<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 4 -  VÃ†R OG VIND OG KRAFT}
%primtall

\maketitle

I de to foregÃ¥ende ukene sÃ¥ vi pÃ¥ to helt nye funksjonstyper - funksjoner fra
$\mathbb R$ til
$\mathbb R^2$
og funksjoner fra
$\mathbb R^2$
$\mathbb R$.
NÃ¥ skal vi se pÃ¥ funksjoner fra  
$\mathbb R^2$
til
$\mathbb R^2$,
altsÃ¥ funksjoner som tar inn en vektor med to komponenter, 
og gir ut en vektor med to komponenter.
Slike funksjoner kalles \textbf{vektorfelt}.
Vi har sÃ¥ vidt vÃ¦rt borti dette allerede gjennom matrise-vektorproduktet,
for eksempel
\[
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11} &amp; a_{12} \\
a_{21} &amp; a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{pmatrix}
\]
Du var ogsÃ¥ borti dette nÃ¥ nettopp;
gradienten
\[
    f'\left( \mathbf{x} \right) = \left[ \frac{\partial f}{\partial x_1}\left( \mathbf{x} \right) , \frac{\partial f}{\partial x_2}\left( \mathbf{x} \right) \right]
\]
til et skalarfelt $f$ er en funksjon fra $\mathbb R^2$ til  $\mathbb R^2$ dersom $f$ er en funksjon fra $\mathbb R^2$ til  $\mathbb R$.

Men du har ogsÃ¥ vÃ¦rt borti dette nÃ¥r du har sett pÃ¥ vÃ¦rmeldingen.
VÃ¦rkartet med vindpilene kan du tenke pÃ¥ som en en funksjon der du putter inn en vektor med to komponenter
(lengde- og breddegrad)
og fÃ¥r ut en vektor med to komponenter
(vindretning med vindstyrke).
I matematikk og fysikk bruker vi lengde pÃ¥ pilene for Ã¥ indikere vindstyrken,
mens i vÃ¦rkart bruker man pilene til Ã¥ indikere vindretning,
og en spesiell hake pÃ¥ enden for Ã¥ indikere vindstyrke:\\[3mm]
\url{https://hjelp.yr.no/hc/no/articles/360002022134-Vindpiler-og-Beaufortskalaen}

For en mer livlig fremstilling,
kan du se her: \\[3mm]
\url{https://www.yr.no/artikkel/her-ser-du-verdas-vindar-akkurat-no-1.11584952}\\[5mm]

\begin{minipage}{47mm}
\includegraphics[scale=.445]{../figurer/vind}
\end{minipage}
\begin{minipage}{60mm}
\includegraphics[scale=.211]{../figurer/L1018477.jpg}
\end{minipage}

\clearpage

Vi kan begynne med en oppgave som kan lÃ¸ses med litt sunt bondevett.
Det sies at komponisten Harald SÃ¦verud hÃ¸rte gjennom alle Joseph Haydns 104 symfonier med LP-spilleren
pÃ¥ 45 istedet for 33 omdreininger uten Ã¥ merke at noe var galt.

\begin{oppgave}{1}
En LP-plate har diameter 12 tommer,
og roterer med $100/3$
omdreininger per minutt.
Finn et vektorfelt som beskriver hastigheten til et punkt pÃ¥ LP-platen. \\
(Sikkert lurt Ã¥ sette origo i midten av LP-platen.)
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{2}
HÃ¸yresiden i Lotka-VoltÃ¦rra-systemet er
\[
\mathbf F(x,y)=
\begin{pmatrix}
x(2-y) \\ y(x-1)
\end{pmatrix}
\]
LÃ¸s numerisk for noen forskjellige startverdier (dette gjorde du i TMA4101),
og plott lÃ¸sningene i samme figur som vektorfeltet: \\
\url{https://matplotlib.org/stable/gallery/images_contours_and_fields/quiver_simple_demo.html}
\end{oppgave}

Jeg synes ikke kapittel 15 i Adams fungerer sÃ¥ bra,
for disse tingene er helt utrolig mye lettere Ã¥ hÃ¥ndtere om man kan matriseregning,
og Adams er skrevet for et publikum som ikke kan matriseregning.
Men jeg har ikke funnet noen gode alternativer
(LindstrÃ¸m er altfor teknisk for oss,
og Kreyszig for knapp),
sÃ¥ vi fÃ¥r nesten leve med Adams dette semesteret.
Denne uken leser vi kapittel 15.1-2,
og gjÃ¸r fÃ¸lgende oppgaver:

\begin{itemize}
    \item[15.1:] 1-8
    \item[15.2:] 1-11
\end{itemize}

%\begin{comment}

\begin{center}
    \includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1020922.jpg}
\end{center}




\end{document}
</pre></body></html>