\input{preamble}

\title{3 - 11 - HARMONISKE FUNKSJONER I - LF}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


\begin{oppgave}{1}
    Når vi utledet bøleglikningen for en streng, 
    gjorde vi slik:
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=.6]{../figurer/streng-2}
    \end{center}
    Vi antar at den horisontale strekkraften $T$ (målt i newton)
    er lik overalt, 
    slik at den lilla biten av strengen kun beveger seg opp og ned, 
    ikke frem og tilbake. 
    Massetettheten $\rho$ er gitt i kilo per meter, 
    så massen til den lilla biten er $\rho h$. 
    Netto vertikal kraft på biten er $T_1+T_2$, 
    så Newtons andre lov $F=ma$ gir 
    \begin{align*}
        T_1+T_2 = \rho h \ddot u,
    \end{align*}
    og siden dekomponeringen av strekkraften 
    danner en trekant som er kongruent med trekanten som gir 
    stigningstallet til $u$ med hensyn på $x$, 
    kan vi skrive
    \begin{align*}
        T_1+T_2 = 
        T\left( \frac{\partial u}{\partial x}(x+h,t)- \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right).
    \end{align*}
    Hvis vi nå deler Newtons andre lov på $h$ og lar $h \to 0$,
    får vi bølgelikningen for en streng: 
    \begin{align*}
        \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
    \end{align*}
\clearpage 
    La oss se på en liten bit av et trommeskinn:
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=.7]{../figurer/trommeskinn-2}
    \end{center}
    Strekkraften på en streng er naturlig å måle i Newton, 
    for strengens stramhet kan sammenlignes med stramheten du får 
    ved å bruke den til å henge opp et lodd. 
    (På gitarstrengpakken står strengestrekker oppgitt i kilo.)
    For et trommeskinn er det mest naturlig å oppgi strekket i 
    newton per meter - 
    da kan du integrere strekket over et linjestykke for å finne 
    den totale kraften på linjestykket.
    Dette er som hydrostatisk trykk i vann - 
    trykk er kraft per areal, og
    man integrerer trykket 
    over en flate for å finne totalkraften på flaten. 
    Hvis vi sier at $\Omega$ i figuren er et kvadrat med det ene 
    hjørnet i $x$, sidekant $h$ og massesenter i $(x_1+h/2,x_2+h/2)$, 
    blir Newtons andre lov 
    \begin{align*}
        \rho h^2 &\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x_1+h/2,x_2+h/2) =\\
        &Th\left( \frac{\partial u}{\partial x}(x_1+h,x_2,t)- \frac{\partial u}{\partial x}(x_1,x_2,t) +
         \frac{\partial u}{\partial x}(x_1,x+h_2,t)- \frac{\partial u}{\partial x}(x_1,x_2,t) \right)
    \end{align*}
    der kreftene på høyre side er fremkommet ved å 
    anta at det horisontalet strekket $T$ er konstant og så 
    bruke det samme kongruenstrikset som for strengen. 
    Lar vi $h\to 0$, får vi 
    bølgelikningen 
    \begin{align*}
        \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        T\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
    \end{align*}
    for et vibrerende membran, 
    for eksempel et trommeskinn. 
    Vi kunne også summert opp kreftene langs randen av den lille biten og så brukt Greens teorem slik: 
    \begin{align*}
        F = T\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n}\; ds =
        T\iint_\Omega \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \; dx
        \approx Th^2
        \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}  \right)
    \end{align*}
    Dette var det noen som syntes var mer naturlig i forelesning. 
    Uttrykket 
    \begin{align*}
        \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n}
    \end{align*}
    er en spesiell notasjon for den retningsderiverte til $u$ langs utnormalvektoren til $\partial \Omega$, 
    og det er kanskje ikke helt trivielt å se at netto kraft er linjeintegralet til denne. 
    For å se det må du nesten tegne opp den samme kongruenstrekanten som for strengen, 
    men sette den på kanten av den lille biten med trommeskinnet og normalt utover slik: 
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=.5]{../figurer/trommeskinn-3}
    \end{center}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    Vi har en plate som er dekket av Glava 
    over og under slik varmeenergi kun strømmer horisontalt langs platen. 
    La $\Omega$ være en liten bit av platen.
    Vi kan sette opp endring i indre energi slik: 
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt}\alpha \iint_\Omega u =
        \alpha \iint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} 
    \end{align*}
    Konstanten $\alpha$ inneholder info om varmekapasiten, 
    platens tykkelse og alt det der. 
    Endring i indre energi må være lik det som strømmer ut gjennom $\partial \Omega$, 
    så vi må ha 
    \begin{align*}
        \alpha \iint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} 
        =
        -\int_{\partial \Omega} q\cdot n\; ds
    \end{align*}
    der $q$ er varmefluksen. 
    I mange materialer er denne proporsjonal med temperaturgradienten men motsatt rettet, 
    slik at vi får 
    \begin{align*}
        \alpha \iint_\Omega \frac{\partial u}{\partial t} 
        =
        k\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n}\; ds
        =
        \iint_{\Omega} 
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}.
    \end{align*}
    Dette må gjelde for alle små biter av platen, 
    så da må integrandene være like, 
    og vi får 
    \begin{align*}
        \alpha \frac{\partial u}{\partial t} 
        =
        k
        \left( 
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
        \right)
    \end{align*}
    Utledningen står også her: 
    \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_12.html}\\
    Husk at varmelikningen ikke bare er en modell for varmeflyt, 
    men også for diffusjon, 
    derfor kalles den gjerne diffusjonslikningen:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation}\\
    Utledningen er identisk, 
    man bare bytter ut temperatur med konsentrasjon,
    energikonservering med massekonservering, 
    og Fouriers varmelov med Fikcs diffusjonslov som sier nøyaktig det samme. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
    Her er det bare å bytte ut alt på høyre side i utledningen av bølgelikningen med 
    det som kreves for at trommeskinnet skal være deformert men i ro. 
    La oss anta at trommeskinnet utsettes for et statisk trykk $f(x)$
    og så må strekkreftene i skinnet balanserer de eksterne trykkreftene slik at 
    trommeskinnet ikke flytter på seg. 
    Vi bruker Greens teorem slik som i bølgelikningen og får strekkreftene
    \begin{align*}
        T\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n}\; ds =
        T\iint_\Omega \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} \; dx
    \end{align*}
    og trykkreftene er 
    \begin{align*}
        \iint_\Omega f(x)\; dx.
    \end{align*}
    Setter vi disse lik hverandre og antar at $\Omega$ er vilkårlig valgt, 
    må integrandene være like.
    Dette kalles Poissons likning:
    \begin{align*}
        \frac{f}{T} =
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} 
    \end{align*}
    og er den inhomogene varianten av Laplaces likning. 
    Se også utledning her:\\
    \url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_12.html}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
    Dersom $\rho$ er oppgitt i kilo per kvadratmeter er
    \begin{align*}
        \frac{d}{dt}\iint_{\Omega} \rho = 
        \iint_{\Omega} \frac{\partial \rho}{\partial t}
    \end{align*}
    den totale massen inne på området $\Omega$,
    og dersom $v$ er væskehastigheten i meter per sekund er 
    \begin{align*}
        \int_{\partial \Omega} \rho v\cdot n \; ds
    \end{align*}
    den totale utstrømningen fra $\Omega$. 
    Dersom masse ikke skal forsvinne, 
    må disse to være like, 
    og Greens teorem gir 
    \begin{align*}
        \iint_{\Omega} \frac{\partial \rho}{\partial t}\; dx  = 
        \int_{\partial \Omega} \rho v\cdot n \; ds = 
        \iint_{\Omega} 
        \frac{\partial \rho v_1}{\partial x_1}+
        \frac{\partial \rho v_2}{\partial x_2}\; dx
    \end{align*}
    og dersom $\Omega$ er tilfeldig valgt, 
    må integrandene være like og vi får  
    kontinuitetslikningen 
    \begin{align*}
        \frac{\partial \rho}{\partial t} + 
        \frac{\partial \rho v_1}{\partial x_1}+
        \frac{\partial \rho v_2}{\partial x_2}=0
    \end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
    I oppgave 1 får vi en harmonisk funksjon om $\ddot u = 0$, 
    og i oppgave 2 om $\dot u = 0$ og i oppgave 3 om $p=0$. 
    I oppgave 4 får vi laplaces likning dersom $\rho$ er konstant og 
    $v$ er gradienten til et skalarfelt $\phi$. 
    Da tvinger kontinuitetslikningen gjennom at $\phi$ er en harmonisk funksjon. 
\end{oppgave}



\begin{oppgave}{6}
    Denne oppgaven passer konseptuelt inn her, 
    men regneteknisk hører den mer hjemme i TMA4106, 
    så det kommer ikke på eksamen. 
    Jeg har løst den på side 137-138 her:\\
    \url{https://folk.ntnu.no/mortano/notater/sivingmatte.pdf}
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{7}
    Vi må sjekke at dersom 
    \begin{align*}
        x=Ry = 
        \begin{pmatrix}
            \cos \alpha & -\sin \alpha \\
            \sin \alpha & \cos\alpha \\
        \end{pmatrix}
        \begin{pmatrix}
            y_1 \\
            y_2
        \end{pmatrix}
    \end{align*} 
    og $v(y) = u(Ry)$ er  
    \begin{align*}
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} = 
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_1^2} +
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_2^2} 
    \end{align*}
    så lenge $R$ er rotasjonsmatrisen. 
    La oss derivere i vei: 
    \begin{align*}
        \frac{\partial v}{\partial y_1} =& 
        \cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} -\sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2}\\[2mm]
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_1^2} =& 
        \cos\alpha\frac{\partial }{\partial x_1}\left( \cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} -\sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2} \right)\\[2mm]
        -&\sin\alpha\frac{\partial }{\partial x_2} \left( \cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} -\sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2} \right)\\[2mm]
        \frac{\partial v}{\partial y_1} =& 
        \sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} +\cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2}\\[2mm]
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_1^2} =& 
        \sin\alpha\frac{\partial }{\partial x_1}\left( \sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} +\cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2} \right)\\[2mm]
        +&\cos\alpha\frac{\partial }{\partial x_2} \left( \sin\alpha\frac{\partial u}{\partial x_1} +\cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x_2} \right)
    \end{align*}
    Hvis du nå legger sammen de rene andre ordens partiellderiverte og gjør alle kanselleringene, 
    vil du se at 
    \begin{align*}
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_1^2} +
        \frac{\partial^2 v}{\partial y_2^2} =  
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}.
    \end{align*}
    Et spesialtilfelle er at om $u$ er harmonisk, 
    er også $v$ harmonisk. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
    Standardmetoden her er å finne ut hva integralene på høyre side evaulerer til. 
    Dersom $\Omega$ er en sirkelskive sentert i $(a,b)^T$ med radius $r$, 
    kan vi definere oss en funksjon $\phi$ og skrive
    \begin{align*}
        \phi(r)=&\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds\\[2mm] 
        =&\frac{1}{2\pi r}\int_0^{2\pi} u(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\; rd\theta\\[2mm]
        =&\frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi} u(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\; d\theta
    \end{align*}
    La oss derivere litt og bruke Greens teorem slik vi pleier: 
    \begin{align*}
        \phi'(r)=&
        \frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi} u'(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta) 
        \begin{pmatrix}
            \cos \theta \\
            \sin\theta
        \end{pmatrix}\; 
        d\theta\\[2mm]
        =&\frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\; d\theta\\[2mm]
        =&\frac{1}{2\pi r}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\; rd\theta\\[2mm]
        =&\frac{1}{2\pi r}\int_0^{2\pi} \frac{\partial u}{\partial n}\; ds\\[2mm]
        =&\frac{1}{2\pi r}\iint_\Omega \Delta u\; dx = 0
    \end{align*}
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = 
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u 
    \end{align*}
    Greit, 
    så $\phi$ endrer seg visst ikke med $r$. 
    Hva er $\phi$ sin konstante verdi? 
    Det går sikkert fint å la $r\to 0$, 
    siden $\phi$ er konstant:
    \begin{align*}
        \lim_{r\to 0}\phi(r)=&\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = u(a,b)
    \end{align*}
    Det siste steget er kanskje ikke helt innlysende for alle, 
    men middelverdisatsen kommer i en versjon for integraler, 
    skroll deg litt nedover her:\\
    \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem}\\
    Konsekevensen er at 
    \begin{align*}
        \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_a^{a+h} f(x)\; dx = f(x),
    \end{align*}
    og vår grenseverdioperasjon for $\phi$ er den samme, 
    bare at vi har rullet sammen arket $f$ er tegna på til en sylinder med radius $r$
    og så er $u$ høyden til sylinderen som funksjon av $r$ og $\theta$.
    Alt i alt har vi at 
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds. 
    \end{align*}
    Vi tar så det neste integralet i polarkoordinater og regner i vei: 
    \begin{align*}
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u
        =&\frac{1}{\pi r^2}\int_0^r\int_0^{2\pi} u(a+p\cos\theta,b+p\sin\theta)\; pd\theta dp\\[2mm]
        =&\frac{u(a,b)}{\pi r^2}\int_0^r2\pi p \; dp = u(a,b)
    \end{align*}
    Dette kalles altså middelverdisatsen. 
    En harmonisk funksjons funksjonsverdi er alltid lik gjennomsnittet av funksjonsverdiene både på 
    alle omliggende sirkler og alle omliggende sirkelskiver: 
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = 
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u 
    \end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
    Nå er jeg litt lei av å skrive alle disse partiellderiverte. 
    La oss introdusere notasjonen 
    \begin{align*}
        \Delta u = 
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} +
        \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}.
    \end{align*}
    \textbf{Dirichletproblemet} består i å løse 
    \begin{align*}
        \Delta u =& 0 \hspace{6mm} \text{på } \Omega \\  
        u =& g \hspace{6mm} \text{på } \partial \Omega 
    \end{align*}
    Dette problemet har entydig løsning,
    og om $\Omega$ er en sirkel sentrert i origo med radius $a$, 
    finnes det faktisk en eksplisitt formel: 
    \begin{align*}
        u(r\cos \theta,r\sin\theta) =
        \frac{a^2-r^2}{2\pi}
        \int_{0}^{2\pi}\frac{g(a\cos \phi,a\sin \phi)}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}\;d\phi
    \end{align*}
    Utledningen er litt for grisete for TMA4111, 
    men det er i samme gate som oppgave 6, 
    bare mer jobb. 
    Integralet på høyre side er stort sett umulig å beregne for hånd, 
    men trivielt å beregne med numerisk integrasjon. 
    Du finner kode her:\\
    \url{https://folk.ntnu.no/mortano/harmonisk/}\\
    og trommeskinnet ser omtrent sånn ut: 
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.4]{../figurer/poisson}
\end{center}
\end{oppgave}

\begin{comment}


\begin{oppgave}{8}
    La $\Omega$ være en sirkelskive med radius $r$, 
    sentrert i $x$. 
    Vis at 
    \begin{align*}
        u(x) = \frac{1}{2\pi r}\int_{\partial \Omega} u\; ds = 
        \frac{1}{\pi r^2}\iint_\Omega u 
    \end{align*}
    dersom $u$ er harmonisk på et område som inneholder $\Omega$. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{Nøtt}
    Finn uttrykket for trommeskinnet på bildet under. \\
    (Hint: Løsningen kalles \textbf{Poissons formel}.)
\end{oppgave}







\begin{comment}
Nå kunne vi løst bølge- og varmelikningen 
(og for den saks skyld partikkel-i-boks) 
på rektangulære domener, 
men dette er såpass likt det envariable greiene 
vi hadde i 4106, 
at det er mer interessant å studere noen andre geometrier. 

\begin{oppgave}{7}
Vis at bølgelikningen i polarkoordinater blir 
\[ 
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{10}
Separer variable $u=x(t)y(r)z(\theta)$ og utled likningene 
\begin{align*}
\ddot x + \lambda x = 0 \\
z'' + \gamma z = 0 \\
y''+\frac{1}{r}y'+\left(\lambda - \frac{\gamma}{r^2}\right)y = 0
\end{align*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{11}
Det sier seg selv at vinkeldelen $z$ må være $2\pi$-periodisk. 
Bruk dette til å utlede at $\gamma = n^2$ der $n \in \mathbb N$, 
og at 
\[
z(\theta)= a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta
\]
\end{oppgave}

Den siste likningen kan etter variabelskiftet  $\rho = \sqrt{\lambda}r$ skrives 
\[
y''+\frac{1}{\rho}y'+\left(1 - \frac{n^2}{\rho^2}\right)y = 0.
\]
Å løse denne er for å sitere min svigerfar \say{en helvetes prosedyre},
og løsningene kalles \textbf{besselfunksjonene}.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function}}

\begin{oppgave}{12}
Det finnes ikke noe lukket uttrykk for besselfunksjonene,
men du kan anta at de har taylorutviklikng, 
sette inn i likningen og herje i vei. 
Prøv.
\end{oppgave}


Når man skal overføre elektrisk energi med høy frekvens er det upraktisk å bruke ledninger, 
for man søler den elektriske energien ut i rommet og så lager du returstrømmer og fandens oldemor. 
I ubåt må for eksempel alle elektriske ledninger tvinnes. 
Derfor er det vanlig å overføre elektrisk energi på høy frekvens gjennom \textbf{bølgeledere}:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_24.html}\\
Dette er bare en hul kanal med stående elektriske bølger,
og dersom kanalen er sirkulær, 
dukker besselfunksjonene i analysen. 
Du kan faktisk lage en kondensator av en hul sylinder, 
og da dukker også besselfunksjonene opp:\\
\url{https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_23.html}\\

\end{comment}

\end{document}
