\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 8 -  ANALYSENS FUNDAMENTALTEOREM II}
%primtall

\maketitle

\begin{comment}
jacobimatrisen til en funksjon $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.
\begin{align*}
 f'
=
\left( \;
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\[3mm]
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{matrix}
\; \right)  
\end{align*}
Arbeidshesten vår skal være 
et lite rektangel med hjørner i 
$(x_1,x_2)^T$,
$(x_1+h_1,x_2)^T$,
$(x_1,x_2+h_2)^T$ og 
$(x_1+h_1,x_2+h_2)^T$.

\end{comment}
\begin{oppgave}{1}
	Parametriseringen for den rette linjen fra 
	$(x_1,x_2)^T$ til 
	$(x_1+h_1,x_2)^T$ kan for eksempel settes opp slik
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix}
			x_1\\
			x_2
		\end{pmatrix}
		+t
		\begin{pmatrix}
			h_1\\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	og la $t \in [0,1]$. 
	De andre går på samme måte. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2-3}
	Disse gjorde jeg ganske nøye i forelesning den 8. oktober. 
	Dessuten passer de ikke å gi på eksamen, 
	de er der mer for å gi konseptuell forståelse.
\end{oppgave} 


\begin{oppgave}{4}
	En bortadgående laminær vannstrøm utøver en kraft 
	gitt ved 
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\left( \;
		\begin{matrix}
		x_2 \\
		0
		\end{matrix}
		\; \right).
	\end{align*}
	Vi får vel begynne med å parametrisere sirkelen slik: 
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix}
			x_1\\
			x_2
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			1\\
			1
		\end{pmatrix}
		+
		\begin{pmatrix}
			\cos t\\
			\sin t
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	og beregne tangentvektoren:
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix}
			\dot x_1\\
			\dot x_2
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			-\sin t\\
			\cos t
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	og beregne arbeidet: 
	\begin{align*}
		W = \int_{\partial \Omega} f\cdot ds = 
		\int_{0}^{2\pi} 
		(1+\sin t)(-\sin t)\; dt 
		=
		-
		\int_{0}^{2\pi} 
		\sin^2 t\; dt =-\pi
	\end{align*}
	Beregner vi høyresiden i Greens teorem 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega 
		\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
		\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
		=
		\int_{\partial \Omega} f\cdot  ds
	\end{align*}
	istedet, 
	får vi dobbeltintegralet 
	\begin{align*}
		-\iint_\Omega \; dx = -\pi
	\end{align*}
\end{oppgave} 


\begin{oppgave}{5}
	La 
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\begin{pmatrix}
			0 \\
			x_1
		\end{pmatrix}.
	\end{align*}
	Fra Greens teorem ser vi 
	\begin{align*}
		|\Omega|=
		\iint_\Omega 1\; dx=
		\iint_\Omega 
		\frac{\partial f_2}{\partial x_1} -
		\frac{\partial f_1}{\partial x_2}
		=
		\int_{\partial \Omega} f \cdot ds = 
		\int_a^b x_1(t)\dot x_2(t)\; dt.
	\end{align*}
	Likeledes gir vektorfeltet
	\begin{align*}
		f(x) = 
		\begin{pmatrix}
			-x_2 \\
			0
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	at 
	\begin{align*}
		|\Omega|=
		-\int_a^b x_2(t)\dot x_1(t)\; dt.
	\end{align*}
	Arealet omsluttet av asteroiden blir 
	\begin{align*}
		3\int_0^{2\pi} \cos^4 t \sin^2t\; dt.
	\end{align*}
	Dette ser grisete ut, 
	men er faktisk veldig kjapt å ta med Eulers formel, 
	siden 
	\begin{align*}
		\int_0^{2\pi} e^{int}\; dt = 0 
	\end{align*}
	så lenge $n\neq 0$ er et heltall. 
	Vi beregner først 
	\begin{align*}
		\cos^4 t \sin^2t 
		=&-\frac{1}{64}\left( e^{it} + e^{-it} \right)^4\left( e^{it} - e^{-it} \right)^2\\[2mm]
		=&-\frac{1}{64}\left( e^{4it} + 4e^{2it} + 6 + 4e^{-2it} + e^{-4it} \right)\left( e^{2it} - 2+e^{-2it} \right)\\[2mm]
	\end{align*}
	Alt unntatt konstantleddene i dette uttrykket kommer til å integrere til null, 
	så må bare samle opp dem, 
	og får følgelig
	\begin{align*}
		3\int_0^{2\pi} \cos^4 t \sin^2t\; dt = 
		-\frac{3}{64}\cdot \left( 4-6\cdot 2+4 \right) \cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8}.
	\end{align*}
\end{oppgave} 


\end{document}
