\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 5 -  LINJEINTEGRALER}
%primtall

\maketitle

En av de tingene som er forvirrende med funksjoner fra
$\mathbb{R}^m$ til $\mathbb{R}^n$ er de mange integraltypene.
La oss nå begynne med de enkleste - linjeintegralene.

Denne uken leser vi kapittel 15.3-15.4 i Adams,
og gjør følgende oppgaver:

\begin{itemize}
    \item[15.3:] 1-15
    \item[15.4:] 1-10 og 15-19
\end{itemize}

\begin{comment}



Du kan også tenke at $f$ er taket i en hytte,
og at du har satt opp en vegg langs med kurven $\Gamma$.
I så fall blir linjeintegralet veggens totale areal.

\begin{oppgave}{919}
Et arkitektfirma har bygget stilig gapahuk med trekantet grunnflate.
Den har hjørner i origo,
$(1,0)$ og $(0,2)$,
og det krumme taket er gitt ved $f(x,y)=1+xy$.
Finn hytteveggens totale areal.
\end{oppgave}


For å finne arbeidet kraftfeltet $\mathbf F$ gjør på en partikkel som farer langs en trajektorie $\Gamma$, 
parametrisert av $\mathbf z(t)$,
må vi integrere opp kraftens komponent tangentielt med $\Gamma$:
\[
\mathbf F(\mathbf z(t))\cdot \mathbf T(t)=\mathbf F(\mathbf z(t))\cdot \frac{\dot{\mathbf z(t)}}{\dot{\|\mathbf z(t)}\|}
\]
I fysikken på videregående jobbet du stort sett under antagelsen at kraften var konstant,
i fast vinkel $\theta$ med bevegelsesretningen, 
og at bevegelsen var en rettlinjet bevegelse med lengde $s$,  
slik at arbeidet kunne defineres som 
\[
Fs\cos \theta.
\]
Arbeidet 
\[
\int_\Gamma \mathbf F\cdot \mathbf T \; ds=
\int_a^b\mathbf F(z(t))\cdot \frac{\dot{\mathbf z}(t)}{\dot{\|\mathbf z}(t)\|}\|\dot{\mathbf z}(t)\|\; dt=
\int_a^b\mathbf F(z(t))\cdot \mathbf z(t)\; dt
\]
er en generalisering av dette.
Merk hvordan lengdeelementet fra linjeintegralet kansellerer mot normaliseringsfaktoren i enhetstangentvektoren. 


\begin{oppgave}{121151}
Et fiktivt kraftfelt er gitt ved
\[
\mathbf F(\mathbf x)=\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|^3}
\]
Finn arbeidet som gjøres på en partikkel som reiser på sirkelsegmentet mellom punktene $(1,7)$ og $(5,5)$.
\end{oppgave}

Det er kronisk vanskelig å finne på realistiske fysikkoppgaver i
der man må regne linjeintegraler ved å faktisk utføre integralet i definisjonen.
Grunnen er at de vanligste kraftfeltene er konservative, 
og det er nemlig slik at  
\[
\int_\Gamma \mathbf F\cdot \mathbf T \; ds=
\int_a^b\mathbf F(z(t))\cdot \mathbf z(t)\; dt=
f(\mathbf z(b))-f(\mathbf z(a))
\]
dersom $\nabla f= \mathbf F$. 
Dette skal vi studere nøyere i neste semester.


\begin{oppgave}{151051}
Et fiktivt kraftfelt er gitt ved
\[
\mathbf F(\mathbf x)=\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|^3}
\]
Finn arbeidet som gjøres på en partikkel som reiser på en rett linje mellom punktene $(1,6)$ og $(5,5)$.
\end{oppgave}

\end{comment}

\end{document}
