\input{preamble}

\title{SKROT}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle

James Clerk Maxwell publiserte på 1860-tallet den første komplette modellen av elektromagnetisme. 
Maxwell formulerte dette som noen og tyve ymse empiriske regler, 
men Oliver Heaviside kondenserte alt ned til denne pene formen: 
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\  
\nabla \cdot \mathbf B &= 0 \\  
\nabla \times \mathbf E &=- \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\  
c^2\nabla \times \mathbf B &= \frac{\mathbf J}{\epsilon_0}+\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}  
\end{align*}
noen år etter 
Maxwells originale publikasjon.
Likningene kalles henholdsvis Gauss' lov, 
Faradays induksjonslov, 
Gauss' lov for magnetisme og Amperes lov.
Dette er et koblet sett med differensiallikninger,
der 
\begin{itemize}
\item  $\mathbf E$ er det elektriske feltet
\item  $\mathbf B$ er det magnetiske feltet
\item  $c$ er lyshastigheten i vakuum
\item  $\rho$ er ladningstetthet i rommet
\item  $\epsilon_0$ er permittiviteten i vakuum
\item  $\mathbf J$ er en gitt strømtetthet i rommet
\end{itemize}
Likningene kan også skrives på integralform:
\begin{align*}
\iint_{\partial \Omega} \mathbf E\cdot d\mathbf S &= \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_{\Omega} \rho\; d\mathbf x \\  
\iint_{\partial \Omega} \mathbf B\cdot d S &= 0 \\  
\int_{\partial \Sigma} \mathbf E\cdot ds &=- \frac{d}{d t} \iint_{\Sigma} \mathbf B\cdot d S\\  
c^2\int_{\partial \Sigma} \mathbf B\cdot ds &=  \frac{1}{\epsilon_0} \iint_{\Sigma} \mathbf J\cdot d S + \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf E\cdot d S
\end{align*}
På denne siden er det mange nye symboler. 
Et av målene med de første årene på Gløshaugen,
er å forstå matematisk fysikk, 
og da må vi skjønne hva alle disse symbolene betyr. 
Dette er et stort arbeid som tar om lag fire semestre,
og nå skal vi begynne på det.


\includegraphics[scale=.0925]{../figurer/L1007927-Pano}

Det er ikke meningen at du skal få til alle oppgaver i øvingene. 
Det er viktig å aldri gå tom for matematikkoppgaver,
og vi må ha noe å kose oss med i eksamensperioden.

\section*{LITTERATUR}


Kjemi handler i stor grad om elektriske krefter mellom partikler, 
så det bør ikke komme som en stor overraskelse at anvendelser innen elektroteknikk kan være nyttige for kjemistudenter. 
Hver gang du leverer strøm til en krets med et batteri, 
er det kjemi inne i bildet, 
så det bør heller ikke komme som noe sjokk at anvendelser innen kjemi kan være nyttige for elektrostudenter. 
Evolusjonen har gjennom de siste 3.7 milliarder år laget og løst tonnevis av små reguleringstekniske problemer i kroppen din, 
som alle er basert på elektrokjemi,
så det bør kanskje ikke komme som noe sjokk at elektro og kjemi kan være relevant for kybernetikkstudenter.
Både kjemi og elektro må lære kvantefysikk for å forstå gitterstrukturer i faste stoffer. 
Forresten er alt bare fysikk. 
For å oppsummere:

\begin{tcolorbox}[colback=green!10]
Alt henger sammen med alt.
Alt er fysiske lover. 
Matematikk er språket.
\end{tcolorbox}



Les innledningskapitlet i Adams for gode tips om å studere matematikk. 
Hvis du er mest interessert i hva matematikk kan brukes til, 
er det lurt å lese Kreyszig.
Les også The Feynman Lectures on Physics: \\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu}

I totallssystemet ønsker vi å skrive tall som en sum av toerpotenser.
Dette er viktig i datamaskiner,
siden all informasjon lagres som konfigurasjoner av
små elektriske brytere som kan være enten av eller på.
La $x$ være et naturlig tall, det er det enkleste i begynnelsen. 
Vi vil ha
\[
x=a_n\cdot 2^n+a_{n-1}\cdot 2^{n-1}+\cdots+a_1\cdot 2+a_0\cdot 2^0
\]
Koeffisientene $a_k$ kan være 0 eller 1,
og kalles de binære sifrene. 
\footnote{Det finnes 10 typer personer i verden,
de som skjønner totallssystemet, 
og de som ikke gjør det.}

\begin{oppgave}{1}
Skriv tallene 31, 127, 346 og 1025 i totallssystemet.
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.11]{../figurer/M1006436-Pano}
\end{center}


\subsection*{UKENS REGTEK}

Følgende passer ikke helt inn i ukens pensum,
men man får bruk for det i kyb intro allerede denne uken.
Det kommer som pensum for alle senere i kurset.
Richard Feynman kalte det
\say{vår juvel}.
\begin{tcolorbox}[ title= Eulers formel, colback=red!10]
\[
e^{ix}=\cos x + i\sin x
\]
\end{tcolorbox}



\begin{oppgave}{1}
Du kan utlede denne formelen ved å anta at derivasjonsreglene 
du lærte på skolen holder også når det står en $i$ her og der,
og derivere brøken
\[
\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}.
\]
Prøv. Om du ikke får det til, 
kan du scrolle litt nedover her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula}
\end{oppgave}

Med Eulers formel kan vi skrive komplekse tall veldig kompakt:

\begin{tcolorbox}[ title= Polar form, colback=red!10]
\[
z=r(\cos \theta+i\sin \theta)=re^{i\theta}
\]
\end{tcolorbox}

Denne formelen er nyttig å kjenne til når man skal analysere 
transientresponser for andre ordens lineære differensiallikninger. 
Dette dukker opp i Gravdals kompendium, kap. 2.2.6.
(På skolen het det homogene andre ordens differensiallikninger.)




\begin{oppgave}{2}
Skriv $z=1+i$ og $w=1+\sqrt{3}i$ på polar form
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Polar form er praktisk når man skal gange og dele komplekse tall for hånd.
La
\[
z=1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}
\]
og 
\[
w=1+\sqrt{3}i=2e^{i\frac{\pi}{3}}.
\]
Anta vanlige regneregler for eksponensialfunksjonen, 
og beregn
\[
z\cdot w
\quad \text{og}\quad 
\frac{z}{w}
\]
\end{oppgave}

\noindent Nå er det imidlertid sjelden at noen ganger sammen komplekse tall for hånd etter at de har landet sin første jobb. 
Men de geometriske tolkningene som Eulers formel gir oss,
og sammenhengen med de trigonometriske funksjonene,
er viktig, spesielt om du skal drive på med signalbehandling eller liknende.

\begin{oppgave}{4}
Finn $e^{ \pi i/2 }$, $e^{\pi i}$, $e^{3\pi i/2 }$ og $e^{2 \pi i}$.
\end{oppgave}

Her er noen flere nyttige ting:

\begin{oppgave}{5}
Vis at 
\[
e^{-ix}=\cos x - i\sin x.
\]
og
\[
\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\]
og 
\[
\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Kan du si noe om ${\overline z}$?
\end{oppgave}

Husk ellers at
\[
\cosh x =\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\]
og
\[
\sinh x =\frac{e^x-e^{-x}}{2}.
\]

\begin{oppgave}{7}
Vis at  
\[
\cosh(ix)=\cos x
\]
og
\[
\sinh(ix)=i\sin x.
\]
og bruk det til å vise at 
\begin{align*}
\cos{(a+bi)}&=\cos a \cosh b - i \sin a \sinh b \\
\sin{(a+bi)}&=\sin a \cosh b + i \cos a \sinh b
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
Bruk alt dette til å vise at dersom  $b^2-4c<0$, 
løses 
\[
\ddot x + b\dot x+ cx =0 
\]
av
\[
x(t)=Ae^{-\frac{b}{2}t}\cos\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right)+Be^{-\frac{b}{2}t}\sin\left(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t\right).
\]
(Denne oppgaven er ikke helt triviell.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
La $f(x)=e^x$.
Finn et fjerdeordens polynom $p$ som tilfredsstiller
\[
p(0)=f(0) \quad p'(0)=f'(0) \quad p''(0)=f''(0) \quad \text{og} \quad p'''(0)=f'''(0)
\]
og plott begge i samme figur i python.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{19}
Gjenta oppgaven over,
men for et polynom av orden 14.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{20}
Gjenta oppgavene over,
men for $f(x)=\sin x$ istedet.
\end{oppgave}


Nå kommer en litt teoretisk side. En likning på formen 

\[
x_{n+1}=h(x_n)
\]
kalles en som nevnt \textbf{rekursjon} eller en \textbf{iterasjon}. 
Siden numeriske likningsløsere produserer en følge som i noen 
tilfeller konvergerer mot løsningen til likningen vi interesserer oss for,
vil vi aldri finne løsningen helt nøyaktig,
men vi kan bestemme oss for å slutte når vi synes vi har nok desimaler. 
Et vanlig triks for å vite når man skal gi seg, 
er å se på når det ikke lengre er endring i desimalene fra iterasjon til iterasjon. 
Da har datamaskinen har gjort så godt den kunne med den koden den fikk servert.
Her er en presis definisjon av \say{ingen endring etter desimal sånn og sånn}:

\begin{tcolorbox}[colback=blue!10, title= Cauchyfølge]
Vi sier at en følge $\{x_n\}$ er en cauchyfølge dersom det for enhver $\epsilon>0$ finnes en $N$ slik at $m,n>N$ impliserer 
\[
|x_n-x_m|<\epsilon.
\]
\end{tcolorbox}

Definisjonen av cauchyfølge og konvergent følge ser veldig like ut, 
men det er en subtil forskjell - 
i definisjonen av cauchyfølge nevnes ikke 
hva følgen konvergerer til. 
Tenk igjen på $\epsilon$ (gresk bokstav, uttales epsilon) som et bitte lite tall. 
Definisjonen av cauchyfølge sier at dersom du går langt nok ut i følgen (altså at $m$ og $n$ er store), 
er det ingen endring i desimalene til venstre for en eller annen desimal gitt av størrelsen på $\epsilon$.
I et enkelt numerisk eksperiment slik som Dottie-eksperimentet
sjekker vi strengt tatt ikke konvergens,
vi sjekker bare om vi tror vi har en cauchyfølge.
Det går bra, for i $\mathbb R$ er cauchyfølge og konvergent følge det samme.
Dette er ikke sant i $\mathbb Q$,
og derfor har vi $\mathbb R$:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers}



En vanlig datamaskin regner stort sett med seksten desimaler.
Seksten desimalers nøyaktighet kalles \textbf{maskinpresisjon}.
Å skjønne nøyaktig hva datamaskinen gjør, 
er litt for komplisert for oss.
Se her:\\
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/MA2501/2008v/flyttall.pdf}\\
dersom du er interessert.
Dersom du vil lese et helt kompendium om slikt,
kan du lese dette:\\
\url{https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT-INF1100/h21/kompendiet/matinf1100.pdf}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.28]{../figurer/M1004345}
\end{center}

Forresten kalles gjerne løsningen til en likning en \textbf{rot}. 
Dette er greit å vite når man prater med gamle folk. 
Man bruker også ordet \say{rot} om nullpunktet til en funksjon. 

TIl slutt skal vi introdusere en helt annen type funksjon. 
Dersom definisjonsmengden til en funksjon $f$ er $\mathbb N$ (istedet for $\mathbb R$ som du er vant til), 
kalles $f$ en følge.
Funksjonsverdiene $f(n)$ kalles leddene i følgen, 
og vi skriver $f_n$ istedet for $f(n)$.
Vi skal drive ganske mye med følger dette semesteret.


\begin{oppgave}{22}
Tegn en skisse av funksjonen $f:\mathbb N \to \mathbb R$ gitt ved
\[
f_n=\ln n
\]
for hånd. \\
\end{oppgave}

I praktiske situasjoner er 
formelen for leddene i en følge som regel gitt av en rekursjon.
Dette er en formel som gir et ledd i følgen som funksjon av et eller flere foregående ledd.
Det mest klassiske eksemplet er Fibonaccis følge
\[
x_n=x_{n-1}+x_{n-2} \quad \text{og} \quad x_1=x_2=1
\]

\begin{oppgave}{23}
Skriv ut et par ledd i denne følgen. 
\end{oppgave}

Det som er litt artig med fibonaccifølgen, 
er at 
\[
\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}
\]
blir det gyldne snitt:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio}


\begin{oppgave}{24}
Det går an å finne et uttrykk for $x_n$ som funksjon av $n$ (altså ikke en rekursjon) i Fibonaccifølgen. 
Teknikken er analog til teknikken for å løse andreordens lineære differensiallikninger, 
som du lærte på gymnaset:
Gjør en kvalifisert gjetning på at 
\[
x_n=\phi^n,
\]
sett dette inn i rekursjonen $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$,
og regn i vei.
Hva kan $\phi$ være?
\end{oppgave}

\subsection*{En kokt krystall}

Så dette var litt om de fysiske modellene. 
Det er fornuftig å ha de meste grunnleggende modellene i ryggraden
for det er disse man bygger på når man lager mer kompliserte modeller, 
og levende organismer HAR en tendens til å formere seg eksponensielt dersom de 
har nok mat.
\footnote{\url{https://peterturchin.com/PDF/AoD_Chapter1.pdf}}
Vi skal studere flere fysiske modeller, 
men akkurat nå skal vi fleske til og gjøre elgtungemodellen så komplisert at 
penn og papir ikke lenger er tilstrekkelig for å analysere den. 

Hva om $\alpha$ ikke er et tall, 
men en funksjon av $T$?
Proporsjonalitetskonstanten $\alpha$ forteller oss noe om hvor raskt varmen 
strømmer mellom elgtungen og omgivelsene, 
og det er en rimelig antagelse at $\alpha$ er avhengig av elgtungens varmekapasitet. 
Jeg vet ikke om noen har studert varmekapasiteten til en kokt elgtunge, 
men om vi kjøler ned en krystall, 
kan vi forvente at varmekapasiteten er sterkt temperaturavhengig:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_solid} 
%\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Debye_model#Debye_versus_Einstein}

Hvis vi nå gjør det enkelt, 
og antar at 
\[
\alpha(T)=\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}
\]
(her er det en haug med fysiske konstanter som er satt til en av hensyn til din kognitive last)
blir Newtons avkjølingslov
\[
\dot{T}+\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}\left(T-T_k\right)=0 \quad T(0)=T_0.
\]
Lykke til med å løse denne med penn og papir. 
Hva gjør vi nå?

\begin{oppgave}{11}
Nå er det på tide å skjønne hvordan Eulers metode virker. 
Dette er nok et kvantesprang for mange,
men det er en standardmetode.
Du finner beskrivelsen av metoden i Adams, 
Kreyszig, 
Wikipedia, 
Khan Academy, 
Organic Chemistry Tutor,
det mørke internettet,
i alle bøker som noensinne er skrevet,
og et utall andre steder.
Prøv å finne ut av det.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.43]{../figurer/img1012}
\end{center}


Det er noe som kalles lineærapproksimasjon. 
Den ser slik ut:
\begin{align*}
f(x)\approx 
f(a)+f'(a)(x-a)=L(x)
\end{align*}
og du kan lese kap. 4.9 i Adams eller her:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_approximation}\\
eller se på denne figuren:
\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/linappr}
\end{center}


Vel vel. 
La oss anta at du har et initialverdiproblem
\[
\dot{x}=g(x) \quad x(0)=x_0
\]
du ikke aner hvordan du skal løse med penn og papir. 
Vel, du vet ihvertfall hva $x(0)$ er. 
Det er da noe.
Men du vet faktisk mer enn det. 


\begin{oppgave}{12}
Du vet også hva $\dot{x}(0)$ er. 
Hva er det?
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.23]{../figurer/L1005295}
\end{center}


Helt riktig:
\[
\dot{x}(0)=g(x(0))=g(x_0)
\]




Vi kjenner altså stigningstallet til løsningen i starttidspunktet. 
Dette er fordi vi kjenner initialbetingelsen, 
og da forteller differensiallikningen hvilken stigning løsningen starter med.
Det betyr at dersom du ønsker en approksimasjon til løsningen litt etter starttidspunktet, 
kan du bruke lineærapproksimasjon på $x(t)$:
\[
x(t)\approx x_0+\dot{x}(0)t=x_0+g(x_0)t
\]


Nå er det nok på tide å innføre litt notasjon. 
La oss velge et lite tidsinkrement $h$, 
og sette opp tilnærminger til løsningen slik:
\begin{align*}
x_1&\approx x(h) \\
x_2&\approx x(2h) \\
x_3&\approx x(3h) 
\end{align*}
og så videre.
Eulers eksplisitte metode baserer seg på å bruke lineærapproksimasjon for å beregne approksimasjoner slik:
\begin{align*}
x_1&=x_0+hg(x_0) \quad (=x(0)+h\dot{x}(0))\\
x_2 &= x_1 + hg(x_1)\\
x_3 &= x_2 + hg(x_2)
\end{align*}
og så videre.
Man tar altså approksimasjonen på et tidspunkt og lineærapproksimerer herfra for å finne approksimasjonen på neste tidspunkt i rekken.
Hvis du liker rekursjoner, 
kan du skrive det slik:
\[
x_{n+1} = x_n + hg(x_n)
\]
Jo mindre $h$, 
desto bedre funker det, 
men det tar lengre tid for datamaskinen å regne på alt sammen. 
Punktmengden 
\[
\{0, h, 2h, 3h,\cdots\}
\]
kalles \textbf{gitteret}.
Her er et illustrasjonsplot av en analytisk løsning (rød linje) og en numerisk approksimasjon (diamanter):

\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{../figurer/eks_9_1}
\end{center}


La oss prøve dette ut.

\begin{oppgave}{13}
La oss sette $\alpha=1$ og $T_k=2$ i Newtons avkjølingslov,
slik at det blir enkelt:
\[
\dot{T}+T-2=0
\]
Skriv dette om til formen $\dot{T}=g\left(T\right)$
og løs numerisk med initialkrav $T(0)=\frac{1}{10}$.
Lag et plott av løsningen. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
La oss nå komplisere det litt, 
og innføre
\[
\alpha(T)=\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}
\]
istedet for $\alpha=1$.
Løs numerisk med initialkrav $T(0)=\frac{1}{10}$, 
og plott denne løsningen i samme figur som løsningen fra forrige oppgave.
\end{oppgave}

Det finnes mange andre metoder.
Nå kan du gå et eller annet sted 
og lese om Eulers implisitte metode:
\[
x_{n+1} = x_n + hg(x_{n+1})
\]
og trapesmetoden:
\[
x_{n+1} = x_n + h\left(\frac{g(x_{n})+g(x_{n+1})}{2}\right)
\]
og midtpunktmetoden:
\[
x_{n+1} = x_n + hg\left(\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2}\right)
\]
og Heuns metode:
\[
x_{n+1} = x_n + h\left(\frac{g(x_{n})+g\left(x_n + hg(x_{n})\right)}{2}\right)
\]



\begin{oppgave}{15}
Løs initialverdiproblemet
\[
\dot{T}+T-2=0 \quad T(0)=\frac{1}{10}
\]
med alle disse metodene,
og sammenlikne disse med den analytiske løsningen 
\[
T(t)=2-\frac{19}{10}e^{-t}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{16}
Hvis du er dreven i programmering, 
kan du prøve
\[
\alpha(T)=\frac{1}{T^2}\frac{e^{1/T}}{(e^{1/T}-1)^2}
\]
istedet for $\alpha=1$,
med alle metodene.
(De implisitte metodene trenger en numerisk likningsløser i hvert tidssteg.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
Løs logistisk likning med alle metodene og sammenlikne med analytisk løsning.
\end{oppgave}

Hvis du vil har flere oppgaver, finnes det mange i  kap. 1 i Kreyszig. 
Hvis du vil ha vanskeligere oppgaver, kan du se i 
Kap. 1 i Schaeffer og Cain. 


Nå er det lurt å lese litt i kap. 1 i Kreyszig eller
Kap. 1 i Schaeffer og Cain. 
I disse bøkene står det mange eksempler på differensiallikninger. 
La oss ta fallskjermhopperen. 
Dersom en fallskjermhopper påvirkes av gravitasjon og luftmotstand 
(denne er ofte en kvadratisk funksjon av hastighet),
vil farten hennes følge likningen
\[
\dot{v}=1-v^2
\]
der alle fysiske konstanter er satt til en bare for enkelhets skyld.

\begin{oppgave}{3}
Bruk Newtons andre lov og antagelsene om
gravitasjon og luftmotstand til å utlede likningen, og løs.
(Du må sette noen ymse konstanter til 1 for å få likningen så enkel, 
men det går bra. 
Hva slags benevning man har på aksene,
kan man stort sett velge fritt.) 
\end{oppgave}

En annen klassiker er 
van der Pols likning
\[
\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot x+x=0.
\]
Denne ble først studert av Balthasar van der Pol 
i forbindelse med et arbeid på radiorør i Phillips på 1920-tallet:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator}\\
men den er også relatert til nevronavfyringen i hjertet ditt:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/FitzHugh–Nagumo_model}
og det er visst noen som har brukt den til å modellere 
kollisjoner mellom kontinentalplater og noe greier i 
stemmebånd og andre ting. 
Van der Pol skal vi se igjen mange ganger kommende studieår,
og du har allerede simulert den i Øving 1 i TTK4100. 
Nå skal vi gjøre det fra scratch, 
men da må vi lære et triks. 

\begin{oppgave}{4}
Lag noen nye variable $x_1=x$ og $x_2=\dot x$,
(eller $y=x$ og $z=\dot x$ om du synes indeksering er litt stress)
og skriv om til et system av to differensiallikninger.
Fasiten står i Øving 1. 
\end{oppgave}

Numeriske metoder for systemer av to differensiallikninger er bare å skrive opp, 
det blir ganske likt som for en differensiallikning.
Dersom vi har et system av differensiallikninger med initialkrav
\begin{align*}
\dot{y}&=f(y,z) \qquad y(0)=x_0 \\
\dot{z}&=g(y,z) \qquad z(0)=y_0
\end{align*}
blir Eulers eksplisitte metode
\begin{align*}
y_{n+1}&=y_n+hf(y_n,z_n) \\
z_{n+1}&=z_n+hg(y_n,z_n)
\end{align*}

\begin{oppgave}{5}
Kjør Euler eksplisitt på van der Pol. 
Prøv forskjellige verdier for $y_0$, $z_0$ og $\mu$. 
(Det vanligste er å plotte $y$ mot $z$. 
Det kalles \textbf{faseplott}. 
Sjekk wikipediaartikkelen om van der Pol for å se om du har korrekt plot.)
\end{oppgave}

For å illustrere dette med numeriske metoder, 
kan vi introdusere symplektisk Euler:
\begin{align*}
y_{n+1}&=x_n+hf(y_n,z_n) \\
z_{n+1}&=y_n+hg(y_{n+1},z_n)
\end{align*}
Denne er så lik på eksplisitt Euler at man må se nøye 
på den for å se forskjellen, 
men oppfører seg helt forskjellig.

\begin{oppgave}{6}
Prøv eksplisitt og symplektisk Euler på van der Pol og 
se om du ser noen forskjell.
\end{oppgave}




\end{document}
