\input{preamble}

\title{3 - 7 - KOORDINATAVBILDNINGER I}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%husk numerisk integrasjon i to variable

\maketitle



\begin{oppgave}{1}
	Arealet blir $\pi ab$. 
	Jeg kommer ikke til å be deg om beregne envariable integraler på eksamen. 
\end{oppgave}




	\begin{oppgave}{2-1-4}
		Så lenge matrisen har full rang 
		blir bildet av enhetskvadratet alltid et parallellepiped med 
		sidekanter lik kolonnene i matrisen.
	\end{oppgave}
	\begin{oppgave}{2-5}
		Her er kolonnene lineært avhengige, 		
		så alle punktene på enhetskvadratet legger seg på den rette linjen fra origo til $(2,2)^T$.
	\end{oppgave}

	\begin{oppgave}{2-6}
		Dette blir enhetskvadratet dreid vinkelen $\alpha$ mot klokken, 
		om en rotasjonsakse som sitter i origo. 
	\end{oppgave}

	\begin{oppgave}{2-7}
		Vi har 
		\begin{align*}
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -2\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & 2\cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
			=2
			\begin{pmatrix}
				\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
		\end{align*}
		så denne dreier enhetskvadratet og strekker det med en faktor 2 i alle retninger. 
	\end{oppgave}
	\begin{oppgave}{2-8}
		Her ser vi at 
		\begin{align*}
		\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
			=
			\begin{pmatrix}
				2\cos \alpha & -\sin \alpha \\
				2\sin \alpha & \cos \alpha \\
			\end{pmatrix}
			\begin{pmatrix}
				2 & 0 \\
				0 & 1 \\
			\end{pmatrix}
		\end{align*}	
		så denne strekker med en faktor 2 i $x_1$-retningen 
		og dreier så vinkelen $\alpha$ mot klokken. 
	\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
	Her er det bare å ta determinanten av matrisene. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
	Så $\Omega$ er parallellepiped,
	og vi kunne i og for seg delt integralet i tre slik: 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\int_0^1
		\int_{x_1/2}^{2x_1}x_1x_2\; dx_2dx_1 
		+
		\int_1^2
		\int_{x_1/2}^{x_1/2+3/2}x_1x_2\; dx_2dx_1 
		+
		\int_2^3
		\int_{2x_1 - 3/2}^{x_1/2+3/2}x_1x_2\; dx_2dx_1,
	\end{align*}
	men dette er jo litt knotete. 
	Vi kan heller observere at koordinattransformasjonen fra 
	oppgave 2-1 tar enhestkvadratet til $\Omega$, 
	så om vi trøkker funksjonsverdiene inn på enhetskvadratet med transformasjonen 
	$Ax$ og tar volumet under dem må vi gange med 3 for å kompensere: 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		3\int_0^1
		\int_0^1(2x_1+x_2)(x_1+2x_2)\; dx_2dx_1
	\end{align*}
\end{oppgave}
\begin{oppgave}{5}
	Samme greia her, 
	men rotasjonsmatrisen strekker ikke areal, 
	så det er nok å bare evaluere den ideelle gasslov i 
	de roterte koordinatene: 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\int_0^1
		\int_0^1
		(x_1\cos(\pi/6)- x_2\sin(\pi/6))
		(x_1\sin(\pi/6)+ x_2\cos(\pi/6))
		\; dx_2dx_1 
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
	Diamanten er bildet av enhetskvadratet under den \textbf{affine avbildningen}
	\begin{align*}
		y = \sqrt{2} R(\pi/4) x - (1,1)^T/2 
	\end{align*}
	der $R(\pi/4)$ er matrisen som roterer $\pi/4$ mot klokken
	(en affin avbildning er en lineæravbildning pluss en konstant).
	Eventuelt kunne vi kjørt enhestkvadratet flytta litt ned, 
	og justert med integralgrensene slik: 
	\begin{align*}
		\sqrt{2}
		\iint_\Omega f = 
		\int_{-1/2}^{1/2}
		\int_{-1/2}^{1/2}
		(x_1\cos(\pi/4)- x_2\sin(\pi/4))
		(x_1\sin(\pi/4)+ x_2\cos(\pi/4))
		\; dx_2dx_1 
	\end{align*}
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{7}
	Lureoppgave. 
	Vi har tidlig i semesteret funnet at 
	$g'(x) = A$ så jacobideterminanten til $g$ er determinanten til $A$.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{8}
	Vi beregner 
	\begin{align*}
		g'(r,\theta)=
	   \begin{pmatrix}
	   \displaystyle\frac{\partial g_1}{\partial r}(r,\theta)&
	   \displaystyle\frac{\partial g_1}{\partial \theta}(r,\theta)\\[4mm]
	   \displaystyle\frac{\partial g_2}{\partial r}(r,\theta)&
	   \displaystyle\frac{\partial g_2}{\partial \theta}(r,\theta)\\
	   \end{pmatrix}
	   =
	   \begin{pmatrix}
	   \cos \theta &
	   -r\sin \theta \\
	   \sin \theta &
	   r\cos \theta \\
	   \end{pmatrix}
	\end{align*}	
	og determinanten blir følgelig 
	\begin{align*}
		g'(r,\theta)=
		r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.
	\end{align*}
	Siden rektangelet $[0,1] \times [0,\pi/2]$ går til 
	enhetssirkelskivens bit i første kvadrant, 
	blir volumet
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\int_0^1 
		\int_0^{\sqrt{1-x^2}}
		x_1x_2\; 
		dx_2dx_1
		=
		\int_0^{\pi/2}
		\int_0^1 
		r^3\cos\theta \sin \theta \;
		drd\theta.
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{9}
	Dette blir likt som forrige oppgave, 
	men med litt andre integrasjonsgrenser. 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\int_{\pi/4}^{3\pi/4}
		\int_1^2 
		r^3\cos\theta \sin \theta \;
		drd\theta = 0.
	\end{align*}
	Her er en generisk figur:
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=.12]{../figurer/polar}
	\end{center}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
	Siden massetettheten $\rho$ er konstant, 
	får vi 
	\begin{align*}
		m= \rho \iint_\Omega = \rho \cdot |A|
	\end{align*}
	der $A$ er matrisen i lineæravbildningen. 
	Så må vi 
	integrere funksjonene 
	$x_1$ og $x_2$. 
	For eksempel er massesenteret til den tingen i 2-1 gitt ved 
	\begin{align*}
		\frac{1}{m}\iint_\Omega xf(x)\; dx = 
		\frac{1}{m}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				\displaystyle\iint_\Omega x_1f(x)\;dx \\[3mm]
				\displaystyle\iint_\Omega x_2f(x)\;dx 
			\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\frac{1}{3\rho}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				\displaystyle3\rho\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 2x_1 + x_2\;dx_2dx_1 \\[3mm]
				\displaystyle3\rho\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x_1 + 2x_2 \;dx_2dx_1 
			\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\left( \;
			\begin{matrix}
				3/2\\[1mm]
				3/2
			\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
	La oss si at kakestykket $\Omega$ ligger med 
	spissen i origo og går vinkelen $\alpha$ ut på hver side av $x_1$-aksen,
	har radius $a$ og
	massetetthet $\rho$. 
	Massen er $m = \rho\alpha a$, 
	og massesenteret blir 
	\begin{align*}
		\frac{1}{m}\iint_\Omega xf(x)\; dx = 
		\frac{1}{\rho\alpha a}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				\displaystyle\rho\int_{-\alpha}^{\alpha}\int_{0}^{a} r^2\cos\theta\;drd\theta \\[4mm]
				\displaystyle\rho\int_{-\alpha}^{\alpha}\int_{0}^{a} r^2\sin\theta \;drd\theta
			\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\frac{2a^2\sin\alpha}{3\alpha}
		\left( \;
			\begin{matrix}
				1\\[1mm]
				0
			\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
    Vi setter 
    \begin{align*}
    u(x) 
    = u(r\cos \theta, r\sin \theta) 
    = v(r,\theta)
    \end{align*}
    La oss først derivere litt. 
    Med hensyn på $r$ får vi 
    \begin{align*}
        \frac{\partial v}{\partial r} =&
        \frac{\partial u}{\partial x_1}\cos \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}\sin \theta 
    \end{align*}
    og
    \begin{align*}
        \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} =&
        \frac{\partial }{\partial r} 
        \left(
        \frac{\partial u}{\partial x_1}\cos \theta +
        \frac{\partial u}{\partial x_2}\sin \theta 
        \right)\\[2mm]
        =&
        \frac{\partial }{\partial x_1}\frac{\partial u}{\partial r} \cos \theta +
        \frac{\partial }{\partial x_2}\frac{\partial u}{\partial r} \sin \theta \\[2mm]
        =&
        \frac{\partial }{\partial x_1}\left( \frac{\partial u}{\partial x_1}\cos \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}\sin \theta  \right) \cos \theta +
        \frac{\partial }{\partial x_2}\left( \frac{\partial u}{\partial x_1}\cos \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}\sin \theta  \right) \sin \theta \\[2mm]
    \end{align*}
    Så deriverer vi med hensyn på $\theta$,
    og får 
    \begin{align*}
        \frac{\partial v}{\partial \theta} =&
        -\frac{\partial u}{\partial x_1}r\sin \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}r\cos \theta 
    \end{align*}
    og 
    \begin{align*}
        \frac{\partial^2 v}{\partial \theta^2} =&
        \frac{\partial}{\partial \theta}\left( -\frac{\partial u}{\partial x_1}r\sin \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}r\cos \theta  \right)\\[4mm]
        =&
        -\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial u}{\partial \theta}r\sin \theta +\frac{\partial }{\partial x_2}\frac{\partial u}{\partial \theta}r\cos \theta  -\frac{\partial u}{\partial x_1}r\cos \theta -\frac{\partial u}{\partial x_2}r\sin \theta \\[4mm]
        =&
        -\frac{\partial}{\partial x_1} \left( -\frac{\partial u}{\partial x_1}r\sin \theta \frac{\partial u}{\partial x_2}r\cos \theta  \right)r\sin \theta \\[2mm]
        &\hspace{10mm}+\frac{\partial }{\partial x_2}\left( -\frac{\partial u}{\partial x_1}r\sin \theta +\frac{\partial u}{\partial x_2}r\cos \theta  \right)r\cos \theta  \\[2mm]
        &\hspace{20mm}- \frac{\partial u}{\partial x_1}r\cos \theta -\frac{\partial u}{\partial x_2}r\sin \theta 
    \end{align*}
    Hvis du nå tar noen av disse og deler litt på noen $r$-er og setter dem sammen og gjør alle kanselleringene, 
    vil du se at 
    vil du se  at 
    \[ 
    \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
    \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}.
    \]
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{13}
	En klassiker!
	Siden
	\begin{align*}
		\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx \right)^2 =& \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_1^2}\; dx_1 \right)\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_2^2}\; dx_2 \right) \\[2mm]
	   =& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_1^2-x_2^2}\; dx_2 dx_1 \\[2mm]
	   =& \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2}\; rdr d\theta \\[2mm]
	   =& -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}  e^{-r^2}\biggr\rvert_{0}^{\infty} \; d\theta 
	   = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}  \; d\theta = \pi,
	\end{align*}
	må 
	\[
		 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}.
	\]
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{14}
	Denne her
	\[
		x= g(r,\theta)=
		\begin{pmatrix}
		ar\cos \theta \\
		br\sin \theta
		\end{pmatrix}
	\]
	tar rektangelet 
	$[0,1] \times [0,\pi/2]$ til den kvarte ellipseskiven. 
	Jacobideterminanten blir $abr$, 
	og volumet av grillhytten blir 
	\[
		\iint_\Omega f = 
		\int_0^1 
		\int_{0}^{\pi/2}
		(- 16r^2\cos^2 \theta - 12r^2\cos \theta \sin \theta - 2r^2\sin^2\theta + 16r\cos\theta + 18\sin\theta + 8)
		\;12rdrd\theta.
	\]
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{15}
	Du går en skitur på en øy gitt ved  
	\begin{align*}
		h(x)=1-x_1^2-x_1x_2-x_2^2	
	\end{align*}
	der $h(x)=0$ er havnivået. 
	Hva slags kurver er ekvidistanselinjene?
	Finn øyas totale volum.
	Koordinattransformasjonen 
	\begin{align*}
		\left( \;
		\begin{matrix}
			x_1\\
			x_2\\
		\end{matrix}
		\; \right)
		=
		\frac{1}{\sqrt{2}}
		\left( \;
		\begin{matrix}
			1 & -1\\
			1 & 1\\
		\end{matrix}
		\; \right)
		\left( \;
		\begin{matrix}
			y_1\\
			y_2\\
		\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*}
	avslører at 
	Setter vi dette inn for $x$ i funksjonen, 
	får vi 
	\begin{align*}
		f(x(y)) 
		&=1 - \frac{1}{2}\left( y_1-y_2 \right)^2
		-\frac{1}{2}\left( y_1-y_2 \right)\left( y_1+y_2 \right)
		- \frac{1}{2}\left( y_1+y_2 \right)^2\\[2mm]
		&=1-\frac{3}{2}y_1^2
		-\frac{1}{2}y_2^2
	\end{align*}		
	og setter vi denne lik en konstant, 
	får vi 
	\begin{align*}
		\frac{3}{2}y_1^2
		+\frac{1}{2}y_2^2 
		= 
		1-C,
	\end{align*} 
	som er ellipser. 
	På havnivået er $C=0$, 
	slik at vi får ellipsen med likning
	\begin{align*}
		\frac{3}{2}y_1^2
		+\frac{1}{2}y_2^2 
		= 
		1.
	\end{align*} 
	slik at halvaksene er $\sqrt{2/3}$ og $\sqrt{2}$.
	Lar vi $\Omega$ være området gitt ved 
	\begin{align*}
		\frac{3}{2}y_1^2
		+\frac{1}{2}y_2^2 
		\leq 
		1
	\end{align*} 
	tar koordinattransformasjonen 
	over oss fra rektangelet $[0,1] \times [0,2\pi]$ til $\Omega$, 
	og volumet av øyen blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\frac{2}{\sqrt{3}}
		\int_{0}^{2\pi}
		\int_{0}^{1}
		(1-r^2)\; rdrd\theta = \frac{\pi}{\sqrt{3}} 
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{16}
	Siden $\Omega$ er 
	området mellom parablene 
	\begin{align*}
	x_2=x_1^2, 
	\hspace*{10mm}
	x_2=2x_1^2,
	\hspace*{10mm}
	x_1=x_2^2 
	\hspace*{10mm}
	\text{og}
	\hspace*{10mm}
	x_1=2x_2^2.
	\end{align*}
	får vi vel prøve oss på noen nye koordinater $v_1$ og $v_2$ slik at 
	$v_1=1$ gir $x_2=x_1^2$,
	$v_1=2$ gir $x_2=2x_1^2$,
	$v_2=1$ gir $x_1=x_1^2$ og 
	$v_2=2$ gir $x_1=2x_1^2$.
	Dette lukter av likningene 
	\begin{align*}
		x_2 = v_1x_1^2 
		\hspace*{10mm}
		\text{og}
		\hspace*{10mm}
		x_1 = v_2x_2^2.
	\end{align*}
	Setter vi den første inn i den andre, 
	får vi 
	\begin{align*}
		x_1 = v_2v_1^2x_1^4,
	\end{align*}
	og setter vi den andre inn i den første, 
	får vi 
	\begin{align*}
		x_2 = v_1v_2^2x_2^4,
	\end{align*}
	slik at alt i alt er 
	\begin{align*}
		x=g(v)=
		\left( \;
		\begin{matrix}
			1/\sqrt[3]{v_1^2v_2} \\[2mm]
			1/\sqrt[3]{v_1v_2^2} 
		\end{matrix}
		\; \right)
	\end{align*} 
	en koordinattransformasjon som tar kvadratet 
	$[1,2] \times [1,2]$ til $\Omega$. 
	Så er det bare å brette opp ermene og beregne jacobideterminanten. 
	Først beregner vi 
	\begin{align*}
		g_1'(v)=
		\frac{-1}{3(v_1^2v_2)^{4/3}}
		\left(
			2v_1v_2, v_2^2  
		 \right)
		\hspace*{10mm}
		\text{og}
		\hspace*{10mm}
		g_2'(v)=
		\frac{-1}{3(v_1v_2^2)^{4/3}}
		\left( 
			v_1^2, 2v_1v_2
		 \right)
	\end{align*} 
	slik at jacobideterminanten blir 
	\begin{align*}
		|g'(v)| = 
		\frac{1}{3v_1^2v_2^2}.
	\end{align*}
	og integralet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f = 
		\int_1^2
		\int_1^2
		\frac{1}{v_1^3v_2^3}\; dx_2dx_1 = \frac{15^4}{16^5}.
	\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{17}
	Ellipsen er dreid $\pi/4$ radianer rundt origo.
    Koordinattransformasjonen
    \begin{align*}
        y_1 =& \frac{1}{\sqrt{2}}\left( x_1 - x_2 \right) \\
        y_2 =& \frac{1}{\sqrt{2}}\left( x_1 + x_2 \right) 
    \end{align*}
    er en ren rotasjon
    og ellipselikningen blir 
    \[
        \frac{y_1^2}{2}+2y_2^2 = 1
    \]
    som forteller oss at halvaksene er $\sqrt{2}$ og $1/\sqrt{2}$. 
    Videre ser 
    du forhåpentligvis at en fornuftig koordinattransformasjon er
    \[
        x (r,\theta)=
        \frac{1}{\sqrt{2}}
        \begin{pmatrix}
            1 & -1 \\
            1 & 1
        \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix}
            \sqrt{2}r\cos \theta \\
            \frac{r}{\sqrt{2}}\sin \theta
        \end{pmatrix}
        =
        \frac{r}{2}
        \begin{pmatrix}
            2\cos \theta - \sin \theta\\
            2\cos \theta + \sin \theta
        \end{pmatrix}.
    \]
    \begin{center}
        \includegraphics*[scale=.34]{../figurer/ellipsetransformasjon.png}
    \end{center}
    Vi beregner jacobideterminanten:
    \[
        \frac{\partial x_1}{\partial r} \frac{\partial x_2}{\partial \theta}-\frac{\partial x_2}{\partial r} \frac{\partial x_1}{\partial \theta} = r
    \]
    og integrerer:
    \begin{align*}
        \iint_D  f \; dx =&\int_0^1 \int_0^{2\pi} 
        \left( \frac{r}{2}\left( 2\cos \theta + \sin \theta \right) + 2\left(\frac{r}{2}\left( 2\cos \theta - \sin \theta \right)\right) +4 \right) \; rd\theta dr  \\
        &8\pi\int_0^1 r \; dr =  4\pi
    \end{align*}
\end{oppgave}







\end{document}
