<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{3 - 6 - OPTIMERING}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle

Vi er nÃ¥ i stand til Ã¥ gÃ¥ tilbake til der vi startet, 
nemlig klassifisering av ekstremalpunkter. 
Hessematrisen er symmetrisk dersom $f$ er deriverbar,
og nÃ¥ vet vi at hessematrisen derfor er ortogonalt diagonaliserbar.
Dersom alle egenverdiene til hessematrisen er positive,
sier vi at matrisen er positivt definitt.

\begin{oppgave}{16}
Har vi da et maksimums- eller minimumspunkt?
\end{oppgave}

Tilsvarende gjelder for negativt definitt. 
Dersom noen egenverdier er positive og noen negative, 
har vi sadelpunkt. 

La oss avslutte med en siste anvendelse av symmetriske matriser og kvadratiske former. 
Normalfordelingen i flere variable er gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\|2\pi\Sigma\|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right) 
\]
der $\Sigma$ kovariansmatrisen mellom komponentene i $X$. 
Denne matrisen er alltid symmetrisk, 
og man kan merke seg at innmaten i eksponensialfunksjonen er en kvadratisk form. 
Derfor er det mulig Ã¥ skissere nivÃ¥kurvene til ormalfordelingen ved Ã¥ vite litt om geometrien til kvadratiske former.

\begin{oppgave}{17}
NivÃ¥kurvene er visst alltid ellipser. 
Vis dette.
\end{oppgave}


\begin{comment}
\end{comment}
\begin{oppgave}{6}
En ellipse med halvakser $a=\frac{1}{2}$ og $b=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 
rotert $\pi/4$ radianer i forhold til koordinataksene, 
tilfredsstiller likningen
\[
6(x_1+x_2)^2+2(x_1-x_2)^2=3.
\]
og har parametrisering
\[
\mathbf x(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\ \cos(t+\pi/3)\end{pmatrix}
\]
Et romskip beveger seg langs denne trajektorien i $(x_1,x_2)$-planet. 
Finn det punktet der gravitasjonspotensialet er stÃ¸rst.\\
 \end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.32]{../figurer/img20210601_15221299}
\end{center}


Oppgaven over kan lÃ¸ses pÃ¥ mange forskjellige mÃ¥ter. 
Du kan fÃ¥ den til bare med Ã¥ tenke litt logisk,
og sÃ¥ bruke det du vet om cosinusfunksjonen. 
Men den kan ogsÃ¥ gjÃ¸res med noe som kalles Lagranges
multiplikatormetode.
La oss ta en titt pÃ¥ dette. 

La oss si at du gÃ¥r pÃ¥ fjellet gitt av $z=f(x,y)$ og at gps-tracken din er gitt av en kurve med likning $g(x,y)=0$.
I figuren under er en person ute og gÃ¥r pÃ¥ GrÃ¥kallen. 
Ekvidistanselinjene pÃ¥ kartet er nivÃ¥kurvene til $f$, 
og vedkommende gÃ¥r en elliptisk tur gitt av den oransje kurven. 
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/tur}
\end{center}
\end{figure}

\begin{oppgave}{7}
Forklar ved hjelp av figuren at for det hÃ¸yeste punktet pÃ¥ turen,
bÃ¸r gradientene til $f$ og $g$ vÃ¦re parallelle,
altsÃ¥ at 
\[
\nabla f=\lambda \nabla g
\]
for en konstant $\lambda$.\\
(Hint: se nÃ¸ye pÃ¥ ekvidistanselinjene, og husk pÃ¥ kjerneregelen.)
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{8}
Du gÃ¥r pÃ¥ fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
langs med trajektorien gitt ved $(x-1)^2+(y-1)^2=1$. 
Finn det hÃ¸yeste punktet pÃ¥ turen din.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{9}
Finn et uttrykk for fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
sin skjÃ¦ringskurve med $(x,y)$-planet. Hva slags kurve er det?
Finn en parametrisering!
\end{oppgave}

\clearpage



\begin{minipage}{10cm}
La oss si at du stÃ¥r pÃ¥ toppen av et fjell gitt av $\mathbf x: \mathbb R \to \mathbb R^2$.

\begin{oppgave}{10}
Hva er $\nabla f$ pÃ¥ toppen?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Hva er $\nabla f$ i bunnen av krateret i en vulkan?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Hva er $\nabla f$ i et sadelpunkt mellom to fjelltopper?
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/L9996682}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/M1007127-Pano}
\end{center}

\begin{oppgave}{13}
Utled Taylors andreordens formel for en funksjon fra $\mathbb R^n$ til $\mathbb R$:
\[
f\left(\mathbf x+ \mathbf h\right)\approx f(\mathbf x)+\nabla f\left(\mathbf x\right)\cdot \mathbf h + \mathbf h^T\mathbf H(\mathbf x)\mathbf h
\]
der 
\[
\mathbf H(\mathbf x)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} &amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} &amp; \cdots&amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} &amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} &amp; \cdots&amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ 
\vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} &amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_2} &amp; \cdots&amp;\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ 
\end{pmatrix}
\]
(Hint: Send en rett linje gjennom $\mathbf x$ i retning $\mathbf h$ og bruk kjerneregelen.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
Det neste leddet er av orden $\|\mathbf h\|^3$,
men det griseriet skal du spares for Ã¥ utlede.
Sett ord pÃ¥ dine fÃ¸lelser om hvordan hessematrisen $\mathbf H$ kan brukes til Ã¥ finne ut om et kritisk punkt er et maksimums-, minimums- eller sadelpunkt. 
\end{oppgave}




%Vi kan fortsette Ã¥ derivere. 
%Det finnes fire andrederiverte, 
%hvorav to er rene:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x^2}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y^2},
%\]
% og to er blandede:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y \partial x}.
%\]
%De to siste er identiske dersom de er kontinuerlige,
%men det finnes patologiske eksempler der de ikke er like.
%Dette skal vi se pÃ¥ senere, 
%nÃ¥ skal vi bare fÃ¥ til Ã¥ derivere.
\end{document}
</pre></body></html>