\input{preamble}

\title{ 46 - LF}

\begin{document}
\maketitle



\section*{Laplaces likning}

James Clerk Maxwell publiserte i 1865 \say{A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}:\\
\url{https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1865.0008} 

I denne artikkelen formulerte han et sett med partielle differensiallikninger 
som beskriver korrekt og uten forbehold vekselvirkningen mellom 
elektriske og magnetiske felt:
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\  
\nabla \times \mathbf E &=- \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\  
\nabla \cdot \mathbf B &= 0 \\  
\nabla \times \mathbf B &= \frac{\mathbf j}{\epsilon_0}+\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}  
\end{align*}

Likningene fikk sin nåværende form av Oliver Heaviside i 1884. 
Det er Heaviside du kan takke for det meste du har lært i ESDA I dette semesteret:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside}

Maxwells likninger er noe for kompliserte for oss dette semesteret, 
men vi skal studere dem ganske nøye til neste år. 
Denne uken skal vi studere en konsekvens av de to første likningene 
dersom de elektriske og magnetiske feltene ikke endres med tiden. 
Denne konsekvensen gjelder for det elektrostatiske potensialet $\phi$, 
og heter Laplaces likning:
\[
\frac{\partial \phi}{\partial x_1}+
\frac{\partial \phi}{\partial x_2}=0
\]
Her er $v(\mathbf x)$ spenningen fra en eller flere elektriske ladninger,
og det er forutsatt at alle ladninger står i ro (dette kalles elektrostatikk),
samt at det ikke er noen ladningstetthet noe sted der vi har tenkt å løse likningen. 
(Med andre ord kommer det elektriske feltet fra noen ladninger som står et eller 
annet annet sted i rommet, for eksempel i kanten av området.) 
I flere dimensjoner lyder likningen
\[
\frac{\partial \phi}{\partial x_1}+
\frac{\partial \phi}{\partial x_2}+
\cdots+
\frac{\partial \phi}{\partial x_n}=0
\]
Løsninger av Laplaces likning kalles harmoniske funksjoner.
Vi skal vente til neste år med å utlede Laplaces likning fra Maxwells likninger.


\begin{oppgave}{2}
I en romlig dimensjon er Laplaces likning temmelig uinteressant. 
Finn alle envariable harmoniske funksjoner.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn potensialet mellom to endimensjonale kondensatorplater som er uendelig lange,
plassert i for eksempel $x_1=0$ og $x_1=1$, 
og holder hver sin konstante spenning $V_1$ og $V_2$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Kopier løsningsmetoden for bølge- og varmelikningen, 
og vis at 
\end{oppgave}

\begin{tcolorbox}
Løsningen til Laplaces likning
\[
\phi_{xx}+\phi_{yy}=0,
\]
på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav 
\[
\phi(x,0)=\phi(0,y)=\phi(\pi,y)=0
\]
og
\[
\phi(x,\pi)=f(x).
\]
er
\[
\phi(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sinh ny \sin nx,
\]
der
\[
A_n=\frac{2}{\pi \sinh n\pi}  \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx.
\]
\end{tcolorbox}


\end{document}
