\input{preamble}

\title{3 - 12 - VEKTORKALKULUS}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%primtall

\maketitle

Kvaternionene ble oppdaget av 
W. D. Hamilton i 1843,
og er en utvidelse av de komplekse tallene.
Utvidelsen består i at man legger til to nye imaginære enheter $j$ og $k$, 
definert av relasjonene
\[
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1.
\]
Hamilton fikk den sentrale aha-opplevelsen på tur over en steinbro midt i Dublin,
og skrapte likningen umiddelbart inn i rekkverket på broen med en brevåpner han hadde i lommen. 
Inksripsjonen er dessverre vekk. 
Et kvaternion ser slik ut
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k.
\]
der $z_0$, $z_1$, $z_2$ og $z_3$ er reelle tall. 
Realdelen $x_0$ kalles \textbf{skalardelen},
mens imaginærdelen $z_1i + z_2j + z_3k$ kalles \textbf{vektordelen}.


\begin{oppgave}{11}
Utled regnereglene
\[
ij=-ji=k \hspace{10mm}
jk=-kj=i \hspace{10mm}
ki=-ik=j \hspace{10mm}
\]
Likner dette på noe du har lært på gymnaset?\\
(Hint: du bør ha kryssproduktet og høyrehåndsregelen i bakhodet.)
\end{oppgave}

Som du kan se er multiplikasjon mellom kvaternioner er ikke \textbf{kommutativt}.
Dette er litt awkward i begynnelsen;
hvis du ikke har vært med i abelkonkurransen eller noe, 
er antagelig alt du har sett til nå i livet vært kommutativt.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property}
}
Det er viktig å venne seg til at enkelte ting ikke er kommutativt, 
for kommutering ligger i bånn for Heisenbergs usikkerhetsprinsipp.\footnote{
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle}
}

\begin{oppgave}{12}
Regn ut 
\[
zw=
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
\]
og 
\[
wz=
(w_0 + w_1i + w_2j + w_3k)
(z_0 + z_1i + z_2j + z_3k)
\]
\end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007196}
\end{center}

Vi konjugerer kvaternioner akkurat som vi konjugerer komplekse tall:
\[
\overline z = z^* = 
z_0 - z_1i - z_2j - z_3k
\]

\begin{oppgave}{13}
Akkurat $z$ og $\overline z$ kommuterer faktisk med hensyn på multiplikasjon. 
Regn ut $z\overline z$ og $\overline z z$.
\end{oppgave}

Dette kan brukes til å definere absoluttverdi $\sqrt{\overline{z}z}$,
samt finne invers. 

\begin{oppgave}{14}
La 
\[
z=z_0 + z_1i + z_2j + z_3k
\hspace{10mm}
\text{og }
\hspace{10mm}
z^{-1}=\frac{1}{|z|^2}(z_0 - z_1i - z_2j - z_3k)
\]
Vis at $zz^{-1}=z^{-1}z=1$.
\end{oppgave}




Jeg foretrekker vanligvis å begynne indeksering fra en og ikke null,
men akkurat for kvaternioner er det en fordel å begynne på null.
\footnote{
Det er et mysterium hvorfor 
alle programmeringsspråk insisterer på å 
indeksere fra 0 istedet for 1. 
Hvis du har en vektor med tre elementer, 
er det mer naturlig å kalle dem 
$x[1]$, $x[2]$ og $x[3]$
enn 
$x[0]$, $x[1]$ og $x[2]$,
og skriver du for i in range(n) i python 
må du huske på at denne går fra 0 til n-1,
ikke fra 1 til n:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Off-by-one_error}
}
Grunnen er at man i anvendelser ofte er interessert 
i å tenke på imaginærdelen som et punkt i $\mathbb R^3$.
Regnereglene for de imaginære enhetene $i$, $j$ og $k$ 
illustrerer nemlig hvorfor vi i gamle dager skrev
\[
\mathbf i = 
\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\mathbf j = 
\begin{pmatrix}
0 \\
1\\
0
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\mathbf k = 
\begin{pmatrix}
0 \\
0\\
1
\end{pmatrix}
\hspace{10mm}
\]
for standardbasisen i $\mathbb R^3$, 
og 
\[
\mathbf z
=
z_1 \mathbf i+ 
z_2 \mathbf j+ 
z_3 \mathbf k
\]
for vektorer i $\mathbb R^3$.
Denne notasjonen er nå gått av moten,
og det er i bunn og grunn synd, 
for hvis man skriver alt slik,
kan man bruke høyrehåndsregelen til å 
huske formelen for kryssprodukt. 

\begin{oppgave}{15}
La 
\[
z=
z_1i + z_2j + z_3k
\]
og 
\[
w=
w_1i + w_2j + w_3k
\]
og regn ut $\overline z w$ og se om det ser kjent ut. 
\end{oppgave}


\begin{center}
\includegraphics[scale=.25]{../figurer/L1007194}
\end{center}



Grunnen til at jeg nå plaget deg med kvaternioner,
er at dersom du husker multiplikasjonsreglene for kvaternioner, 
slipper du å pugge formelen for kryssprodukt, 
som er sentral i ukens pensum - vektorkalkulus. 


Denne uken leser vi kapittel 16 i Adams,
og gjør følgende oppgaver:

\begin{itemize}
    \item[16.1:] 1-8
    \item[16.2:] 10-16    
    \item[16.4:] 1-17
    \item[16.5:] 1-10
\end{itemize}

\clearpage

James Clerk Maxwell publiserte på 1860-tallet den første komplette modellen av elektromagnetisme. 
Maxwell formulerte dette som noen og tyve ymse empiriske regler, 
men Oliver Heaviside kondenserte alt ned til denne pene formen: 
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\  
\nabla \cdot \mathbf B &= 0 \\  
\nabla \times \mathbf E &=- \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\  
c^2\nabla \times \mathbf B &= \frac{\mathbf J}{\epsilon_0}+\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}  
\end{align*}
noen år etter 
Maxwells originale publikasjon.
Likningene kalles henholdsvis Gauss' lov, 
Faradays induksjonslov, 
Gauss' lov for magnetisme og Amperes lov.
Dette er et koblet sett med differensiallikninger,
der 
\begin{itemize}
\item  $\mathbf E$ er det elektriske feltet
\item  $\mathbf B$ er det magnetiske feltet
\item  $c$ er lyshastigheten i vakuum
\item  $\rho$ er ladningstetthet i rommet
\item  $\epsilon_0$ er permittiviteten i vakuum
\item  $\mathbf J$ er en gitt strømtetthet i rommet
\end{itemize}

Da avslutter vi semesteret med et par klassikere som avhenger av divergensteoremet og Stokes teorem. 

\begin{oppgave}{1}
Skriv opp Maxwells likninger på differensialform og utled
de korresponderende likningene på integralform:
\begin{align*}
\iint_{\partial \Omega} \mathbf E\cdot d\mathbf S &= \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_{\Omega} \rho\; d\mathbf x \\  
\iint_{\partial \Omega} \mathbf B\cdot d S &= 0 \\  
\int_{\partial \Sigma} \mathbf E\cdot ds &=- \frac{d}{d t} \iint_{\Sigma} \mathbf B\cdot d S\\  
c^2\int_{\partial \Sigma} \mathbf B\cdot ds &=  \frac{1}{\epsilon_0} \iint_{\Sigma} \mathbf J\cdot d S + \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf E\cdot d S
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Utled varmelikningen
\[
\dot u=\Delta u
\] 
i tre romlige dimensjoner.
\end{oppgave}

\begin{comment}

\section*{DIVERGENS}

Divergensen til et vektorfelt er summen av diagonalelementene i vektrofeltets jacobimatrise:
\[
\nabla \cdot \mathbf F = \frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}
=\text{trace}\left({DF}\right)
\]


\begin{oppgave}{1}
  Finn divergensen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}

Nå skal vi se litt på hva divergensen betyr.

\begin{oppgave}{2}
  La $\S_{\epsilon}$ være kuleflaten med sentrum i origo og radius
  $\epsilon$, og la vektorfeltet $\vekF$ være gitt ved
  $\vekF(x,y,z) = (x,y,0)$.  La $\mathbf N $ være enhetsnormalen til
  $\S_{\epsilon}$ som peker utover.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac3{4\pi\epsilon^3}
    \oiint_{\S_\epsilon} \vekF \cdot \mathbf N  \dee S.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn divergensen til det elektriske feltet til en punktladning.
\end{oppgave}




\begin{tcolorbox}[title=Divergensteoremet]
\[
\iiint_D \nabla \cdot \mathbf F \; dV= \iint_{\partial D} \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\mathbb C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.

  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oiint_{\partial T} \vekF \cdot 
    \mathbf N\, dS,  \end{equation*}
  der $\partial T$ er randen til $T$ og enhetsnormalen $\mathbf N$ peker
  ut fra $T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av flatene $z = \sqrt{x^2 +
    y^2 - 7}$, $z = 0$ og $z = 2$.  La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3
  \to \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = (x - z, x + y, z + 1).
  \end{equation*}
  Hva er fluksen ut av den krumme delen til randen til $T$?
\end{oppgave}

\section*{ROTASJON}

Rotasjonen til et vektorfelt er litt mer grisete enn divergensen:
\[
\nabla \times \mathbf F = 
\left(
\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_3},
\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-\frac{\partial F_3}{\partial x_1},
\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2}
\right)
\]

\begin{oppgave}{1}
  Finn rotasjonen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
  La $\mathcal{C}_\epsilon$ være sirkelen $x^2+y^2 = \epsilon^2$, orientert mot
  klokken, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ være gitt
  ved $\vekF(x,y) = (-y,x)$.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac1{\pi\epsilon^2}
    \oint_{\mathcal{C}_\epsilon} \vekF \cdot \dee\vekr\;.
  \end{equation*}
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{3}
Finn rotasjonen til coulombkraften til en ladning $q$.
\end{oppgave}




\begin{tcolorbox}[title=Stokes teorem]
\[
\int_{\partial D} \mathbf F \cdot ds= \iint_{D} \nabla \times \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\mathbb R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\mathcal C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oint_{\mathcal C} \vekF \cdot d\vekr
  \end{equation*}
  der $\mathcal C$ er orientert mot klokken sett ovenfra.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $R$ være den delen av ellipsoiden $x^2 + y^2 + 8(z - 1)^2
  = 9$ hvor $z \geq 0$, og la vektorfeltet $\vekF \colon \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = \left(xz - 5y^3 \cos z, 5x^3 e^z, 6xy e^{x^2 + y^2
        + z^2}\right)
  \end{equation*}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_R \nabla \times  \vekF \cdot \mathbf N \, dS
  \end{equation*}
  der $\mathbf N $ er enhetsnormalen på $R$ som peker vekk fra origo.
\end{oppgave}


Se her for flere regneregler for divergens og rotasjon:\\
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities#Second_derivative_identities}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1002363}
\end{center}

\clearpage

\end{comment}


\end{document}
