<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\input{preamble}

\title{3 - 1 - SKALARFELT}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

%line search  methods

\maketitle

NÃ¥ skal vi begynne med noe som er noe mer hÃ¥rete enn du er vant til,
funksjoner av flere variable.
Vi begynner med funksjoner fra $\mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$ til $\mathbb{R}$.
Dette stoffet regnes av mange som det vanskeligste en ingeniÃ¸rstudent skal gjennom,
og Adams er ganske bra,
sÃ¥ jeg tror jeg outsourcer et par temaer til ham.
Adams er fryktlig glad i en gammel beregningssoftware som heter Maple.
Denne er selvfÃ¸lgelig avleggs,
sÃ¥ ikke bry dere om det.

Denne uken leser vi kapittel 12 i Adams,
og gjÃ¸r fÃ¸lgende oppgaver:

\begin{itemize}
    \item[12.1:] 11-28 og 37-48
    \item[12.3:] 1-10, 13-22 og 25-29
    \item[12.4:] 1-6, 8-13 og 17-19
\end{itemize}



\begin{center}
  \includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007227}
\end{center}

\clearpage


\section*{VISUALISERINGSTEKNIKKER}

OBS OBS OBS:
Jeg kommer til Ã¥ slutte Ã¥ skrive $\mathbf x$. Fra nÃ¥ av betyr $x$ en vektor med komponenter $x_k$.

Du kan ogsÃ¥ bruke {\textbf{orienteringslÃ¸permetoden}}.
Et orienteringskart er en todimensjonal representasjon av et tredimensjonalt terreng,
og med litt trening leser man dette omtrent like godt som om man sÃ¥ terrenget med sine egne Ã¸yne,
eller faktisk bedre.
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.45]{../figurer/kart}
\end{center}
De brune linjene pÃ¥ kartet kalles \textbf{ekvidistanselinjer} eller \textbf{hÃ¸ydekoter}.
Disse forteller noe om hÃ¸yden over havet;
dersom du fÃ¸lger en ekvidistanselinje,
gÃ¥r du hverken opp eller ned.
Den matematiske ekvivalenten kalles \textbf{nivÃ¥kurve}.
Disse er gitt ved
\[
c=f(x,y),
\]
og forskjellige verdier for $c$ gir forskjellige hÃ¸yder over $xy$-planet.

\begin{oppgave}{2}
Skisser nivÃ¥kurvene til
\[
f(x,y)=x+2y
\]
\end{oppgave}




Et polynom i to variable er gitt ved
\[
p(x,y)=\sum_{k,m}a_{km}x^ky^m
\]
Dersom $k+m\leq n$ og $k+m=n$ for minst en kombinasjon av $k$ og $m$,
sier vi at polynomet har orden $n$.
For eksempel er et generelt fÃ¸rsteordens polynom gitt ved
\[
p(x,y)=ax+by+c.
\]
Grafen til denne  blir alltid et plan i $\mathbb R^3$.
Et generelt andreordens polynom er gitt ved
\[
p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
\]
NivÃ¥kurvene til andreordens polynomer er de berÃ¸mte kjeglesnittene.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section}}
Parabelen ($y=x^2$) og sirkelen ($x^2+y^2=1$) kjenner du fra fÃ¸r.
For en generasjon siden mÃ¥tte sivingstudenter kunne alle disse pÃ¥ fingrene  (spÃ¸r Svein Sunde),
men idag fokuserer vi mer pÃ¥ andre ting.
Kjeglesnittene kan vÃ¦re nyttige Ã¥ kjenne til en gang i blant.
En ellipse \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse}} med halvakser $a$ og $b$ tilfredsstiller likningen
\[
\frac{x^2}{a^2}+
\frac{y^2}{b^2}=1
\]
og en hyperbel\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola} } tilfredsstiller
\[
\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1
\]



\begin{oppgave}{71}
Finn  og skisser niv{\aa}kurvene til flaten gitt ved $z=4x^2+5y^2$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{73}
Finn  og skisser niv{\aa}kurvene til flaten gitt ved $z=4x^2+8x+5y^2-10y+9$.
\end{oppgave}

Hvis du synes det er skikkelig artig Ã¥ klassifisere kjeglesnitt,
finner du mange oppgaver i kap. 8.1 i Adams.


Normalfordelingen i flere variable er gitt ved 
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\|2\pi\Sigma\|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\mathbf x-\mu)\right) 
\]
der $\Sigma$ kovariansmatrisen mellom komponentene i $X$. 
Denne matrisen er alltid symmetrisk, 
og man kan merke seg at innmaten i eksponensialfunksjonen er en kvadratisk form. 
Derfor er det mulig Ã¥ skissere nivÃ¥kurvene til ormalfordelingen ved Ã¥ vite litt om geometrien til kvadratiske former.

\begin{oppgave}{17}
NivÃ¥kurvene er visst alltid ellipser. 
Vis dette.
\end{oppgave}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.3]{../figurer/L1007194}
\end{center}

De store fysikere krangler mye om hvorvidt termodynamikk er vanskelig eller lett.
Jeg vet ikke - jeg kan det ikke sÃ¥ godt,
men klassisk termodynamikknotasjon er litt sloppy (sett fra en matematikers perspektiv),
og dette skaper endel forvirring.
Adams rydder greit opp i dette pÃ¥ et par steder,
se side 710-712 og 728-729.

Du kan tenke pÃ¥ den ideelle gasslov enten som en empirisk lov
som sakte men sikkert ble oppdaget pÃ¥ 1600-tallet og utover via
Boyles lov,
Charles lov,
Avogadros lov og Guy-Lussacs lov,
eller som en utledet regel i statistisk mekanikk.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law}}
Den sier at i en ideell gass fÃ¸lger trykket $p$, temperaturen $T$
og volumet $V$ formelen
\[
\frac{pV}{T}=nR=Nk,
\]
der
\begin{itemize}
\item[$k = $] $1.380649 \cdot 10^{-23}$ J/K er Boltzmanns konstant\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant}}

\item[$R = $] $8.31446261815324$ J/mol K er den ideelle gasskonstant


\item[$N$\hspace{3mm} ] er antall gassmolekyler

\item[$n$\hspace{3mm} ] er antall mol gassmolekyler \\
(husk at $N=N_An$, der $N_A=6.02214076\cdot 10^{23}$/mol er Avogadros konstant)
\end{itemize}

Hvis man liker bedre statistisk mekanikk,
kan man skrive
\[
\frac{3}{2} \frac{pV}{N}=\frac{3}{2} k T=\frac{1}{2}m v^2
\]
der $v$ er forventningsverdien til den $\chi$-fordelte
partikkelhastigheten.\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwellâ€“Boltzmann_distribution}}
La oss for enkelhets skyld sette $Nk=1$ og skrive den ideelle gasslov slik:
\[
  T\left( p,V \right) = p V
\]
Dette er en funksjon av to variable $p$ og $V$.
Den vanlige notasjonen i en typisk matematikkbok er
\[
  z=f(x,y) \hspace{3mm}  \text{eller}
  \hspace{3mm} x_3 = f(x_1,x_2) = f\left( \mathbf{x} \right)
\]
Siden bÃ¥de trykk og volum ikke kan vÃ¦re negative stÃ¸rrelser,
er det naturlig Ã¥ tenke at $T$ er en funksjon fra
$(0,\infty) \times (0,\infty)$ til $(0,\infty)$.
Du bÃ¸r tenke pÃ¥ $(p,V)$ som en GPS-koordinat,
og $T$ som GPS-koordinatens korresponderende hÃ¸yde over havet.
Funksjonen $T\left( p,V \right)$ angir terrenget,
og den positive $P$-aksen peker mot nord.


\begin{oppgave}{1}
  Plot $T\left( p,V \right)$. \\
  (Hint: google \say{surface plot matplotlib} eller noe i den dur.)
\end{oppgave}


I termodynamikk kalles nivÃ¥kurvene til $T$ \textbf{isotermer}
siden $T$ er konstant pÃ¥ dem.


\begin{oppgave}{3}
  Skisser isotermene til den ideelle gasslov.
\end{oppgave}



\begin{minipage}{100mm}
NivÃ¥kurvene til trykk kalles \textbf{isobarer}.

\begin{oppgave}{4}
Hva er trykket pÃ¥ Steinkjer denne dagen?\footnote{\url{https://www.met.no/vaer-og-klima/meteorologens-prognosekart}}
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{100mm}
\includegraphics[scale=.4]{../figurer/isobar}
\end{minipage}



\clearpage



\section*{DERIVASJON}
Vi har nÃ¥ to uavhengige variable, 
og det er interessant Ã¥ vite hvordan $f$ endres med hensyn pÃ¥ begge.
Derfor finnes det to deriverte.
De skrivees
\[
\frac{\partial f}{\partial x}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
\qquad
\text{og }
\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
\]
eller 
\[
\frac{\partial f}{\partial x_1}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2)}{h}
\qquad
\text{og }
\qquad
\frac{\partial f}{\partial x_2}
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,x_2+h)-f(x_1,x_2)}{h}
\]
om du foretrekker det. 
De uttales henholdsvis \say{$f$ derivert med hensyn pÃ¥ $x$ og $y$ (eller $x_1$ og $x_2$)}.

Ã… partiellderivere er enkelt:
Man finner 
$\frac{\partial f}{\partial x}$
ved Ã¥ betrakte $y$ som en konstant, 
og sÃ¥ derivere i vei med hensyn pÃ¥ $x$. 
Samme for $y$. 

\begin{oppgave}{79}
Finn de partiellderiverte til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{97}
Finn de partiellderiverte til 
\[
f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
\end{oppgave}

Det er vanlig Ã¥ sette opp de partiellderiverte i en radvektor,
kalt gradientvektoren:
\[
\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]
\]
Grunnen til at vi skriver den som en radvektor og ikke som en kolonnevektor, 
vil blir snart klart.



\begin{oppgave}{107}
Finn gradientvektoren til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{113}
Finn gradientvektoren til 
\[
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{149}
Finn gradientvektoren til $g(x,y)=\sin x \sin y$.
\end{oppgave}

Tangentplanet til $f$ i punktet $(x_0,y_0)$ er gitt ved
\[
z=a(x-x_0)+b(y-y_0)+f(x_0,y_0)
\]
der 
\[
a=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
\quad \text{og} \quad
b=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)
\]

\begin{oppgave}{157}
Forklar svigermoren din at tangentplanet tangerer $f$ i $f(x_0,y_0)$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{167}
Finn tangentplanet til $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$ i $(1,2)$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{179}
Finn tangentplanet til ${g(x,y)=\sin x \sin y}$ i $(\pi/2,\pi/2)$.
\end{oppgave}


De partiellderiverte forteller noe om stigningen til funksjonen.
Tenk at $f$ er et fjell, og at du gÃ¥r pÃ¥ ski. 
Dersom du peker skiene i enhetsretningen $\mathbf v$, 
er stigningen i denne retningen gitt ved
\[
\mathbf v \cdot \nabla f
\]
der prikken $\cdot$ betegner skalarproduktet du lÃ¦rte pÃ¥ videregÃ¥ende.
Hvorfor det er slik, 
skal vi se pÃ¥ senere,
nÃ¥r vi har lÃ¦rt kjerneregelen for derivasjon i flere dimensjoner.
Denne uken skal vi bare venne oss til at det er slik.

\begin{oppgave}{199}
Finn stigningen pÃ¥ fjellsiden $f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y$ nÃ¥r du stÃ¥r i punktet $(1,2)$ og  skiene peker rett nordvest.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{311}
Hvilken vei mÃ¥ du peke skiene dersom du vil gÃ¥ langs med en ekvidistanselinje pÃ¥ fjellet 
${g(x,y)=\sin x \sin y}$, 
og stÃ¥r i punktet $(\pi/4,\pi/4)$? 
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{337}
Hva om du vil kjÃ¸re rett utfor sÃ¥ bratt som mulig? \\
\end{oppgave}

Det sies at skisportens vugge er et eller annet sted i  Telemark. Det er bare tull. Ski er visst en kinesisk oppfinnelse:

\hspace{-1.5cm}
\url{https://snl.no/ski}

\hspace{-1.5cm}
\url{https://secretsoftheice.com/news/2018/10/04/skis/}

\hspace{-1.5cm}
{\url{https://secretsoftheice.com/news/2021/10/05/the-best-preserved-pair-of-skis-from-prehistory/}}


Forresten husker du kanskje den ideelle gasslov $NkT = pV$.
Finn

\begin{minipage}{5cm}
\begin{oppgave}{953}
$\quad \frac{\partial T}{\partial p}$ og $\frac{\partial T}{\partial p}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{oppgave}{967}
$\quad \frac{\partial V}{\partial p}$ og $\frac{\partial V}{\partial T}$
\end{oppgave}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{oppgave}{971}
$\quad \frac{\partial p}{\partial T}$ og $\frac{\partial p}{\partial V}$
\end{oppgave}
\end{minipage}




Newtons lov for Ã¥ lÃ¸se to ikkelineÃ¦re likninger med to ukjente, 
finner du i kap. 9 her:\\
\url{https://folk.ntnu.no/mortano/notater/sivingmatte.pdf}

 \begin{oppgave}{739}
Bruk Newtons metode til Ã¥ finne skjÃ¦ringspunktene mellom en ellipse med halvakser 2 og 5, 
og en annen ellipse med halvakser 4 og 3,
begge sentrert i origo.
 \end{oppgave}

\begin{center}
\includegraphics[scale=.37]{../figurer/L1001032.jpg}
\end{center}



\end{document}
</pre></body></html>