for de partiellderiverte 
angir stigningen i koordinatretningene.\footnote{
	Det sies at skisportens vugge er et eller annet sted i  Telemark. Tøys og tull. Ski er en kinesisk oppfinnelse:\\
	\hspace{-1.5cm}
	\url{https://snl.no/ski}\\
	\hspace{-1.5cm}
	\url{https://secretsoftheice.com/news/2018/10/04/skis/}\\
	\hspace{-1.5cm}
	{\url{https://secretsoftheice.com/news/2021/10/05/the-best-preserved-pair-of-skis-from-prehistory/}}
}
Står du i et punkt og
peker skiene rett øst
er stigningen gitt ved
$\frac{\partial f}{\partial x_1}$
og peker du dem rett nord
er den gitt ved
$\frac{\partial f}{\partial x_2}$. 


\begin{oppgave}{8}
    Finn gradientvektorenen til funksjonene i oppgave 6 og 7.  
\end{oppgave}

Dersom du peker skiene i en annen retning enn øst eller nord,
finner du stigningen ved å prikke gradientvektoren
med en enhetsvektor i retningen til skiene;
dette kalles \textbf{retningsderivert}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative}
}

\begin{oppgave}{9}
Finn stigningen på fjellsiden $f( x)=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+x_1+x_2$ når du står i punktet $(1,2)$ og  skiene peker rett nordvest.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Hvilken vei må du peke skiene dersom du vil gå langs med en ekvidistanselinje?
Hva om du vil kjøre rett utfor så bratt som mulig? 
\end{oppgave}

Hvis du skal peke skiene i en retning som maksimerer stigningen, 
må du peke den i samme retning som gradienten, 
siden stigningen er skalarproduktet mellom gradienten og retningen på skiene. 
Så evaluerer gradienten i et punkt i $x$-planet,
får du altså både stigningen i koordinatretningene og den retningen i $x$-planet der stigningen er brattest.



\begin{center}\includegraphics[scale=.29]{../figurer/L1007196}\end{center}

\clearpage

\textbf{Tangentplanet}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent\#Plane}
} 
til $f$ i $a$ er
analogt til tangentlinjen du lærte på skolen
og har likning
\begin{align*}
	y = f(a) + f'(a)(x-a).
\end{align*}
Husk at $f'(a)$ er en radvektor og $x-a$ en kolonnevektor, 
så $f'(a)(x-a)$ er et matriseprodukt.  

\begin{oppgave}{10}
	Finn tangentplanene til 
	\begin{align*}
			f_1(x) = (x_1-1)^2 + x_2^2 - 4
		\hspace*{10mm}
		\text{og}
		\hspace*{10mm}
			f_2(x) = (x_1-4)^2 + (x_2-2)^2 - 3
	\end{align*}
	i punktet $(1,1)^T$.
	Tangentplanenes nullnivåkurver skjærer hverandre i ett punkt. 
	Hvilket?
\end{oppgave}

\begin{comment}

En viktig arbeidshest er \textbf{kjerneregelen}.\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule}
}
Beviset er for teknisk for dette kurset,
men med matrisemultiplikasjon blir regneregelen veldig enkel å skrive opp. 
La $x \in \mathbb{R}^m$,
$  f: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ og $  g: \mathbb R^n \to \mathbb R^p$,
og la $  h: \mathbb R^m \to \mathbb R^p$ være komposisjonen av $f$ og $g$:
\[
		h\left( x \right)=  g(  f\left( x \right))
\]
Da er $h'\left( x \right)$
gitt ved matriseproduktet
\[
	h'\left( x \right)=  g'\left( f \left( x \right) \right)   f'\left( x \right).
\]


Dersom $f$ har tre uavhengige variable
er det best å tenke tetthet, 
temperatur eller trykk i rommet.
Vi får nivåflater istedet for nivåkurver.

\begin{oppgave}{16}
	Et stearinlys står og brenner i origo. 
	La oss anta at temperaturen i rommet er gitt ved 
	\begin{align*}
		u(x) =
		\frac{1}{|x|}
	\end{align*}
	der $x \in \mathbb{R}^{3\times 1}$.
	Finn gradienten til $u$. 
	Hvilken retning peker den?
	Hvordan ser nivåflatene ut?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{17}
	En flue flyr langs den sirkulære heliksen
	fra oppgave oppgave 11 i forrige økt 
	og temperaturen er gitt ved $u$ over.
	Hva er fluens opplevde temperaturforandring som funksjon av tiden?
\end{oppgave}

\clearpage

\section*{TAYLORUTVIKLING}

\begin{oppgave}{3}
Finn fram til Taylors andreordens formel for en funksjon fra $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$
\[
f\left(x+ h\right)\approx f(x)+f'\left(x\right)h + h^T f''(x)h
\]
ved å sende en rett linje gjennom $x$ i retning $h$ og bruke kjerneregelen.
Forklar hvorfor du kan klassifisere kritiske punkter ved å sjekke fortegnet på 
egenverdiene til hessematrisen. 
\end{oppgave}


\begin{center}\includegraphics[scale=.24]{../figurer/L1020101}\end{center}


\clearpage

\section*{OPTIMERING}


Skjønner du retningsderivert og skalarproduktet,
bør det være klart at gradienten også angir den bratteste retningen i terrenget, 
altså den retningen du må peke skiene hvis  du skal gå rett oppover.

\begin{oppgave}{12}
    Finn toppunktet til fjellet gitt ved 
    $z = 1 - x_1^2 - x_2^2 - x_1x_2 + x_1 + x_2$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{0}
	La 
	$
		f(  x) = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + x_1 - x_2.
	$
	Finn nivåkurvene, 
	gradientvektoren og alle kritiske punkter. 
\end{oppgave}

Et \textbf{kritisk punkt} er et punkt der gradientvektoren er null. 
Her er den retningsderiverte lik null uansett hvilken retning du peker skiene,
og dersom terrenget er deriverbart er det her du finner 
toppen av fjellet eller bunnen av dalen eller sadelpunktet på fjellryggen.
Hvis du skjønte alt dette, 
er det forhåpentligvis innlysende for deg at
om du står på toppen av et fjell, 
er stigningen null uansett hvilken retning 
du peker skiene.
Dersom fjellet er deriverbart,
skjer dette kun dersom 
gradienten er nullvektoren:
\[
    f' = 
    \left(  
    0,0
    \right).
\]

I dette semesteret skal vi håndtere inn- og utvariable på 
en mer systematisk måte.
La oss først finne den retningsderiverte når grafen til 
$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 
er plan.
La 
$
	f(x) = ax_1 + bx_2 + c
$
og la oss sette 
\begin{align*}
	g(s) = 
	\begin{pmatrix}
		x_1 + s\cos \theta \\
		x_2 + s\sin \theta 
	\end{pmatrix}.	
\end{align*}

\begin{oppgave}{1}
	Finn stigningen ut fra $x$ med hensyn på $s$ i retningen indikert av $\theta$. 	
\end{oppgave}


\begin{center}\includegraphics[scale=.27]{../figurer/M1004345}\end{center}

\clearpage









\end{comment}






\section*{KOMPLISERTE TING SOM IKKE ER PENSUM}

Har du skjønt tangentplanene, 
har du i prinsippet alt som trengs for å forstå
\textbf{Newtons metode}\footnote{
	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Newton\%27s_method\#Multidimensional_formulations}
}\\[2mm]
\begin{minipage}{100mm}
	\begin{align*}
		 x_{k+1}
		= 
		 x_{k}
		- 
		\Big ( f'( x_k)\Big)^{-1}
		 f( x_k)
	\end{align*}
	for løsning av det ikkelineære likningssettet
	\begin{align*}
		 f( x)= 
		\left(\; 
			\begin{matrix}
				f_1(x)\\[1mm]     
				f_2(x)
			\end{matrix}
		 \;\right)
		=
		\left(\; 
			\begin{matrix}
				0\\[1mm]     
				0
			\end{matrix}
		 \;\right).
	\end{align*}
	Her betyr $x_k$ iterasjon $k$, 
	altså en vektor i $\mathbb{R}^{2 \times 1}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{61mm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[thick]
				\draw[blue] (-2,0) circle (2cm) node[right,xshift=1cm,yshift=2cm]{$f_1( x)=0$};
				\draw[red] (0,-1) circle (1.5cm) node[right,xshift=1.5cm,yshift=0cm]{$f_2( x)=0$};
				\node[below right] at (-.285,.705){$\circ$};
				\node[below right] at (0,1.25){$ r$};
				\draw[->] (-3.5,0) -- (2.5,0) node[right]{$x_1$};
				\draw[->] (-2.5,-1) -- (-2.5,1.3) node[above]{$x_2$};
		  \end{tikzpicture}
	  \end{center}
\end{minipage}

\begin{oppgave}{13}
	Utled rekursjonen fra tangentplanformelen. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
	I oppgave 10 over regnet du faktisk ut et newtonsteg fra initialgjetningen 
	$x_0 = (1,1)^T$ når du 
	fant skjæringspunktet mellom nullnivåkurvene til tangentplanene. 
    Finn skjæringspunktene mellom sirklene numerisk. 
\end{oppgave}

%\reversemarginpar\marginnote{\includegraphics[scale=.08]{../figurer/herrdummefjes-4}}[7mm]
\begin{oppgave}{15}
    Finn skjæringspunktene mellom de to ellipsene 
    \begin{align*}
        3 x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - 2x_1 - x_2 = 1
        \hspace*{10mm}
        \text{og}
        \hspace*{10mm}
        x_1^2 + 2x_1 x_2 + 6 x_2^2  - x_1  - 2x_2 = 1.
    \end{align*}
\end{oppgave}


%\begin{center}
%	\includegraphics[scale=.4]{../figurer/kart}
%\end{center}



\end{document}
