\input{preamble}

\title{4 - 9 - TRANSPORT - LF}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
    Hvis $v$ er en konstant, 
    sier transportlikningen 
    \begin{align*}
        \dot \rho + v\cdot \nabla \rho = 0
    \end{align*}
    at den totalderiverte til $\rho$ skal være null langs kurver på formen
    \begin{align*}
        x(t) = x_0 + vt,
    \end{align*}
    siden 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) = 
        \frac{d}{dt} \rho(x_0 + vt,t) =
        \dot \rho + v\cdot \nabla \rho = 0. 
    \end{align*}
    Karakteristisk kurve betyr noe sånt som \textit{en kurve der du kan klare å finne ut hva løsningen er}, 
    og dette er det enkleste eksemplet. 
\end{oppgave}

\includegraphics[scale=.6]{../figurer/transport-1}

\clearpage

\begin{oppgave}{2}
    I forrige oppgave viste vi at en eventuell løsning må være konstant på 
    alle kurver på formen 
    \begin{align*}
        x(t) = x_0 + vt,
    \end{align*}
    så med andre ord passer funksjoner på formen 
    \begin{align*}
        \rho(x,t)= h(x-vt)
    \end{align*}
    i likningen så lenge $h$ er deriverbar. 
    Derfor er også
    \begin{align*}
        \rho(x,t)= g(x-vt)
    \end{align*}
    en løsning,  
    og gjett hva, denne tilfredsstiller også initialkravet.
\end{oppgave}


\begin{center}\includegraphics[scale=.37]{../figurer/transport-2}\end{center}


\clearpage

\begin{oppgave}{3}
    La oss undersøke hvordan løsningen oppfører seg langs de karakteristiske kurvene $x(t)=x_0 + vt$. 
    Vi får
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) = 
        \dot \rho(x_0 + vt,t) + v\cdot \nabla \rho(x_0 + vt,t) = -\gamma \rho(x_0 + vt,t)
    \end{align*}
    eller 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) 
        +\gamma \rho(x_0 + vt,t) =0
    \end{align*}
    om du vil.
    Denne likningen kan vi håndtere 
    ved å gange hele greia med $e^{\gamma t}$ slik:
    \begin{align*}
        e^{\gamma t}\frac{d}{dt} \rho(x(t),t) 
        +e^{\gamma t}\gamma \rho(x_0 + vt,t) = 0
    \end{align*}
    og så skrive
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt}\left( e^{\gamma t} \rho(x(t),t)  \right) = 0
    \end{align*}
    slik at 
    \begin{align*}
        \rho(x(t),t)  = c e^{-\gamma t}.
    \end{align*}
    Denne likningen sier at løsningen skal være en konstant ganger $e^{-\gamma t}$ på hver karakteristisk kurve, 
    så om vi setter 
    \begin{align*}
        \rho(x,t) = g(x-vt)e^{-\gamma t}
    \end{align*}
    har vi noe som tilfredsstiller både differensiallikningen og initialkravet. 
\end{oppgave}
    \begin{center}\includegraphics[scale=.34]{../figurer/transport-3}\end{center}

\clearpage
\begin{oppgave}{4}
    Hvis vi evaluerer løsningen $\rho$ på de karakteristiske kurvene 
    fra forrige oppgave, 
    får vi 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) = 
        \frac{d}{dt} \rho(x_0 + vt,t) =
        \dot \rho(x_0 + vt,t) + v\cdot \nabla \rho(x_0 + vt,t) = f(x_0 + vt,t)
    \end{align*}
    og hvis vi integrerer denne likningen fra 0 til $t$, 
    får vi 
    \begin{align*}
        \rho(x(t),t) - \rho(x(0),0)= \int_0^t f(x(s),s)\; ds = \int_0^t f(x_0 + vs,s)\; ds
    \end{align*}
    slik at
    \begin{align*}
        \rho(x,t) = g(x-vt) + \int_0^t f(x_0 + vs,s)\; ds.    
    \end{align*}
    Men $x_0=x-vt$, 
    så vi kan skrive dette enda penere slik:
    \begin{align*}
        \rho(x,t) = g(x-vt) + \int_0^t f(x + v(s-t),s)\; ds
    \end{align*}
\end{oppgave}
    \begin{center}\includegraphics[scale=.34]{../figurer/transport-4}\end{center}

\begin{oppgave}{5}
    Her er trikset å se at 
    dersom $x(t)$ tilfredsstiller $\dot x(t) = v(x)$,
    får vi 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) = 
        \dot \rho(x(t),t) + \dot x(t)\cdot \nabla \rho(x,t) = 
        \dot \rho(x(t),t) + v(x)\cdot \nabla \rho(x,t) = 0. 
    \end{align*}
    Vi må følgelig finne $x$ slik at $\dot x(t) = v(x)$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Likningen $\dot x = x $ lærte vi å løse i TMA4101 og løsningen er 
    \begin{align*}
        x = x_0e^{at}
    \end{align*}
    så $\rho$ må være konstant på disse kurvene. 
    Hvis $x_0$ og $x$ skal være relatert på denne måten og $\rho$ 
    skal tilfredsstille initialkravet $\rho(x,0) = g(x)$, 
    må vi følgelig ha 
    \begin{align*}
        \rho(x,t) = g(xe^{-at}).
    \end{align*}
    Dersom $v(x)=ax+b$, 
    får vi 
    \begin{align*}
        x = (x_0+b/a)e^{at}-b/a
    \end{align*}
    slik at 
    \begin{align*}
        (x + b/a)e^{-at} -b/a = x_0
    \end{align*}
    og 
    \begin{align*}
        \rho(x,t) = g((x + b/a)e^{-at}-b/a).
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
    Kontinuitetslikningen blir 
    \begin{align*}
        \dot \rho + \nabla (\rho (1-\rho)) = 0
    \end{align*}
    som gir 
    \begin{align*}
        \dot \rho + (1-2\rho)\nabla \rho = 0.
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    Hvis vi krever $\dot x(t) = \rho(x(t),t)$,
    får vi 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt} \rho(x(t),t) = 
        \dot \rho(x(t),t) + \dot x(t)\cdot \nabla \rho(x,t) = 
        \dot \rho(x(t),t) + \rho(x(t),t)\cdot \nabla \rho(x,t) = 0. 
    \end{align*}
    Nå ser vi at siden $\rho$ ikke endres på denne kurven, 
    gir $\dot x = \rho$ at stigningstallet til kurven må være konstant, 
    altså en rett linje:
    \begin{align*}
        x(t) = \rho t + b
    \end{align*}
    der stigningstallet $\rho$ er det samme som løsningens verdi på linjen. 
    Dette var en uventet positiv dreining mot håndterbarhet!
    Løsningen er som før gitt ved 
    \begin{align*}
        \rho = f(x-\rho t)
    \end{align*} 
    der $f$ kan være hva som helst så lenge det er deriverbart. 
    Dersom $f=g$ (initialkravet) ser vi at vi får $u(x,0)=g(x)$. 
    Men nå er $\rho$ implisitt gitt, 
    og derfor kommer det an på initialkravene om det er mulig å beregne $\rho$ og om $\rho$ gir fysisk mening, 
    og herfra og utover er noe for komplisert for oss. 
\end{oppgave}


\begin{comment}

\clearpage

koblet transport og onsagerkoeffisientene

\begin{itemize}
    \item Fouriers varmelov 
    \[
        \V q = -k \nabla T
    \]
    der $\V q$ er varmefluks, $k$ termisk konduktivitet og $T$ temperatur.
    \item Ohms lov 
    \[
        \V j = -\sigma \nabla \phi
    \]
    der $\V j$ er strømtetthet, $\sigma$ konduktivitet og $\phi$ spenning.
    \item Darcys lov 
    \[
        \V q = -\frac{k}{\mu} \nabla p
    \]
    der $\V q$ er væskefluks, $k$ permeabiliteten til bergarten, 
    $\mu$ væskens viskositet, 
    og $p$ trykk.
    \item Ficks lov
    \[
        \V J = -D \nabla \phi
    \]
    der $\V J$ er massefluks, $D$ er diffusivitet og $\phi$ er konsentrasjon.
\end{itemize}
\end{comment}
\end{document}
