\input{preamble}

\title{4 - 3 - Å HERPE EN TROMME}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle
%https://en.wikipedia.org/wiki/Dipole
%https://en.wikipedia.org/wiki/Electret
%husk div til elektrisk felt er impulsrespons til poisson
%poisson med varierende konduktivitet
%mer om divergensteoremet og energiminimering


Laplaceoperatoteren 
\[
    \Delta u = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_i}    
\]
dukker opp overalt i fysikken. 
Vi har møtt dem gjennom real- og imaginærdelen til en 
kompleks analytisk funksjon,
i bølgelikningen
\[
    \ddot u = \Delta u
\]
og i varmelikningen
\[
    \dot u = \Delta u.
\]
Dersom du tar en av disse likningene og 
antar at det ikke er noen tidsendring,
for eksempel ved at varmeflyten er blitt stasjonær,
får du 
\textbf{Laplaces likning}:
\[
    \Delta u = 0
\]
Ting som passer i dette dyret
kalles 
\textbf{harmoniske funksjoner}. 
Hvis du vil ha et mentalt bilde av en harmonisk funksjon,
kan se for deg dette skarptrommeskinnet, 
som sitter på en treramme som har slått seg. 
Skinnet tilfedsstiller bølgelikningen med dirichletrandkrav også 
når det er i ro. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=.11]{../figurer/427866519_1126321768730603_6461410556457464119_n}\\
Takk til Lars i TSO for herpa skarptrommeskinn med form ikke ulik $f(x) = x_1x_2$. 
\end{center}

\clearpage

For å få en fysisk intuisjon på dette med harmoniske funksjoner, 
kan det være lurt å tenke litt på dette med \textbf{flyt}.
Det finnes mange eksempler på fysikk der 
du har et vektorfelt som beskriver en eller annen flyt, 
og så er vektorfeltet gradienten til ett eller annet skalarfelt. 
Her er et par eksempler: 

\begin{itemize}
    \item Fouriers varmelov 
    \[
        \V q = -k \nabla T
    \]
    der $\V q$ er varmefluks, $k$ termisk konduktivitet og $T$ temperatur.
    \item Ohms lov 
    \[
        \V j = -\sigma \nabla \phi
    \]
    der $\V j$ er strømtetthet, $\sigma$ konduktivitet og $\phi$ spenning.
    \item Darcys lov 
    \[
        \V q = -\frac{k}{\mu} \nabla p
    \]
    der $\V q$ er væskefluks, $k$ permeabiliteten til bergarten, 
    $\mu$ væskens viskositet, 
    og $p$ trykk.
    \item Ficks lov
    \[
        \V J = -D \nabla \phi
    \]
    der $\V J$ er massefluks, $D$ er diffusivitet og $\phi$ er konsentrasjon.
\end{itemize}

En harmonisk funksjon er en funksjon 
hvis gradient gir et flytfelt uten opplagring. 
For å se det må vi bygge ut divergensteoremet litt. 

\begin{oppgave}{1}
    Skriv opp divergensteoremet, 
    og anta at vektorfeltet er gradienten til 
    en funksjon $u$. 
    Hvordan ser divergensteoremet ut da?
\end{oppgave}

For en harmonisk funksjon er 
er fluksen til gradientfeltet 
ut av et vilkårlig område alltid null. 

\begin{oppgave}{2}
    Vis dette. \\
    (Hint: klarte du oppgaven over er du nesten i mål.)
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.2]{../figurer/L1009397-Pano}
\end{center}

\begin{minipage}{12cm}
    Trommeskinnet på første side viser en typisk harmonisk funksjon. 
    Her er en annen. 
    Den viser temperaturen i en tynn plate der temperaturen holdes konstant lik null på tre sider, 
    konstant lik fem eller en eller noe på den siste siden,
    og tiden har gått langt nok til at varmeflyten er blitt stasjonær.\\
    (Figuren er faktisk en numerisk løsning av varmelikningen,
    etter at tidsendringen har avtatt.)
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.12]{../figurer/fig_heat.pdf}
\end{center}
\end{minipage}

I trommeskinnet eller varmeflyten over,
er det vel klart at det finnes bare én fysisk løsning. 
Spesifiserer du temperaturen på kanten og lar varmeflyten bli stasjonær,
vil det nok bare være én temperaturfordeling som er korrekt. 
Dette kalles dirichletproblemet,
og ser ut som følger. 
La $\Omega$ være et område i $\mathbb{R}^n$,
og la $\partial \Omega$ være randen. 
Trommeskinnet eller varmeflyten er 
en funskjon $u$ som tilfredsstiller 
\begin{align*}
    \Delta u =& 0 \hspace{6mm} \text{på } \Omega \\  
    u =& f \hspace{6mm} \text{på } \partial \Omega 
\end{align*}

Dette problemet har entydig løsning. 
Det er ikke veldig vanskelig å se, 
men vi må ha enda noen varianter av divergensteoremet. 
Her er en ny variant for skalarfelt. 

\begin{oppgave}{3}
    Anta at vektorfeltet kun har en komponent forskjellig fra null,
    og skriv opp divergensteoremet. 
    Dette kalles noe sånt som gaussgreenteoremet eller noe i den dur. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
    Og dette gir oss igjen en delvisintegrasjonsformel 
    som funker i flere dimensjoner, 
    utled ved å sette $uv$ inn for komponenten i forrige oppgave. 
\end{oppgave}


Nå kan vi vise entydighet. 
Anta det finnes to løsninger, 
la oss kalle differansen mellom dem $w$. 
Da vil $w$ løse problemet 
\begin{align*}
    \Delta w =& 0 \hspace{6mm} \text{på } \Omega \\  
    w =& 0 \hspace{6mm} \text{på } \partial \Omega 
\end{align*}

\begin{oppgave}{5}
    Nå kan du vise at $w=0$ ved å 
    gange likningen $\Delta w = 0$ med $w$, 
    integrere, 
    og så bruke delvisintegrasjonsformelene du fant i oppgave 4. 
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1011340.jpg}
\end{center}




\begin{comment}
Utledningen går som følger. 
Anta at du har et vektorfelt $\mathbf{F}$
som beskriver en eller annen stasjonær flyt på et område $\Omega$,
for eksempel varme eller et statisk elektrisk felt eller noe slikt. 
Dersom du tar tilfeldige delområder
$\V \in \Omega$ 
og krever at netto utstrømning alltid er null:
\[
    \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot dS = 0    
\]
så gir først divergensteoremet at
\[
    \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \; d\mathbf{x} = 0. 
\]
Dersom vektorfeltet er gradienten til et eller annet skalarfelt
\[
\mathbf{F} = \alpha \nabla u,
\]
(for eksempel gjennom Fouriers varmelov eller spenningen til et elektrisk felt) får vi 
\[
    \iiint_V \nabla \cdot \nabla u d\mathbf{x} = 0,
\]
og hvis dette gjelder for alle $V \in \Omega$,
må 
\[
    \Delta u = \nabla\cdot \left( \nabla u \right) = 0. 
\]

\begin{oppgave}{1}
Denne må vel være innafor å spørre om på eksamen. 
\end{oppgave}
\end{comment}



\clearpage


La oss begynne med noe enkelt og nyttig.\footnote{\url{https://www.mn.uio.no/fysikk/personer/vit/johask/elektromagnetisme.pdf}}

\begin{oppgave}{6}
Skriv opp Maxwells likninger på differensialform.\footnote{Rene 
Descartes likte visst å ligge og dra seg til langt ut på morgenkvisten,
for det var da han tenkte best.
\url{https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/26291552/}}
Vis at dersom feltene er statiske 
(altså ingen endring i tid)
blir likningssettet dekoblet: 

\begin{minipage}{70mm}
\begin{align*}
\nabla \cdot \V E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\[1mm]
\nabla \times \V E &=\V 0 
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{align*}
\nabla \cdot \V B &= 0 \\[1mm] 
c^2\nabla \times \V B &= \frac{\V J}{\epsilon_0}  
\end{align*}
\end{minipage}

\end{oppgave}

Dersom du er et sted i rommet der det ikke er noen 
gitt ladningstetthet ($\rho=0$) eller strømtetthet ($\V J=\V 0$),
sier vi som sagt at vi er i \textbf{tomt rom}.
Nå finnes det et vanskelig teorem som sier at under noen milde glatthetsbetingelser 
er et rotasjonsfritt vektorfelt alltid konservativt:

\[
\nabla \times \V E= \V 0\hspace{10mm} \Longrightarrow \hspace{10mm}\V E=-\nabla \phi
\]

Med andre ord er det implisert av Gauss' lov for magnetisme 
at et stasjonært elektrisk felt er konservativt. 
Forhåpentligvis husker du at du har verifisert dette for coulombfeltet i TMA4111.

\begin{oppgave}{7}
Nå kan du utlede at 
i tomt rom er 
spenningen $\phi$ harmonisk når 
feltene er stasjonære. 
\end{oppgave}

Løsninger av Laplaces likning kalles \textbf{harmoniske funksjoner}, 
og spenningen til et elektrostatisk felt i tomt rom er altså en harmonisk funksjon. 
Dersom rommet ikke er helt tomt,
tilfredsstiller spenningen Poissons likning,
som er en inhomogen variant av Laplaces likning:\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Electrostatics}}
\[
\Delta \phi   = - \frac{\rho}{\epsilon_0}
\]

\begin{oppgave}{8}
    Sjekk at du er enig 
    i at resonnementet fra oppgave 5 funker like godt for Poissons likning.
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.21]{../figurer/L1007825-Pano.jpg}
\end{center}

Utledningen av løsningsformler 
for partikkel-i-boks, 
bølgelikning for streng og varmestang 
har en analog for harmonisk funksjon på plate. 
Matematikken er identisk,
det er bare fysisk tolkning som er litt uvant. 

\begin{oppgave}{9}
Utled at løsningen til Laplaces likning
\[
V_{xx}+V_{yy}=0,
\]
på rektangelet $[0,\pi] \times [0,\pi]$ med randkrav 
\[
V(x,0)=V(0,y)=V(\pi,y)=0
\]
og
\[
V(x,\pi)=f(x).
\]
er
\[
V(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sinh ny \sin nx,
\]
der
\[
A_n=\frac{1}{\pi \sinh n\pi}  \int_{0}^\pi f(x) \sin nx\; dx,
\]
og forklar hva dette er en modell for.
Plott løsningen over i python eller matlab for $f(x)=1$. 
Plottet bør se ut omtrent som min vakre figur over.
\end{oppgave}

Hvis du studerer plottet du laget over 
eller trommeskinnet på første side,
vil kanskje se at harmoniske funksjoner har pene egenskaper.
Egenskapene under kalles \say{middelverdisatsene for harmoniske funksjoner}.

\begin{oppgave}{10}
Vis at for harmoniske funksjoner gjelder at 
\[
u(x)=\frac{1}{4\pi r^2} \iint_{\partial\Omega} u \; dS
\]
der $x \in \mathbb R^3$ og $\Omega$ er en kule sentrert i $x$ og med vilkårlig radius $r$.
\end{oppgave} 

\begin{oppgave}{11}
Bruk oppgaven over til å vise at også 
\[
u(x)=\frac{3}{4\pi r^3} \iiint_{\Omega} u \; dx
\]
der $x \in \mathbb R^3$ og $\Omega$ er en kule sentrert i $x$ og med vilkårlig radius $r$.
\end{oppgave} 

Tilsvarende resultater gjelder i $\mathbb R^2$,
men bevisene er penest i $\mathbb R^3$.
Av middelverdisatsene følger maksverdisatsen, 
som sier at en funksjon som er harmonisk på 
$ \Omega$ alltid tar maksimums- 
og minimumsverdier på $\partial \Omega$.

\begin{oppgave}{12}
    Utled dette. 
\end{oppgave} 

\clearpage

Harmoniske funksjoner er rotasjonsinvariante. 
Dette betyr at om du roterer koordinatsystemet ditt, 
vil de rene andrederiverte fortsatt summere til null. 
Dette kan vi vise ved en totrinnsprosess.

\begin{oppgave}{13}
La $A$ og $B$ være kvadratiske matriser, og $x$ en vektor. 
Vis at skalarproduktet mellom $Ax$ og $Bx$ kan skrives
\[
\left(Ax,Bx\right) = 
\left(Ax\right)^T\left(Bx\right) = 
x^TA^TBx = 
\sum_{i}
\left(
\sum_{k}
a_{ki}x_i
\left(\sum_{j}
b_{kj}x_j
\right)
\right)
\]
(Hint: Husk på formelen for kvadratisk form
\[
x^TCx = \sum_j \sum_k c_{jk} x_j x_k
\]
samt formelen for komponentene i matriseprodukt $c_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
La $A$ være en kvadratisk matrise, og la  $x=Ay$. 
Vis at 
\[
\Delta_y=
\sum_{i}
\left(
\sum_{k}
a_{ki}\frac{\partial }{\partial x_i}
\left(\sum_{j}
a_{ji}\frac{\partial }{\partial x_j}
\right)
\right)
=
\nabla^T_xA^TA\nabla_x 
\]
Hva skjer dersom $A$ er en rotasjonsmatrise?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{15}
Vis at laplaces  likning blir 
\[ 
\frac{2}{r}u_r+u_{rr}+
\frac{1}{r^2\sin^2\phi}u_{\phi \phi}+
\frac{1}{r^2\tan\theta}
u_{\theta}+
\frac{1}{r^2}
u_{\theta\theta}=0
\]
i kulekoordinater.
\end{oppgave}

Siden harmoniske funksjoner er rotasjonsinvariante, 
gir det mening å lete etter spesielle løsninger som 
kun avhenger av distansen $r = \|\V x\|$ fra origo. 
Potensialet til coulombfeltet er det eksempel på hva man kan 
finne på dette viset. 

\begin{oppgave}{16}
Prøv. Ser du en interessant forskjell mellom $\mathbb R^2$ og $\mathbb R^3$?
\end{oppgave}

\begin{comment}
\clearpage

Og du kan diskretisere laplaces likning slik:
\[
0 =\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}  + \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h^2}  
\]
Man får en likning for hvert indre gitterpunkt,
og hvis man organiserer de ukjente i en kolonnevektor, 
får man et likningssystem på formen 
\[
A\V u = f
\]
der $f$ er en vektor med randverdier.
 

\begin{center}
\hspace*{-3em}
\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[->] (-1.2,-1) -- (4,-1) node[right]{$x$};
\draw[-] (-1.2,2) -- (4*.6,2) ;
\draw[->] (-2*.6,-1) -- (-2*.6,3) node[right]{$y$};
\draw[-] (4*.6,-1) -- (4*.6,2) ;


\draw[line width = 1mm] (4*.6,-.95) -- (4*.6,-1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,-.95) -- (2*.6,-1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (2*.6,-.95) -- (2*.6,-1.05) node[below]{$x_i=ih$};
\draw[line width = 1mm] (-2*.586,) -- (-2*.614,1) node[left]{$y_j=jh$};

\draw[line width = 1mm] (0,-.95) -- (0,-1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,-.95) -- (-2*.6,-1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,.05) -- (4*.6,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,.05) -- (2*.6,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,.05) -- (0,-.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,.05) -- (-2*.6,-.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,.95) -- (4*.6,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,.95) -- (2*.6,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,.95) -- (0,1.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,.95) -- (-2*.6,1.05) ;

\draw[line width = 1mm] (4*.6,1.95) -- (4*.6,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (2*.6,1.95) -- (2*.6,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (0,1.95) -- (0,2.05) ;
\draw[line width = 1mm] (-2*.6,1.95) -- (-2*.6,2.05) ;


\end{tikzpicture}
\end{center}



\begin{oppgave}{16}
Finn matrisen $A$, 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
Løs problemet
\[
u_{xx}+u_{yy}=0
\]
på rektangelet $[0,1] \times [0,1]$ med randkrav 
\[
u(x,0)=u(0,y)=u(1,y)=0
\]
og
\[
u(x,1)=f(x).
\]
\end{oppgave}

\clearpage

\section*{UKENS NØTTER}

\begin{oppgave}{1}
Det er mulig å utlede Poissons formel 
\[
u(r,\theta)=\frac{a^2-r^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(r\cos \theta,r\sin \theta)}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}\; d\phi
\]
for randverdiproblemet
\begin{align*}
\nabla^2 u(\V x)=0\quad \V x \in  \Omega\\
u(\V x)=f(\V x) \quad \V x \in \partial \Omega
\end{align*}
der $\Omega$ er en sirkelskive med radius $a$, sentrert i origo. 
Bruk Poissons formel og en numerisk integrasjonsrutine til å plotte 
$u$ når $a=1$ og $f(\cos\theta,\sin \theta)=\sin^2\theta$.
\end{oppgave}


Til slutt et problem som er vanskelig og kjedelig, 
og jeg vet ikke om vi får bruk for det. 
Men vi slenger det nå med. 
Det kalles halvplanproblemet,
nemlig å løse Laplaces likning med randkrav 
\begin{equation*}
\lim_{x \to \pm \infty} u(x,y)=\lim_{y \to \infty} u(x,y)=0
\end{equation*}
og 
\begin{equation*}
u(x,0)=f(x),
\end{equation*}
der 
\begin{equation*}
\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0.
\end{equation*}

\begin{oppgave}{3}
Kopier tilsvarende løsning for varmelikningen,
og utled formelen
\[
u(x,y)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(v) \frac{y}{(x-v)^2+y^2}\; dv.
\]
\end{oppgave}

\end{comment}

\end{document}
