\input{preamble}

\title{3 - 6 - OPTIMERING}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle

Vi er nå i stand til å gå tilbake til der vi startet, 
nemlig klassifisering av ekstremalpunkter. 
Hessematrisen er symmetrisk dersom $f$ er deriverbar,
og nå vet vi at hessematrisen derfor er ortogonalt diagonaliserbar.
Dersom alle egenverdiene til hessematrisen er positive,
sier vi at matrisen er positivt definitt.

\begin{oppgave}{16}
Har vi da et maksimums- eller minimumspunkt?
\end{oppgave}

Tilsvarende gjelder for negativt definitt. 
Dersom noen egenverdier er positive og noen negative, 
har vi sadelpunkt. 

La oss avslutte med en siste anvendelse av symmetriske matriser og kvadratiske former. 
Normalfordelingen i flere variable er gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\|2\pi\Sigma\|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right) 
\]
der $\Sigma$ kovariansmatrisen mellom komponentene i $X$. 
Denne matrisen er alltid symmetrisk, 
og man kan merke seg at innmaten i eksponensialfunksjonen er en kvadratisk form. 
Derfor er det mulig å skissere nivåkurvene til ormalfordelingen ved å vite litt om geometrien til kvadratiske former.

\begin{oppgave}{17}
Nivåkurvene er visst alltid ellipser. 
Vis dette.
\end{oppgave}


\begin{comment}
\end{comment}
\begin{oppgave}{6}
En ellipse med halvakser $a=\frac{1}{2}$ og $b=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 
rotert $\pi/4$ radianer i forhold til koordinataksene, 
tilfredsstiller likningen
\[
6(x_1+x_2)^2+2(x_1-x_2)^2=3.
\]
og har parametrisering
\[
\mathbf x(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\ \cos(t+\pi/3)\end{pmatrix}
\]
Et romskip beveger seg langs denne trajektorien i $(x_1,x_2)$-planet. 
Finn det punktet der gravitasjonspotensialet er størst.\\
 \end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.32]{../figurer/img20210601_15221299}
\end{center}


Oppgaven over kan løses på mange forskjellige måter. 
Du kan få den til bare med å tenke litt logisk,
og så bruke det du vet om cosinusfunksjonen. 
Men den kan også gjøres med noe som kalles Lagranges
multiplikatormetode.
La oss ta en titt på dette. 

La oss si at du går på fjellet gitt av $z=f(x,y)$ og at gps-tracken din er gitt av en kurve med likning $g(x,y)=0$.
I figuren under er en person ute og går på Gråkallen. 
Ekvidistanselinjene på kartet er nivåkurvene til $f$, 
og vedkommende går en elliptisk tur gitt av den oransje kurven. 
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/tur}
\end{center}
\end{figure}

\begin{oppgave}{7}
Forklar ved hjelp av figuren at for det høyeste punktet på turen,
bør gradientene til $f$ og $g$ være parallelle,
altså at 
\[
\nabla f=\lambda \nabla g
\]
for en konstant $\lambda$.\\
(Hint: se nøye på ekvidistanselinjene, og husk på kjerneregelen.)
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{8}
Du går på fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
langs med trajektorien gitt ved $(x-1)^2+(y-1)^2=1$. 
Finn det høyeste punktet på turen din.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{9}
Finn et uttrykk for fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
sin skjæringskurve med $(x,y)$-planet. Hva slags kurve er det?
Finn en parametrisering!
\end{oppgave}

\clearpage



\begin{minipage}{10cm}
La oss si at du står på toppen av et fjell gitt av $\mathbf x: \mathbb R \to \mathbb R^2$.

\begin{oppgave}{10}
Hva er $\nabla f$ på toppen?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Hva er $\nabla f$ i bunnen av krateret i en vulkan?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
Hva er $\nabla f$ i et sadelpunkt mellom to fjelltopper?
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/L9996682}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/M1007127-Pano}
\end{center}

\begin{oppgave}{13}
Utled Taylors andreordens formel for en funksjon fra $\mathbb R^n$ til $\mathbb R$:
\[
f\left(\mathbf x+ \mathbf h\right)\approx f(\mathbf x)+\nabla f\left(\mathbf x\right)\cdot \mathbf h + \mathbf h^T\mathbf H(\mathbf x)\mathbf h
\]
der 
\[
\mathbf H(\mathbf x)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ 
\end{pmatrix}
\]
(Hint: Send en rett linje gjennom $\mathbf x$ i retning $\mathbf h$ og bruk kjerneregelen.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
Det neste leddet er av orden $\|\mathbf h\|^3$,
men det griseriet skal du spares for å utlede.
Sett ord på dine følelser om hvordan hessematrisen $\mathbf H$ kan brukes til å finne ut om et kritisk punkt er et maksimums-, minimums- eller sadelpunkt. 
\end{oppgave}




%Vi kan fortsette å derivere. 
%Det finnes fire andrederiverte, 
%hvorav to er rene:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x^2}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y^2},
%\]
% og to er blandede:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y \partial x}.
%\]
%De to siste er identiske dersom de er kontinuerlige,
%men det finnes patologiske eksempler der de ikke er like.
%Dette skal vi se på senere, 
%nå skal vi bare få til å derivere.
\end{document}
