\input{preamble}


\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\title{3 - 3 - OPTIMERING}
%trust region methods
%fiskpkt i flere dim
%stive likn og newton i flere dim

\maketitle

Nå skal vi kombinere de to første ukenes pensum,
og lete etter minimums- og maksimumsverdier i ymse situasjoner.
Vi leser kapittel 13 i Adams,
og gjør følgende oppgaver:

\begin{itemize}
    \item[13.1:] 1-5
    \item[13.2:] 1-6
    \item[13.3:] 1-7
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1013465}
\end{center}

\clearpage

Her kommer mere gammelt skrot.


\begin{oppgave}{1}
En ellipse med halvakser $a=\frac{1}{2}$ og $b=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 
rotert $\pi/4$ radianer i forhold til koordinataksene, 
tilfredsstiller likningen
\[
6(x_1+x_2)^2+2(x_1-x_2)^2=3.
\]
og har parametrisering
\[
x(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\ \cos(t+\pi/3)\end{pmatrix}
\]
Finn den største verdien til 
\[
  f(x) = x_1 + 2x_2   
\]
på ellipsen.\\
(Du kan få denne til bare med å tenke litt logisk,
men det er vanskelig.)
\end{oppgave}


Oppgaven over kan også gjøres med noe som kalles 
\textbf{Lagranges multiplikatormetode}.
La oss si at du går på fjellet gitt av $z=f(x)$ og at gps-sporet
ditt er gitt av en kurve med likning $g(x)=C$.
I figuren under er en person ute og går sin favorittjakttur i Ogndalen. 
Ekvidistanselinjene på kartet er de brune nivåkurvene til $f$, 
og vedkommende går en tur gitt av den rosa kurven. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=.39]{../figurer/lagrange.png}
\end{center}

\begin{oppgave}{2}
Forklar ved hjelp av figuren at for det høyeste punktet på turen,
bør gradientene til $f$ og $g$ være parallelle;
dersom nivåkurvene er glatte, 
finnes det i dette punktet en konstant $\lambda$ slik at
\[
\nabla f=\lambda \nabla g.
\]
(Hint: se nøye på ekvidistanselinjene, og husk at gradienten står normalt på nivåkurvene. 
Jeg har tegnet inn gradientene til $f$ og $g$ i to forskjellige punkter for å illustrere.)
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{3}
Du går på fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
langs med trajektorien gitt ved $(x-1)^2+(y-1)^2=1$. 
Finn det høyeste punktet på turen din.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{4}
Finn et uttrykk for fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
sin skjæringskurve med $(x,y)$-planet. Hva slags kurve er det?
Finn en parametrisering!
\end{oppgave}

\clearpage

Her er litt gammelt skrot om kriitske punkter.

\begin{minipage}{10cm}
La oss si at du står på toppen av et fjell gitt av $\mathbf x: \mathbb R \to \mathbb R^2$.

\begin{oppgave}{5}
Hva er $\nabla f$ på toppen?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Hva er $\nabla f$ i bunnen av krateret i en vulkan?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Hva er $\nabla f$ i et sadelpunkt mellom to fjelltopper?
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.1]{../figurer/L9996682}
\end{center}
\end{minipage}


La oss klassifisere noen ekstremalpunkter. 
Hessematrisen er symmetrisk dersom $f$ er deriverbar,
og nå vet vi at hessematrisen derfor er ortogonalt diagonaliserbar.
Dersom alle egenverdiene til hessematrisen er positive,
sier vi at matrisen er positivt definitt.

\begin{oppgave}{8}
Har vi da et maksimums- eller minimumspunkt?
\end{oppgave}

Tilsvarende gjelder for negativt definitt. 
Dersom noen egenverdier er positive og noen negative, 
har vi sadelpunkt. 

\begin{oppgave}{9}
Utled Taylors andreordens formel for en funksjon fra $\mathbb R^n$ til $\mathbb R$:
\[
f\left(\mathbf x+ \mathbf h\right)\approx f(\mathbf x)+\nabla f\left(\mathbf x\right)\cdot \mathbf h + \mathbf h^T\mathbf H(\mathbf x)\mathbf h
\]
der 
\[
\mathbf H(\mathbf x)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} &\frac{\partial^2 f}{\partial x_n x_2} & \cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ 
\end{pmatrix}
\]
(Hint: Send en rett linje gjennom $\mathbf x$ i retning $\mathbf h$ og bruk kjerneregelen.)
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Det neste leddet er av orden $\|\mathbf h\|^3$,
men det griseriet skal du spares for å utlede.
Sett ord på dine følelser om hvordan hessematrisen $\mathbf H$ kan brukes til å finne ut om et kritisk punkt er et maksimums-, minimums- eller sadelpunkt. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{11}
Finn alle kritiske punkter i bildet under.
\end{oppgave}



\begin{center}
\includegraphics[scale=.15]{../figurer/M1007127-Pano}
\end{center}



%Vi kan fortsette å derivere. 
%Det finnes fire andrederiverte, 
%hvorav to er rene:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x^2}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y^2},
%\]
% og to er blandede:
%\[
%\frac{\partial f^2}{\partial x\partial y}
%\quad
%\text{og }
%\quad
%\frac{\partial f^2}{\partial y \partial x}.
%\]
%De to siste er identiske dersom de er kontinuerlige,
%men det finnes patologiske eksempler der de ikke er like.
%Dette skal vi se på senere, 
%nå skal vi bare få til å derivere.


\end{document}
