\input{preamble}

\title{4 - 7 - TESTEKSAMENSSETT}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall
%svein har prøvd nelder-mead og det funker visst aldri

\maketitle

\begin{oppgave}{1}
    Utled det eksplisitte endeligdifferanseskjemaet 
    \[
        \frac{u_{i,j+1}-u_{ij}}{k} =\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}  \qquad \quad 
    \]
    for varmelikningen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    Regn ut 
    \[
        \int_\Gamma \sin \left( \frac{1}{z} \right) \; dz 
    \]
    der $\Gamma$ er enhetssirkelen i det komplekse planet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
    Skriv opp Maxwells likninger og utled Poissons 
    likning fra antagelsen om statisk tilfelle. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Vis at laplaceoperatoren blir
\[ 
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\]
i polarkoordinater.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
    Utled d'Alemberts løsning
    \[
        u(x,t)= \frac{1}{2}\left(f(x+ct)+f(x-ct)\right)+\frac{1}{2c}\int^{x+ct}_{x-ct} g(t)\; dt.
    \]
    av bølgelikningen på $\mathbb R \times (0,\infty)$ med initialkrav 
    \begin{align*}
        u(x,0) = f(x)    \hspace*{10mm}
        u_t(x,0) = g(x).
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Finn SVD-faktoriseringen til  
    \[
        A=
        \left(\;
        \begin{matrix}
        1 & 0 & 1\\  
        0 & 1 & 1
        \end{matrix}
        \;\right).
    \] 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
    La 
    \[
        A=
        \left(\;
        \begin{matrix}
        2 & 1 \\  
        1 & 2 
        \end{matrix}
        \;\right).
    \] 
    Finn en matrise $P$ slik at $P^TAP$ er diagonal og kolonnene i $P$ er $A$-ortogonale.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    Vis at løsningen $\V x$ til det lineære likningssystemet $A\V x = \V b$ 
    er et kritisk punkt for funksjonen 
    \[
        V(\V x) = \frac{1}{2}\V x^TA\V x - \V x^T \V b 
    \]
    dersom $A$ er symmetrisk og positiv definitt. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
    Finn kondisjonstallet til matrisen 
    i oppgave 7.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
    Vis at spektralradien til en matrise ikke tilfredsstiller aksiomene for lengde.
\end{oppgave}


\end{document}
