\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 9 -  ANALYSENS FUNDAMENTALTEOREM III - LF}
%primtall

\maketitle







\begin{oppgave}{6-9}
Merk at her er det to valg - 
vi kan la enhetsnormalvektoren peke den andre veien: 
\begin{align*}
	\int_\Gamma f \cdot N ds = 
	\int_a^b f(x(t)) \cdot N(t)|\dot x(t)|\; dt =
	\int_a^b -f_1(x(t))\dot x_2(t) + f_2(x(t))\dot x_1(t) \; dt 
\end{align*}
I så fall bytter man bare fortegn på hele greia
og måler fluksen motsatt vei over $\Gamma$. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
	Her blir fluksen null.
	Venstresiden i 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega 
		\frac{\partial f_1}{\partial x_1} + 
		\frac{\partial f_2}{\partial x_2}
		=
		\int_{\partial \Omega} f^T N ds
	\end{align*}
	er jo null siden integranden er det. 
	Vi dobbeltsjekker ved å regne ut fluksen.
	Parametriseringen for sirkelen er  
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix}
			x_1\\
			x_2
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			1\\
			1
		\end{pmatrix}
		+
		\begin{pmatrix}
			\cos t\\
			\sin t
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	og enhetsutnormalvektoren er 
	\begin{align*}
		N
		=
		\begin{pmatrix}
			\cos t\\
			\sin t
		\end{pmatrix},
	\end{align*}
	slik at fluksen blir 
	\begin{align*}
		\int_{\partial \Omega} f^T N ds
		= 
		\int_{0}^{2\pi}
		(1+\sin t)\cos t \; dt = 0.	
	\end{align*}	
\end{oppgave} 


\begin{oppgave}{11-12}
	Dersom strømningsfeltet er konservativt, 
	er det gradienten til et skalarfelt, 
	og dersom skalarfeltet er harmonisk, 
	er divergensen til flytfeltet null, 
	slik at væsken er inkompressibel. 
	Det er også lett å sjekke at rotasjonen til en gradient er null, 
	så litt forenklet kan vi si at gradienten til en harmonisk funksjon er 
	en modell av inkompressibel og rotasjonsfri væskeflyt. 
	Ikke en spesielt bra modell kanskje, 
	men i gamle dager var det det de hadde. 
\end{oppgave} 

\end{document}
