\input{preamble}

\title{3 - 6 - DOBBELTINTEGRALER}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%husk numerisk integrasjon i to variable

\maketitle

%konvolusjonsteorem for laplace
%gjennomsnittsverdi


\begin{oppgave}{1}
	Volumet av en dreiing av sinuskurven mellom to nullpunkter er
	\begin{align*}
		\pi\int_{0}^{\pi} \sin^2 x\; dx = 
		\frac{\pi}{2}
		\int_{0}^{\pi} 1-\cos(2x)\; dx = \frac{\pi^2}{2}.
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
	Vi dreier enhetssirkelfunksjonen $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ og får 
	\begin{align*}
		2\pi\int_0^1 1-x^2\; dx = 2(1-\frac{1}{3}) = \frac{4\pi}{3}.
	\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
	For et vakkert volum:
	\begin{align*}
		\pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\; dx = \pi
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{4}
	Den krumme delen av randen er en kvart ellipse med likning 
	\begin{align*}
		\frac{x_1^2}{4^2}+
		\frac{x_2^2}{3^2} = 1
	\end{align*}
	og løser vi denne for $x_2$ og tar det positive rotutdraget, 
	får vi 
	\begin{align*}
		x_3 = \sqrt{3^2 \left( 1 - \frac{x_1^2}{4^2} \right)}
		= \frac{3}{4}\sqrt{ \left( 16 - x_1^2 \right)}.
	\end{align*}
	Takhøyden er $f(x)= x_1x_2$, 
	så kapper vi grillhytten i to parallelt med $x_2$-aksen,
	er arealet av tverssnittet gitt ved 
	\[
		A(x_1) = 
		\int_{0}^{\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
		x_1x_2
		\;dx_2.
	\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
	Volumet blir 
	\begin{align*}
		\int_0^4
		A(x_1) \; dx_1 =&  
		\int_0^4
		\left( 
		\int_{0}^{\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
		x_1x_2
		\;dx_2
		 \right)
		dx_1\\[2mm]
		=&
		\int_0^4
		\frac{1}{2}
		x_1x_2^2
		\biggr\rvert_{x_2=0}^{x_2=\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
		\;dx_1\\[2mm]
		=&
		\frac{9}{32}
		\int_0^4
		x_1\left( 16-x_1^2 \right)
		\;dx_1=30
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{6}
	Hvis du integrerer takhøyden $x_1x_2$ fra $x_1=0$ til $x_1=1$,
	får du tverrsnittet
	\begin{align*}
		A(x_2) = \int_{0}^{1}x_1x_2 \; dx_1 
	\end{align*}
	så motorsaga gikk horisontalt denne gangen. 
	Volumet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{1}x_1x_2 \; dx_1\right)dx_2\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x_1^2x_2\biggr\rvert_{x_1=0}^{x_1=1} \; dx_2\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x_2 \; dx_2=1.
	\end{align*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{7}
	Hvis du integrerer takhøyden $x_1x_2$ fra $x_2=0$ til $x_2=2$,
	får du tverrsnittet
	\begin{align*}
		A(x_1) = \int_{0}^{2}x_1x_2 \; dx_2 
	\end{align*}
	så motorsaga går vertikalt.
	Volumet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2}x_1x_2 \; dx_2\right)dx_1\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x_1x_2^2\biggr\rvert_{x_2=0}^{x_2=2} \; dx_1\\[2mm]
		=&
		2\int_{0}^{1}x_2 \; dx_2=1.
	\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{8}
	La oss først la saga gå vertikalt. 
	Hypotenusen i trekanten er gitt ved $x_2=2x_1$,
	så arealet av tverrsnittet blir 
	\begin{align*}
		A(x_1) = 
		\int_{0}^{2x_1} x_1x_2 \; dx_2,
	\end{align*}
	og volumet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x_1} x_1x_2 \; dx_2dx_1\\[2mm] 
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x_1x_2^2\biggr\rvert_{0}^{2x_1} \; dx_1\\[2mm] 
		=&
		2\int_{0}^{1} x_1^3 \; dx_1=\frac{1}{2}.
	\end{align*}
	Lar vi saga gå andre veien, 
	får vi tverrsnittsfunksjonen 
	\begin{align*}
		A(x_2) = 
		\int_{x_2/2}^{1} x_1x_2 \; dx_1,
	\end{align*}
	slik at volumet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{2}\int_{x_2/2}^{1} x_1x_2 \; dx_1dx_2\\[2mm] 
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x_1^2x_2\biggr\rvert_{x_1=x_2/2}^{x_1=1} \; dx_2\\[2mm] 
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \left( 1-\frac{1}{4}x_2^2 \right)x_2 \; dx_2=\frac{1}{2}.
	\end{align*}
\end{oppgave}

Her er en oppgave fra konten 2024: 

\begin{oppgave}{9}
	Vi beregner 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f =&
		\int_{0}^{3}
		\int_{0}^{4x_1/3}
		x_1^2+x_2^2+x_1x_2-3x_1-3x_2+3 \; dx_2dx_1 \\
		=&
		\int_{0}^{3}
		x_1^2\left( 4x_1/3 \right)+\frac{1}{3}\left( 4x_1/3 \right)^3+\frac{1}{2}x_1\left( 4x_1/3 \right)^2-3x_1\left( 4x_1/3 \right)-\frac{3}{2}\left( 4x_1/3 \right)^2+3\left( 4x_1/3 \right) \; dx_1 \\[2mm]
		=&
		\int_{0}^{3}
		\frac{4}{3}x_1^3+\frac{64}{81}x_1^3+\frac{8}{9}x_1^3-4x_1^2-\frac{8}{3}x_1^2+4x_1 \; dx_1 \\[2mm]
		=&
		\frac{1}{3}\cdot 3^4+\frac{16}{81}\cdot 3^4+\frac{2}{9}\cdot 3^4-\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{8}{9}\cdot 3^3+2\cdot 3^2 \\[2mm]
		=&
		27+16+18-36-24+18 = 19
	\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
	Her er det enklest å la saga gå horisontalt først. 
	Den ene skrå delen av randen har likning $x_2=x_1$, 
	og den andre har likning $x_2=2-x_1$, 
	så integralet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{1}\int_{x_2}^{2-x_2}x_1x_2 \; dx_1dx_2\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x_1^2x_2\biggr\rvert_{x_1=x_2}^{x_1=2-x_2} \; dx_2\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\Big( (2-x_2)^2 - x_2^2 \Big)x_2 \; dx_2=\frac{1}{3}.
	\end{align*}
	Går vi motsatt vei må vi dele opp integralet,
	så det blir litt mer herk:
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{1}\int_{0}^{x_1}x_1x_2 \; dx_2dx_1 + 
		\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x_1}x_1x_2 \; dx_2dx_1
		=\frac{1}{3}.
	\end{align*}
	Husk alltid å tegne opp, ellers er det lett å tenke feil.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
	Dette integralet går fint å sette opp i én smell, 
	men da må vi ha noen triks vi skal lære kommende uke. 
	I påvente av det, 
	må vi nesten sette det opp i to deler enten slik:
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=
		\int_{-1}^{0}\int_{-x_1-1}^{x_1+1}x_1x_2 \; dx_2dx_1+
		\int_{0}^{1}\int_{x_1-1}^{1-x_1}x_1x_2 \; dx_2dx_1
		=0
	\end{align*}
	eller slik:
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=
		\int_{-1}^{0}\int_{-x_2-1}^{x_2+1}x_1x_2 \; dx_1dx_2+
		\int_{0}^{1}\int_{x_2-1}^{1-x_2}x_1x_2 \; dx_1dx_2
		=0
	\end{align*}
	At integralene blir null, 
	får vi fra symmetrien til $\Omega$ og $f(x)=x_1x_2$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{12}
	Parabelen er surefjes og skjærer $x_1$-aksen i $x_1=\pm1$, 
	så volumet blir 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=
		\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x_1^2}x_1x_2 \; dx_2dx_1
		=0
	\end{align*}	
	Også her blir integralet null 
	på grunn av symmetrien til $\Omega$ og $f(x)=x_1x_2$.
	Integralet kan også settes opp slik: 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=
		\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{1-x_2}}^{\sqrt{1-x_2}}x_1x_2 \; dx_1dx_2
		=0
	\end{align*}	
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{13}
	Kurven $x_2 = 1-x_1^3$ skjærer $x_1$-aksen i $x_1=1$, 
	og $x_2$-aksen i $x_2=1$, 
	så volumet blir
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=&
		\int_{0}^{1}\int_0^{1-x_1^3}x_1x_2 \; dx_2dx_1\\[2mm]
		=&
		\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x_1(1-x_1^3)^2 \;dx_1
		=\frac{1}{14}
	\end{align*}	
	eller 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega f 
		=
		\int_{0}^{1}\int_0^{\sqrt[3]{1-x_2}}x_1x_2 \; dx_1dx_2
		=\frac{1}{14}.
	\end{align*}	
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{14}
	Her er integranden en kjegle med høyde $a$ (slik som du har på fotballbanen, 
	formet som en pyramidal ting med sirkulært tverrsnitt),
	og den skjærer $x_1x_2$-planet i en sirkel med radius $a$, 
	så volumet blir grunnflate ganger høyde,
	altså $\pi a^3/3$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{15}
	Dette er bare en halv kule med radius $a$, 
	så volumet blir $\frac{2\pi}{3}a^3$.
\end{oppgave}
\begin{oppgave}{16}
	En sylinder med høyde $a$ og grunnflate $\pi a^2$,
	så volumet blir $\pi a^3$.  
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{17}
	Hårete greier: 
	\[
		\iint_\Omega f \; dS = 
		\int_0^4 
		\int_{0}^{\frac{3}{4}\sqrt{(16 - x_1^2)}}
		- x_1^2 - x_1x_2 - 2x_2^2 + 4 x_1 + 6x_2 + 8
		\;dx_2dx_1
	\]
	så denne tar vi med et triks vi skal lære kommende uke. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{18}
	Siden $|x_1x_2|\leq 1$ på enhetskvadratet i $\mathbb{R}^2$,
	kan vi skrive 
	\begin{align*}
		\iint_\Omega \frac{dx}{1-x_1x_2} 
		=&
		\iint_\Omega\sum_{k=0}^{\infty} \left( x_1x_2 \right)^k dx\\[2mm]
		=&
		\sum_{k=0}^{\infty}\iint_\Omega \left( x_1x_2 \right)^k dx
		=
		\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+1)^2} dx = \frac{\pi^2}{6}. 
	\end{align*}
	At det i dette tilfellet går greit å bytte om rekkefølgen på sum og integral har vi ikke lært, 
	men pytt sann. 
	Vi er da ingeniører. 
\end{oppgave}
\end{document}
