\input{preamble}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 4 -  OM VÆR OG VIND OG KRAFT - LF}

\maketitle

\begin{oppgave}{0}
    Øst-sørøstlig svak vind. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{1}
    Her er noen numeriske løsninger plotta oppå vektorfeltet -
    merk hvordan løsningstrajektoriene er parallelle med vektorfeltpilene:
\end{oppgave}
    \begin{center}\includegraphics[scale=.6]{../figurer/lotkavolterra-4}\end{center}

\begin{oppgave}{2}
    Dette er oppgave 2 på eksamen i TMA4106 våren 2025:\\
    \url{https://mortano.folk.ntnu.no/eksamen/}
\end{oppgave}





\begin{oppgave}{3}
\end{oppgave}

\begin{comment}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.18]{../figurer/eks_1.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.18]{../figurer/eks_2.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.18]{../figurer/eks_3.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.1809]{../figurer/eks_5.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.18]{../figurer/eks_6.jpg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{56mm}
    \includegraphics*[scale=.1865]{../figurer/eks_7.jpg}
\end{minipage}
\end{comment}



\begin{oppgave}{4}
    Her er konturplot og gradientfeltplot av fjellet på første side i forrige økt. 
    Merk hvordan gradientpilene står normalt på nivåkurvene. 
\end{oppgave}
    \begin{center}
        \includegraphics*[scale=.65]{../figurer/fjellet-2}
    \end{center}


\begin{oppgave}{5}
    De blandete partiellderiverte til et skalarfelt er like unntatt i patologiske unntak, 
    så du kan sjekke om 
    \begin{align*}
        \frac{\partial f_1}{\partial x_2}
        =
        \frac{\partial f_2}{\partial x_1}.
    \end{align*}
    Dersom dette er tilfelle er det bare å sette i gang og lete etter potensialfunksjon.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Det er to tidevannsbølger på jorden - 
    én fra solen og én fra månen. 
    Den fra månen dominerer, 
    men når månen, jorden og solen står på en rett linje 
    (sånn ca ved fullmåne og ingen måne), 
    kommer topp og bunn samtidig 
    og så blir det lavere fjære og høy flo. 
    Hvis du da har litt for kort fortøyning og ikke noe dragtau til land, 
    kan båten stikke av.
    Det gjorde vår båt en gang. 
    Den tok med seg hele fortøyningen og seilte av gårde!
    Selv en liten båt kan løfte en fortøyning på flere hundre kilo av sjøbunnen.    
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
    Hvis vi setter massene $m_1$ i origo, 
    $m_3$ i $r=1$ og $m_2$ i punktet $a$ der $0<a<1$,
    kan vi finne punktet der gravitasjonskreftene balanserer hverandre ved å 
    sette opp gravitasjonskreftene på $m_2$ fra $m_1$ og $m_3$ lik hverandre:
    \begin{align*}
        \frac{Gm_1m_2}{a^2}=
        \frac{Gm_1m_3}{(1-a)^2}
    \end{align*}
    Ganger vi opp med $a^2(1-a)^2$ og løser for $a$, 
    får vi 
    \begin{align*}
        a = \frac{2m_1\pm\sqrt{m_1m_3}}{2(m_1-m_3)}
    \end{align*}
    der den ene løsningen gir et punkt mellom origo og $r=1$
    der kreftene balanserer hverandre.
    Den andre gir et punkt bortenfor $r=1$
    der kreftene er like store men rettet samme vei. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
	Vi husker at 
    \begin{align*}
		u'(x)=
		-\frac{(x_1,x_2,x_3)}{\left( x_1^2+x_2^2+x_3^2 \right)^{3/2}}=
		-\frac{x^T}{|x|^{3}}
	\end{align*}
    så vi har altså at 
    \begin{align*}
		\nabla u(x)=
		-\frac{1}{\left( x_1^2+x_2^2+x_3^2 \right)^{3/2}}
        \begin{pmatrix}
            x_1\\
            x_2\\
            x_3\\
        \end{pmatrix}
        =
		-\frac{x}{|x|^{3}}
	\end{align*}

    \[
        {F}\left(  {x} \right) =
        -Gm_1m_2u'(x)^T.
     \]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{9}
    Det er ikke så lett å lage et pent plot av dette med vektorpiler, 
    for det elektriske feltet helt inners mot ladningen blir helt ekstremt sterkt. 
    Så her er et plot som ser veldig stygt ut og tar litt tid å bli vant med, 
    men det lyver ikke. 
    Ikke noe lagrangepunkt her nei. 
\end{oppgave}

    \begin{center}
        \includegraphics*[scale=.65]{../figurer/dipol-1}
    \end{center}


\begin{oppgave}{4}
    Dette er på en måte litt trivielt, 
    likningen
    \begin{align*}
        \dot q=p
    \end{align*}
    sier bare det samme som definisjonen av $p$ og $q$, 
    mens $l\ddot \theta + g\sin \theta=0$ gir 
    \begin{align*}
        \dot p=-\frac{g}{l}\sin q
    \end{align*}
    når du bytter ut $\theta$ med $q$ og
    $\dot \theta$ med $p$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
    Gradienten til 
    \begin{align*}
        L(p,q) = \frac{1}{2}p^2 + \cos q
    \end{align*}
    er 
    \begin{align*}
        L'(p,q) = (p, -\sin q)
    \end{align*}
    som er den transponerte til høyresiden i pendelsystemet. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{7}
    Dette tror jeg også Astrid skal gjøre på mandag. 
    Noen av vektorfeltene i oppgave 3 er konservative, 
    og noen av dem er ikke. 
\end{oppgave}






\begin{oppgave}{9}
    Lagrangefunksjonen 
    \begin{align*}
        L(p,q) = \frac{1}{2}p^2 - \frac{1}{2}q^2
    \end{align*}
    har en gradient som er den transponerte til 
    høyresiden i klossesystemet 
        \begin{align*}
            \dot q&=p\\
            \dot p&=-q
        \end{align*}
    \end{oppgave}

Dersom vi har luftmotstand som avhenger kvadratisk av farten, 
blir pendelsystemet
\begin{align*}
\dot q&=p\\
\dot p&=-\frac{g}{l}\sin q-ap|p|
\end{align*}
der $a$ er en konstant som avhenger av $l$ og formen på pendelen. 

\begin{oppgave}{10}
    Dersom du har luftmotstand 
    eller friksjon eller sånt,
    kan ikke vektorfeltet være konservativt. 
    Dette skal vi se i neste uke.  
\end{oppgave}
    \begin{center}
        \includegraphics*[scale=1]{../figurer/pendel-4}
    \end{center}







\begin{oppgave}{13}
    Feltet blir
    \[
        F(x)=
        \begin{pmatrix}
            0\\
            0 \\
            -mg
        \end{pmatrix}.
    \] 
    Dette feltet er konservativt, 
    og potensialet er $V(x) = mgx_3$, 
    som du kjenner fra skolen. 
\end{oppgave}






\begin{comment}

\section*{UKENS NØTTER}




Lagranges ide om å finne en funksjon slik at 
vektorfeltet er et gradientfelt, 
er litt snodig. 
Kvaternionenes oppfinner William Rowan Hamilton 
tenkte ut noe mye mer naturlig - 
la heller løsningene ligge på nivåkurvene til totalenergien $H(p,q)$ til systemet. 

\begin{oppgave}{1}
    Finn totalenergien til pendel og kloss.\\
    (Hamiltonfunksjonen fant du faktisk på eksamen i TMA4101.)
\end{oppgave}

Totalenergien kalles \textbf{hamiltonfunksjonen},
og vi skriver $H(p,q)$ for denne. 
Både pendelen og klossen er eksempler på noe som kalles \textbf{hamiltonsk system}:\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_system}
}
    \begin{align*}
        \dot q=\frac{\partial H}{\partial p}
        \hspace*{10mm}
        \dot p=-\frac{\partial H}{\partial p}
    \end{align*}


\begin{oppgave}{2}
    Vis at løsningen $(p,q)$ 
    ligger på en nivåkurve til $H$.\\ 
    (Hint: Deriver $H\Big ( p(t),q(t) \Big)$ med kjerneregelen.)
\end{oppgave}

Grunnen til at vi kalte operatoren på høyre side av den tidsuavhengige schrödingerlikningen 
\say{hamiltonoperatoren}, 
var at denne representerer totalenergien til partikkelen. 

\begin{oppgave}{3}
    Finn hamiltonfunksjon 
    for gravitasjonsfeltet fra en planet. 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
    Finn hamiltonfunksjon 
    for van der Pols likning\footnote{
        \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator}
    }
    $
        \ddot x + \mu(1-x^2)\dot x + x = 0.
    $
\end{oppgave}


Det sies ellers at komponisten Harald Sæverud
hørte gjennom alle Joseph Haydns 104 symfonier med LP-spilleren
på 45 istedet for 33 omdreininger uten å merke at noe var galt.
Dette ble visst oppklart da Sæverud ringte Jan Henrik Kayser i harnisk 
for å fortelle ham at hans nye innspilling av Sæveruds samlede pianoverker gikk altfor fort.

\begin{oppgave}{5}
En LP-plate har diameter 12 tommer,
og roterer med $100/3$
omdreininger per minutt.
Finn et vektorfelt som beskriver hastigheten til et punkt på LP-platen.
Hvorfor skal du aldri under noen omstendighet sette enn 230mm kappeskive på en 125mm vinkelsliper?
\end{oppgave}


\begin{center}
    \includegraphics*[scale=.3]{../figurer/L1020152}
\end{center}

\clearpage

Kombinerer vi Newtons andre lov med Newtons gravitasjonslov, 
får vi differensiallikningssystemet
\[
    \ddot x = 
   Gm\frac{ {x}}{| {x}|^3} 
\]
Dette kalles tolegemeproblemet og Newton selv fant ut at trajektoriene blir ellipser.

\begin{oppgave}{6}
Løs numerisk. 
Du kan selvfølgelig prøve å utlede at $x$ blir en ellipse, 
men det er ikke helt enkelt. 
\end{oppgave}

I oppgaven over er det antatt at stjernen står i ro og at planeten beveger seg.
I virkeligheten beveger begge seg.
Dersom posisjonen til stjernen og planeten  er $x$ og $y$,
får vi
\begin{align*}
\ddot{x}=Gm_2\frac{ x- y}{|x - y|^3} 
\hspace*{10mm}
\ddot{y}=Gm_1\frac{ y- x}{|x - y|^3}
\end{align*}


\begin{oppgave}{7}
Løs numerisk. (Hvis du setter $m_1 >> m_2$ kan du få et realistisk scenario. Solen er omtrent 333000 ganger så tung som jorden.)
\end{oppgave}

Fikk du til oppgaven over,
har du sett at jorden,
til tross for sin bitte lille masse,
får solen til å vagge litt frem og tilbake under sin gang gjennom rommet.\footnote{
    Det var slik de fant Neptun, 
    som ikke er synlig med det blotte øye. 
    Det var noe feil på vaggingen til Uranus, 
    og Urban le Verrier regnet ut så og si helt nøyaktig 
    hvor en mulig planet lenger ut kunne befinne seg:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Neptune}
}
Dersom det er flere enn to legemer, 
blir systemet umulig å løse analytisk. 
Det blir også kaotisk - det er umulig å spå oppførselen langt frem i tid, 
til tross for at solsystemet ser noenlunde stabilt ut.\footnote{
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/N-body_problem}
}

\begin{oppgave}{8}
Superposisjonsprinsippet gjelder,
så dersom det er flere planeter,
er det bare å legge sammen kreftene
og beregne trajektoriene. 
Prøv.
En av figurene under er laget med eksplisitt euler og en med symplektisk. 
Hvilken er hvilken?
\end{oppgave}


\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics*[scale=.5]{../figurer/ekspl}
\end{minipage}
\begin{minipage}{80mm}
\includegraphics*[scale=.5]{../figurer/sympl}
\end{minipage}


\end{comment}

\end{document}
